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湖北武汉市5G联合体2025-2026学年下学期期中高一数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为( )
A. B. C. D.
2.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为( )
A. B. C. D.
3.若则( )
A. B. C. D.
4.已知均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在三角形中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6.如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球正方体各个面均与球面有且只有一个公共点以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是( )
A. B. C. D.
7.在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若函数在上没有零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，错误的是( )
A. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
B. 以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台
C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
10.已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的图象关于点对称
C. 若将的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数，则的最小值是
D. 若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围是
11.如图，直线与的边分别相交于点，设，则( )
A. 若，则
B.
C.
D. 若，则为钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.我国古代数学名著数书九章中有云：“今有木长一丈六尺，围之六尺葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长丈尺，圆周为尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长 尺”注：丈等于尺
13.已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为 ．
14.已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，且，其中为虚数单位，是的共轭复数．
求复数；
已知复平面上的四个点构成平行四边形，复数在复平面内对应的点分别为，求点对应的复数．
16.本小题分
东湖之眼”是武汉东湖磨山景区的标志性文旅地标，以樱花粉座舱、分秒旋转一周的“一生一世”浪漫寓意成为城市网红打卡点，其面朝东湖、背靠磨山，乘坐时可度俯瞰东湖万顷湖光与磨山翠色，是兼具颜值与观景价值的城市名片该摩天轮转轮半径为米，座舱最低点距离地面米，以恒定速度旋转某游客从摩天轮最低点处登上座舱，同时开始计时记
求游客乘坐过程中离地面的高度单位：米关于时间单位：秒的函数解析式；
摩天轮转动一周的过程中，当游客离地面高度高于米时，为观景视线最佳时段，求该最佳时段的持续时间结果精确到秒．
17.本小题分
已知，
先化简，再求的值；
已知，求的值；
若已知，且，求的值．
18.本小题分
设的内角，，所对的边分别为，，，且满足，．
求；
若，求中线的长；
若的内切圆半径，求的面积．
19.本小题分
设是平面内相交成的两条射线，分别是与同向的单位向量，定义平面坐标系为斜坐标系，在斜坐标系中，若，则记．
在斜坐标系中
已知，求；
已知，且与夹角的余弦值为，求；
如图所示，在斜坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，且，点分别为的中点，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，则，
所以，则，得，
所以；
由，得，则在复平面内对应的点为点，
，则在复平面内对应的点为点，
，则在复平面内对应的点为点，
平行四边形满足，设，有
所以，故对应的复数为．

16.解：由题设，摩天轮转一周的周期秒，则角速度，
由摩天轮半径米，座舱最低点距离地面米，则摩天轮的圆心距离地面米，
某游客从摩天轮最低点处登上座舱，同时开始计时记，则且；
令，即，
而，则，故，即，
所以秒

17.解：因为，且，
所以；
因为，
所以，解得，
所以；
因为，可得，
即，所以，
因为，所以，，
又，所以，
所以，
所以，解得负值已舍去．

18.解：由，可得．
，
，又，则，
，又，
在中，，则，
在中，有，即，
在中，有，即，
又，则，
得，解得，得；
由，
，即，
由余弦定理得，得，
，即，解得或舍，
所以．

19.解：由，得．
则
所以
由，即，，
得，
，
所以，
与夹角的余弦值为
，解得，
又，；
依题意，设，，
，
在中，由余弦定理得，
由为中点，得，
由为中点，得，
则
，
在中，由正弦定理得，
设，则，

，其中且为锐角，
由，得，
则当时，，
所以的最大值为．

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