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第一章《 整式的乘除》章节检测卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（ ）
①②③④⑤
A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤
2．下面是一名同学所做4道练习题：①，②，③，④，他对的题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（　　）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知等式（，为正整数），则的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．计算的值是（ ）
A． B． C． D．
8．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如图所示．根据材料，则展开后含x项的系数为（ ）
杨辉三角
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
… ……
A．720 B． C．360 D．
9．已知实数a，b满足，则代数式的最大值为（ ）
A．－4 B．－5 C．4 D．5
10．定义，以下说法正确的有（ ）个．
①若不含x的二次项，则．
②若为正整数，、、为自然数，，则满足条件的整式共计有9种．
③若（i为自然数），，，则．
④若，，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
1．若，是正整数，且满足，则正整数与的等量关系为 ．
2．计算： ．
3．根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩 ．（用科学记数法表示）
4．如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是 ．
5.对于一个两位数，记，称为两位数的“生成数”．如，即5为两位数12的“生成数”．若两位数和满足（如），则的最小值为 ．
6．若，则 ．
7．已知，计算：，，．
观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）．
8．若一个四位自然数，满足A，B，C，D互不相同且，若，规定．
（1）当，且为整数时， ；
（2）若，且是一个立方数(即某一个整数的立方)，则满足条件的M的最小值为 ．
三、解答题（10小题，共66分）
1．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值．
2．计算：
(1)； (2)．
3.张伯伯去年租了一块长为、宽为的长方形土地，今年续租时，土地承包商对张伯伯说：“我把这块地的长增加10m，宽减少10m，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”请你通过所学知识帮助张伯伯算一算他是否吃亏．
4．数学活动课上，学习小组发现：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．为了探究这一结论所蕴含的数学规律，计算了下列三组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值）．
第一组 第二组 第三组
； ； ；
； ； ；
； ； ；
．
(1)发现如下规律：两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积___________（填“越大”或“越小”或“不变”）；
(2)若两个正数的和为，设这两正数分别为和．请你利用整式乘法的知识解释上述规律；
(3)请用上述规律解决问题：的最大值是___________．
5．计算：
(1)； (2)．
6．先化简，再求值：
(1)已知，求的值．
(2)，其中，．
7．计算：
(1)； (2)．
8．【类比学习】我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如图①②③④．
【理解应用】
（1）仿照上面的竖式运算方法计算：；
（2）若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式；
（3）如图，一个长为，宽为的长方形，将它的长增加8，宽增加得到一个新长方形，且长方形的周长是长方形的周长的3倍．
（ⅰ）求（用含的代数式表示）：
（ⅱ）长方形的面积和另一个一边长为的长方形的面积相等，求长方形已知边长的邻边长．
9．全国·课后作业）已知多项式，．
【基础设问】（1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③的几项中，出现错误的是________________（填序号），请写出正确的解答过程．
小明的作业 解： ．
（2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出的值为4，请你求出此时A的值．
【提升设问】（3）若x，y满足，求的值．
10．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)用两种方法表示图②中的阴影部分的面积；
(2)请运用你得到的关系式计算：若，，求的值；
(3)若，求的值．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴①正确；
∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，
∴②错误；
∵负指数定义，（），
∴③正确；
∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，
∴④错误；
∵零指数定义，任何非零数的零次幂等于1，
∴⑤正确．
综上，①③⑤正确，
故选：B．
2．C
解：①（任何非零数的零次幂为1），正确；
②，错误；
③，错误；
④，正确．
∴正确的个数是2，
故选：C．
3．B
解：，
故选：．
4．C
解：∵，
∴，即，故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
∵，，
∴，故③正确；
∵，，
∴，故④错误；
∵，，
∴，故⑤正确；
∴正确的关系式为①②③⑤．
故选：C．
5．B
解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选B．
6．C
解：∵ ，
∴ ，，
∵ 为正整数，
∴ 或或或，
∴ 值为：，
∴ 不可能为 .
