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福建龙岩第一中学等校2025-2026学年第二学期期中测试
高一数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.如图，点为正六边形的中心，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
4.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，，，则在上的投影向量等于( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，所对的边分别为，，，面积为若，，且，则( )
A. B. C. D.
7.在菱形中，，，为菱形所在平面内的动点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，，分别是侧棱，的中点，经过，作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，则( )
A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第三象限
C. D. 是方程的一个根
10.已知的内角，，的对边分别为，，，则( )
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则
D. 若满足，的有两个，则边长的取值范围是
11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，动点在侧面内且满足，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则四面体的体积为
B. 若，则
C. 若存在点，使平面，则长度的最小值是
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，的斜二测画法的直观图是，其中，那么的面积为 ．
13.在梯形中，，，设，则 ．
14.在中，角，，所对的边分别为，，若，且，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若向量，求实数的值；
若向量满足，求的值．
16.本小题分
已知复数，且为实数，其中为虚数单位．
求复数；
在复平面内，设复数，，对应的点分别为，，，若四个点，，，构成平行四边形，求点对应的复数．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
求；
若的平分线交边于点，且，，求的面积．
18.本小题分
如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点．
求证：，，，四点共面．
设平面平面，求证：．
棱上是否存在一点，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，．
已知．
(ⅰ)求角；
(ⅱ)若，且为锐角三角形，求面积的取值范围．
设为内一点，满足，若，，求实数的最小值．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，，
得，．
因为，所以，
解得．
由，，得，，
由，得，，解得，
所以，则．

16.解：因为，
所以，
则，所以，所以．
由题意可知，，，所以，，．
设，又为平行四边形，所以，
即，解得，，
故，即点对应的复数为．

17.解：，
，
即，即，
，，．
在中，由正弦定理得，．
在中，由正弦定理得，．
两式相除可得，即．
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，解得，．
的面积．

18.解：证明：连接．
因为，分别为棱，的中点，
所以，又在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，所以，所以，
所以，，，四点共面．
证明：由知，又平面，平面，
所以平面．
因为平面平面，平面，所以．
存在，且．
理由如下：取的中点，连接，．
因为，分别为，的中点，
所以，，
又，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以．
设为的中点，所以，所以，
又平面，平面，所以平面．
故存在所求的点，且．

19.解：因为，
所以由正弦定理得，
又，
所以，
由，，所以，
即，又，所以，得．
(ⅱ)因为是锐角三角形，且，所以，，
又，所以，
则，
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是．
因为，
所以，所以，
所以，所以为直角三角形，．
，
设，，，
则由，得，
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，所以，解得或舍去．
故实数的最小值为．

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