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安徽太湖中学等学校2025-2026学年高二下学期4月检测数学试题
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.可表示为( )
A. B. C. D.
2.在数列中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择方案共有( )
A. B. C. D.
4.下列导数运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
6.被整除的余数为( )
A. B. C. D.
7.已知等比数列的前项积为，，，则使得成立的正整数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数在区间上单调递增
C. 在处，函数取得极值
D. 在处，函数取得极值
10.甲、乙、丙、丁四名大学生到，，三家公司参加实习工作，每名大学生仅去一家公司实习，每家公司至少安排一名大学生，则下列说法正确的是( )
A. 共有种不同的安排方法
B. 若公司需要两名大学生，则有种不同的安排方法
C. 若甲不能安排在公司，则有种不同的安排方法
D. 若甲、乙不能在同一家公司，则有种不同的安排方法
11.下列等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.函数在区间上的平均变化率为 ．
13.已知，则 ， ．
14.在数列中，，，，记数列的前项和为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.名女生和名男生排成一排，若女生不相邻，有多少种排法
用、、、、、可以组成多少个无重复数字的四位数且是偶数
从名男生和名女生中选出人参加一项无人机表演赛，如果这人中必须既有男生又有女生，有多少种选法
16.已知函数在处取得极小值．
求的值
求在区间上的最大值和最小值．
17.在的展开式中，第项与第项的二项式系数之比是．
求展开式中的常数项
求展开式中系数最大的项．
18.在等差数列中，，，数列的前项和为，且满足．
求和的通项公式；
若，求数列的前项和；
设表示不超过的最大整数，如，，求的值．
19.已知函数．
当时，求的图象在处的切线方程
讨论的单调性
当时，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：先排名男生，男生全排列有种方法，
男生排好后形成个空位，从中选个空位安排女生，女生排列有种方法，
故共有种．
解：分两类讨论：
第一类：末位为，此时千位可从中选，百位从剩余个数字中选，
十位从剩余个数字中选，有个，
第二类：末位为或，末位有种选择，千位不能为和末位数字，有种选择，
百位从剩余个数字中选，十位从剩余个数字中选，有个，
故共有个．
解： 用间接法
从人中选人的总选法有，
全是男生的选法有，全是女生的选法有，
故既有男生又有女生的选法为种．
16.解：由题意得，函数，
所以，
因为在处取得极小值，所以，
代入得：，即，
解得或，
当时，，
令得或，
当时，，
令，即，解得或，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
所以是极大值点，不符合题意，舍去；
当时，，
令，即，解得或，
当时，，单调递增
当时，，单调递减
当时，，单调递增，
所以是极小值点，符合题意．
综上，的值为；
由知，则，，
令，即，解得或，
当时，，单调递增
当时，，单调递减
当时，，单调递增，
且
，
所以在区间上的最大值为，最小值为．
17.
由题意得，二项式展开式的第项二项式系数为，第项二项式系数为。
已知二项式系数之比为，可得：，
解得。
展开式的通项公式为。
令，解得。
则常数项为。
设展开式中第项的系数为，则。
要使系数最大，需满足且。
，令，解得。
，令，解得。
综上，时系数最大，此时第项为系数最大项。
系数，
该项为。
18.解：设等差数列的公差为，又，，
所以，解得，所以，
当时，，得；
当时，由，得，所以，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以．
由，得，
所以，则，
所以，
所以．
由题意知，
由，，得，，
故，，，，
以上各式相加，得．
由，，得，
故，，，，
以上各式相加，得，
则．
综上，，所以．

19.解：当时，函数，
则，
，
，
从切点为，切线的斜率为，
所以切线方程为，即；
函数，定义域为，
，分母，只需分析分子的符号。
当时，，则，故在上单调递增，
当时，为开口向上的二次函数，判别式，
若，即，，则，在上单调递增。
若，即，的两根为，，显然，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减。
当时，为开口向下的二次函数，两根，。
因为，则，，
故当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
综上，时，函数增区间为，减区间为，
当时，在整个定义域上单调递增，无减区间，
当时，函数增区间为和，
减区间为
当时，，
构造函数，定义域为，
得，易知在上单调递增，
因为，，
所以存在唯一，使得，即，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增。
故，
因为，，所以，
因此，即，故结论成立．
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