故选：C．
7．C
解：
．
故选：C．
8．B
解：由题意可得杨辉三角的第6行的每一项分别为：，
∴，
在不考虑系数的情况下，
∴展开后含x的项为第4项，
此时系数为．
故选：B．
9．A
，即
时，的最大值为
故选：A
10．A
解：由题意可得：，
∴
，
∵不含x的二次项，
∴，即，即①错误；
由题意可得：，
∵为正整数，、、为自然数，
∴当时，，则有，共6种情况；
当时，，则有，共3种情况；
当时，，则有共1种情况；
∴则满足条件的整式共计有10种．即②错误；
∵若（i为自然数），
∴
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，即，
∴，
∴，故③错误；
设，则，，
∵，
∴，解得：，
，
，
或，
或，
∵，
∴，
∴，
那么当时，；
当时，；故④错误；
综上，正确的个数为0个．
故选：A．
二、填空题
1．
解：，
整理得：，
∴，
即：．
故答案为：．
2．
解：原式为．
由于指数2026是偶数，因此．
原式化为．
根据指数运算法则，，得．
故答案为：．
3．
解：总伸缩量，
故答案为：．
4．
解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母、、代入，得：，
矩形表示多项式，
因此对矩形计算得：，
将两个结果相乘并展开得，
综上，计算结果为．
故答案为：．
5．26
解：根据题意，设两位数为和，满足，
∴，
∴，，
∴，
∵
，
设，
要求的最小值，即需求的最小值，
∵，，
∴，，
∴
，
∵，
∴，
当时，，，取时，的最小值为12；
当时，，，为定值；
当时，，，取时，的最小值为12；
∴的最小值为12，
∴的最小值为，
故答案为：26．
6．
解：
．
故答案为：．
7．
解：由给定的等式可知，对于任意正整数 ，有 ．
令，则有 ，即，
，
．
故答案为：．
8． 10
解：（1）∵，，，
∴，
设，则，
∴，
∵，且A、B、C、D都是0到9的整数，A不为0，
∴，
要使得为整数时，则为5的倍数，
∴，
∴，
（2）由（1）得： ，
∵D可以作千位，
∴，
∵，，
∴
∵最大的互不相应的数字是6，7，8，9，
∴当，或，时
∴，
又∵是一个立方数，
∴或8或27，
又∵，
∴是偶数，
∴
∴，
∴
∴
∴或2或3或4，或1或2或3或4，(且C、D不相等)
①当时，
令，则，解得：，
(不合题意，舍去)；
令，则，解得：，
∴，
∴；
令，则，解得：(不合题意，舍去)；
令，则，解得：(不合题意，舍去)；
②当时，
令，则，解得：，
(不合题意，舍去)；
令，则，解得：，
∴，
∴；
令，则，解得：(不合题意，舍去)；
令，则，解得：(不合题意，舍去)；
③当时，
令，则，解得：(不合题意，舍去)；
令，则，解得：(不合题意，舍去)；
令，则，解得：(不合题意，舍去)；
令，则，解得：(不合题意，舍去)；
③当时，
令，则，解得：
∴，
∴；
令，则，解得：(不合题意，舍去)；
令，则，解得：(不合题意，舍去)；
令，则，解得：(不合题意，舍去)；
综上所述：或或，
∴的最小值为：；
故答案为：10；．
三、解答题
1．（1）解：∵，
∴．
∴．
∴．
解得．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
解得．
2．（1）解：原式．
（2）解：原式．
3．解：原来长方形土地的面积为：．
今年土地的长为 ，宽为 ，面积为：
．
∵ ，
∴．
∴．
∴ ，即张伯伯租到的土地面积变小了．
∴张伯伯吃亏了．
4．（1）解：第一组：，
，，，，
，
，
第二组：，
，，，，
，
，
第三组：，
，，，，
，
，
∴两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积越大．
故答案为：越大．
（2）解：∵两正数分别为和，
∴这两正数差的绝对值为，
∵为定值，，，
∴ 当越小时，越小，越大，
∴当越小时，和的积越大，
当时，和的积最大为．
∴两正数和一定时，这两正数差的绝对值越小则这两正数的积越大．
（3）解：，，
由（1）可得，越小，越大，
∵，
∴当时，取得最大值，此时取得最大值，
由可得，
解得，
当时，．
∴的最大值是．
故答案为：．
5．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
6．（1）解：原式
．
当时，
原式．
（2）解：
．
当，时，
原式．
7．（1）解：
；
（2）
．
8．（1）解：根据题意，得
，；
（2）解：根据题意，得
；
（3）解：（ⅰ）根据题意，得长方形B的长为，宽为，
由长方形的周长是长方形周长的3倍，
，
解得：，
（ⅱ）长方形的面积为：，
长方形已知边长的邻边长为。
9．解：（1）①和③
正确的解答过程如下：
．
（2）∵，
∴，
∴．
（3）
．
∵，
∴
即，
∴
．
10．（1）解：方法一：
阴影部分是边长为的正方形，因此面积为：．
方法二：
大正方形边长为，面积为，
四个小长方形总面积为，
因此阴影部分面积为：．
综上，阴影部分面积可表示为或者．
（2）解：由（1），得．
代入，，
原式
．
（3）解：设，，则
已知，由完全平方公式：代入，
．
∴ ．

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