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江西吉安县第三中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中素养训练数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与的等比中项为( )
A. B. C. D.
2.火箭发射后，其高度单位：为，则在这段时间里，火箭爬高的平均速度为( )
A. B. C. D.
3.已知为递减的等比数列，且，，则公比( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，项的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量，则( )
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和，则“是等差数列”是“是等差数列”的( )
A. 充分不必要的条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.函数图象上一点到直线的最短距离为( )
A. B. C. D.
8.已知数列的各项均不为，其前项积为，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选以下运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. 事件相互独立 B. 事件互斥
C. D.
11.已知数列满足，，则下列结论正确的是( )
A. 是递增数列 B. 当时，
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在处的导数为，则 ．
13.若随机变量，且，则的值为 ．
14.有张卡片，分别标有数字，，，，，，从中有放回地随机抽取次，每次抽取张，记为标有数字的卡片被取出的次数，记，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随机抽取某地家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：
超市
广告支出万元
销售额万元
计算广告支出与销售额之间的相关系数结果保留两位小数；
根据以上数据建立销售额与广告支出的经验回归方程，并估计当广告支出为万元时的销售额．
参考数据及公式：，，，，
相关系数，一元回归直线方程中．
16.本小题分
记数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
记数列的前项和为，证明：．
17.本小题分
某景区上、下山各有步行和乘观览车两种方式．调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为假设游客之间选择上、下山的方式互不影响．
从该景区出口随机选取一名下山的游客，求该游客是步行下山的概率；
从该景区出口随机选取名下山的游客，记为这人中步行下山的游客人数，求的分布列及数学期望．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，记数列的前项和为；
(ⅰ)求；
(ⅱ)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
一个不透明盒子中装有除颜色外大小形状均相同的个小球，其中包含个红球，个黑球．小明在做摸球游戏，游戏规则：从盒子中随机取出一个球，若取出红球，则放回盒子中；若取出黑球则不放回，另外补一个红球放入盒子中．设每次取球相互独立，用随机变量表示小明做了这样的游戏次后盒子中红球的个数．
求；
求的分布列；
证明数列为等比数列，并求．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：由题意可得，
，
所以．
由题意可得，，
所以销售额与广告支出的经验回归方程为，
当时，，
故当广告支出为万元时的销售额约为万元．

16.解：当时，，
故，即，
所以，
故是以为首项，为公差的等差数列，
所以．
由得，
所以，
所以
，
因为，所以．

17.解：设事件为“游客步行上山”，事件为“游客乘观览车上山”，事件为“游客步行下山”，
由题意可知，，，，
由全概率公式，
即该游客是步行下山的概率为．
由可知每位游客步行下山的概率均为，故这人中步行下山的游客人数，
故，
所以的分布列为
的数学期望．

18.解：设数列的公差为，由得，
由，令得，
联立，得，，
所以．
由可得，
所以，
，
得：，
所以．
(ⅱ)将代入不等式得，
当为奇数时，不等式等价于恒成立，
因为，所以；
当为偶数时，不等式等价于恒成立，
因为，所以；
综上可知的取值范围为．

19.解：由题意可知摸一次球后盒子中有个红球即为摸到黑球，
故．
由题意可知，的所有可能取值为，，，
，
，
，
故的分布列为
设的分布列为
其中，且，
而，，，
所以的分布列为
所以
，
即，而，
所以数列为等比数列，
所以，故．

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