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河南许昌第二高级中学等四校2025-2026学年高二下学期4月期中
数学试题
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知在等差数列中，，则其前项和( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量的分布列如表所示，且满足，则( )
A. B. C. D.
4.双曲线和抛物线的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为，则( )
A. B. C. D.
5.现有个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少个名额，三、四、五班每班至少个名额，则名额分配方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.函数在区间内存在单调递减区间的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
8.如图，已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 是直线的一个方向向量
C.
D. 若点是点在平面内的射影，则
10.寒假期间，甲同学早上去博物馆有三种出行方式：步行、坐轻轨、坐出租车，概率分别为，，当他步行、坐轻轨和坐出租车时，到达博物馆能立即找到讲解器的概率分别为，，，则下列说法中正确的是( )
A. 甲同学今天早上步行出行与坐轻轨出行是互斥事件
B. 甲同学今天早上坐轻轨出行与坐出租车出行相互独立
C. 甲同学到达博物馆能立即找到讲解器的概率大于
D. 若甲同学今天早上到达博物馆立即找到了讲解器，则他是步行出行的概率为
11.已知直线与函数和的图象分别交于点，，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.若，，则 ．
13.已知数列的前项和为，且满足，，则为 ；满足的最小整数为 ．
14.为迎接国庆佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的个红球和个白球，每位员工从中摸出个小球，若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；若摸到两红球，可获得价值百元代金券；若摸到两白球，可获得价值百元代金券均为正整数已知每位员工平均可得百元代金券，则运气最好者至多获得 百元代金券．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.设数列满足，，且．
求证：数列为等差数列；
求数列的通项公式．
16.已知为正整数展开式的所有项的二项式系数和为．
求展开式中的第项；
求展开式中有理项的个数；
求展开式中系数最大的项．
17.如图，在三棱锥中，平面，，，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上
若为的中点，求证：平面；
若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18.某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过次的学生中，体测成绩“及格”的概率为．
若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率；
已知该实践活动小组的名学生中有名体测成绩“及格”，从这名学生中抽取名，记为抽取的名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望；
经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级现从全校抽取名学生，记为这名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差结果四舍五入保留整数．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
19.已知，，是自然对数的底数．
求函数的单调区间；
若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
当时，若满足，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知，移项可得，
设，则，那么，
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
由得，
当时，，
当时，也满足上式，所以．

16.解：由，可得，
则展开式的通项公式为，
其中，
令，得，所以展开式中的第项为；
当为整数时，对应的项为展开式中的有理项，
故可以为，，，，所以共有个有理项；
由题意，设第项为系数最大的项，则
即有
整理得，解得，
又，所以或，则，，
所以展开式中系数最大的项为和．

17.解：连接，因为，分别是，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
因为平面，，故以点为坐标原点，
以，所在直线分别为轴、轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，，．
设平面的法向量为，则
令，则，，故可取．
则．
因此直线与平面所成角的正弦值为．

18.解：设事件“抽取名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过”，则“抽取名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过”，
设事件“抽取名学生，该学生体测成绩达到及格等级”，
由全概率公式，知，
所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为；
的可能取值为，，，，
，，，，
所以的分布列为
随机变量服从超几何分布，且，，，所以；
由题意得，，
，
，，，
所以的数学期望为，方差为．

19.解：函数的定义域为，求导得，
当时，恒有，则函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
即函数在上单调递减，在上单调递增；
所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
方程，即，当时，方程不成立，则；
令，依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有两个交点，
求导得，当或时，，当时，，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增，
而当时，，当时，，且当时，取得极小值，
作出函数，的大致图象，如图，
观察图象，当时，直线与函数的图象有两个交点，
所以的取值范围为；
当时，，求导得，
由知，函数在上单调递减，在上单调递增；
由，且，得，
令函数，，
求导得，
则函数在上单调递增，有，于是，
而，因此，即，
又，，
函数在上单调递增，所以，
所以．

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