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2026年河南省南阳市初中毕业班第一次调研测试数学试题卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（）
A. B. C. D.
2.柱础石是中国建筑石构件中的一种，在传统砖木结构建筑中用以负荷与防潮．如图是一种空心柱础石的示意图及其主视图（柱础石中空的部分是圆柱形），则其左视图是（）
A. B. C. D.
3.国家数据局介绍，到今年3月，我国日均词元（Token）的调用量已超过140万亿，相比2023年底的100万亿增长了多，充分表明中国的人工智能发展进入快速增长阶段．其中，数据“140万亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.下列式子中,与相等的是（ ）
A. B. + C. D.
5.将一副三角尺平放在桌面上,如图所示.若ABCE,则BCD的大小为( )
A. B. C. D.
6.为分析一元二次方程x2=3x-1根的情况，四位同学分别计算根的判别式，其中正确的是（　　）
A. 32+2×1×（-1）=7 B. （-3）2-4×1×（-1）=13
C. （-3）2-1×1=8 D. （-3）2-4×1×1=5
7.某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A. 科技类图书销售了60册 B. 文艺类图书销售了120册
C. 文艺类图书销售占比 D. 其他类图书销售占比
8.不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘分别与相切于点A、B，若该圆半径是1，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
9.观察下列一组数：，，，，，，按此规律，第个数是（ ）
A. B. C. D.
10.如图①，A、B是上的两定点，P是圆上一动点，点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B．设点P运动的时间是，线段AP的长度是，图②是y随x变化的关系图象，则下列说法错误的是（ ）
A. 的半径为 B. A、B两点间的距离为
C. 点P的运动速度为 D. 的度数为
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.若代数式无意义，则 ．
12.金砖国家（）是一个国际组织，创始成员国包括：巴西、俄罗斯、印度、中国．如图①是金砖国家的图标，可近似看作如图②所示的圆及其内接正五边形，则的度数为 ．
13.2026马年春晚吉祥物“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的设计灵感来源于中国不同时期马的经典形象．如图是一个电子转盘，被等分成四个扇形区域，每个区域分别印有一种吉祥物的图案．电子转盘的运行规则是：指针随机从某一区域开始，每按一次按钮，指针都会从当前区域随机转到相邻两个区域中的某一个．若指针从“骥骥”所在区域开始，按两次按钮后，指针仍回到“骥骥”所在区域的概率为 ．
14.如图，点E是内一点，，平分，D是边的中点．若，，则边的长 ．
15.在中，，，将边绕点旋转，的对应点为点，连接交边于点．若，则的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.解答：
(1) 计算：；
(2) 化简：．
四、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
②书写准确性：
小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
操作规范性和书写准确性的得分统计表：
项目统计量学生 操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
小青 4 1.8 a
小海 4 b 2
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 表格中的 ，比较和的大小 ；
(2) 计算表格中b的值；
(3) 综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由；
(4) 为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？
18.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点．
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 若x轴上存在点，使，求点的坐标；
(3) 直接写出时的取值范围．
19.(本小题8分)
已知：如图，矩形．
(1) 尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在（1）所作图形中，若，，求的长．
20.(本小题10分)
中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米．
(1) 编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？
(2) 计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？
21.(本小题10分)
问题背景：
在某次活动课中，甲，乙，丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图①，测得一根直立于平地，长为的竹竿的影长为．
乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为．
丙组：如图③，测得校园景观灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)灯罩底部距地面的高度为，影长为．
任务要求：
(1) 请根据甲，乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
(2) 如图③，设太阳光线与相切于点．请根据甲，丙两组得到的信息，求景观灯灯罩的半径．
22.(本小题15分)
已知抛物线．
(1) 若该抛物线的顶点在轴上，求的值；
(2) 若点在该抛物线上，令，求证：；（温馨提示：即证明的最大值为．）
(3) 当时，若点、、都在该抛物线上，且满足，请直接写出的取值范围．
23.(本小题15分)
综合与探究
【问题情境】
数学课上，老师让同学们以矩形为背景，探索动点运动过程中产生的数学问题．如图，已知四边形是矩形，E是其所在平面内的一动点，且，作线段的垂直平分线，分别交直线、、于点F、G、H．
【特例探究】
(1) 如图，小豫画出了点在线段的延长线上时的图形，请你判断此时四边形的形状，并说明理由；
(2) 如图，小郑画出了点与点重合时的图形，请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由；
(3) 【拓展延伸】小宛继续改变点的位置（但不与点A重合），其他条件不变．请直接写出当直线经过点A时，的度数．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】7
15.【答案】或
16.【答案】【小题1】
解：原式
；
【小题2】
解：原式
．

17.【答案】【小题1】
2

【小题2】
解：小海书写准确性的平均数为（分）；
【小题3】
解：从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差，
所以小海在物理实验操作中发挥稳定；
【小题4】
解：熟悉实验方案和操作流程；或注意仔细观察实验现象和结果；或平衡心态，沉着应对．

18.【答案】【小题1】
解：点在一次函数的图象上，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为．
【小题2】
解：，由图象的对称性，可知，
由勾股定理，得．
又，
．
又点在轴上，
点的坐标为或．
【小题3】
解：结合函数图象，一次函数图象在反比例函数上方的区间为：或．

19.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求；

【小题2】
∵四边形是矩形，
∴，
∵由折叠可得，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个，
由题意列方程得：，
∴，
∵，均是正整数，
∴当时，，
当时，，
答：大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个．
【小题2】
解：设大号编织个，则小号编织个，
则，
解得，
∵为正整数，
∴，
设总利润为元，则
，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，
答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元．

21.【答案】【小题1】
解：由题意得，，
，
．
，，
，
．
答：学校旗杆的高度为；
【小题2】
解：由题意得，，
，
．
，，，
，
．
在中，，
，
．
，，
设的半径为，则，，
是的切线，是的半径，
．
，
，
，解得．
答：景观灯灯罩的半径．

22.【答案】【小题1】
解：∵抛物线的顶点在轴上，
∴，
整理得，，
解得；
【小题2】
证明：∵点在该抛物线上，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为，
∴；
【小题3】
解：∵，都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数的对称轴为直线，
即，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
∴关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，
解得，
①当，都在对称轴左侧时，
∵随的增大而减小，且，
∴，
解得；
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
∵，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，
解得，
又∵，
∴；
综上，的取值范围为或．

23.【答案】【小题1】
解：四边形是正方形；
证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
【小题2】
解：，理由如下：
如图，四边形是矩形，连接，
∴，，
∵，点与点重合，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴点是中点，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在直角中，，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴；
【小题3】
解：直线经过点时，的度数为或或，理由如下：
依据点在上的位置分三类讨论如下：
当点在线段上时，如图，设，
由（）可知，，，
∴，
∵，
∴在点运动的过程中，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点在线段的延长线上时，如图，设，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点在线段的延长线上时，如图，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
综上所述，直线经过点时，的度数为或或．

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