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2026学年八年级数学下学期期中复习卷（1-3章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则
C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等
2．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列式子中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 ABC中，，将 ABC绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ）
A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针，
6．如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点，则的度数为（ ）
A．82° B．83° C．84° D．85°
7．如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象，若该图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．如图， ABC三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
10．如图，是内部一点，关于、的对称点分别是点、点，连接分别与，交于点，点，连接，，下列结论：①若，则是等边三角形；②的周长等于线段的长；③平分；④．正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．若在实数范围内有意义，则的取值范围是__________．
13．如图，在 ABC中，，，交延长线于点，则的长为___________．
14．若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____．
15．在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点A，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点．若点与A关于原点对称，则的值为_____．
16．在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．）
17．（6分）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
18．（6分）如图， ABC是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若D为中点，，，求的长．
19．（6分）如图， ABC是等边三角形，，垂足为C，E是的中点，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．
(1)求的大小；
(2)求证：是等边三角形．
20．（6分）已知：在 ABC中，图图3的 ABC的内角平分线或外角平分线交于点O．
(1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示）
(2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知 ABC三个顶点的坐标分别是，、．
(1)画出将 ABC向下平移6个单位长度得到；
(2)画出关于原点O成中心对称的；
(3)若将 ABC绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ．
22．（8分）某药店购进型口罩和普通医用口罩共4000包，这两种口罩的进价和售价如下表所示：
口罩 普通医用口罩
进价（元/包） 19 7
售价（元/包） 23 10
若该药店购进普通医用口罩x包，两种口罩全部销售完后可获得利润为y元，请解决下面问题．
(1)求出利润y与x的函数关系式．
(2)已知 口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，该药店决定：不管何种类型口罩，每销售一包口罩，就抽出元钱捐给正在接种新冠肺炎疫苗的医疗机构．所有口罩都销售完后，若除去捐款后，所获得的最大利润为11000元，求a的值．
23．（8分）如图，将 ABC的边、延长到、，、的角平分线、交于点，连接，，过点作、的垂线，垂足分别为，．
(1)求证：点在的角平分线上；
(2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由；
(3)求的度数．
24．（12分）阅读理解：
定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
问题解决：
(1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号；
①；②；③
(2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围；
(3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围．
25．（12分）综合与实践
在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在 ABC中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接．
(1)初步探究
如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ；
(2)类比探究
如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）；
(3)延伸探究
如图③，在 ABC中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意；
B、若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，该命题为假命题，不符合题意；
故选：C
2．D
解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．D
解：A、∵，
∴不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得，故A正确．
B、∵，
∴不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得，故B正确．
C、∵，
∴不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C正确．
D、∵，
∴不等式两边同时除以，是正数，不等号方向不变，可得，与选项式子不符，故D错误．
4．C
解：∵点在第二象限，
∴横坐标，纵坐标，
即，
解不等式组得：，
∴m的取值范围是．
故选：C．
5．A
解：将 ABC绕点旋转，得到，
，
当旋转方向为顺时针时，旋转角度为；
当旋转方向为逆时针时，旋转角度为．
故选：A．
6．C
解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴在四边形中，．
故选：C．
7．C
解：∵，，，
∴，
∵由平移得到，
∴，
∴，
又∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
∵，，
∴其周长为，
故选C．
8．A
解：根据题意，直线的图象沿x轴翻折后的函数关系式是，
把代入得：，
解得：，
∴两函数与x轴的交点坐标为：，
对，当时；
对，当时，；
可列出不等式组，
解得：．
故选：A．
9．C
解：由平分，与不一定相等，因此不一定垂直平分，故不正确；
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴，故正确；
∵平分，
∴点到的距离等于点到的距离，
如图，过点作于，则，连接，
∴点到的距离大于，故不正确；
如图，连接，过点作于，过点作于，过点作于，
∵、分别平分、，
∴，
∴，故正确；
综上所述，正确．
故选：C．
10．D
解：∵点关于、的对称点分别是点、点，
，，，．
，．
是等边三角形，故①正确．
由轴对称可知，，，
，故②正确．
由轴对称可知，，，
，．
，
．
．
平分，故③正确．
，，
．
∵∠P1AP2+∠AP1M+∠AP2N=180 ，
．
，故④正确．
二、填空题
11．
解：∵平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，
∴点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
12．
解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为．
13．
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴∠D=90 ，
∴．
14．
解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵关于的不等式组有解，
∴，
解得：．
故答案为：．
15．3
解：∵直线（m为常数）与x轴交于点A，
∴当时，，
解得，
∴，
∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度，
∴平移得到，
∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后与x轴交于点，
∴当时，，
解得，
∴，
∵点与A关于原点O对称，
∴，
解得，
故答案为：3．
16．
点，点，
情况1：；
情况2：，
平方得，解得；
情况3：，
则，
，
即或（舍去），；
综上，的坐标为．
故答案为：．
三、解答题
17．解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为，
将其解集在数轴上表示出来为：
18．（1）证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在中，；
在中，．
∵ ，
∴ ．
又∵ （对顶角相等），
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（2）解：∵ ，为中点，
∴
在中，，，
由勾股定理得：
．
答：的长为．
19．（1）解：∵ ABC是等边三角形，
∴，
∵E是的中点，
∴平分，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
由平移性质可得：，
∴，，
∴，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
20．（1）解：如图1，；
如图2，；
如图3，；
（2）证明：选择图1，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
或选择图2，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴.
∵，
∴；
或选择图3，
∵平分，平分
∴，.
∴，
∴.
21．（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）如图，旋转中心为点M，可知旋转中心的坐标为，
故答案为：．
22．（1）解：设该药店购进普通医用口罩x包，则购进型口罩包，
由题意得，，
即；
（2）解：设除去捐款后获得的利润为元，
由题意得，，
口罩的数量不多于普通医用口罩数量的3倍，
，
，
中，，
W随x的增大而减小，即当时，W取最大值11000，
，
解得．
23．（1）证明：作于，
平分，平分，，，
，，
，
点在的角平分线上；
（2）解：，理由如下，
在和中，
，
∴，
，
同理：，
，
；
（3）解：∵点在的角平分线上，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵是的外角，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴
∵是的外角，
∵，
即，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．（1）解：，
解得：，
①，
解得：，
∴不是此不等式的解；
②，
解得：，
∴是此不等式的解；
③，
解得：，
∴是此不等式组的解；
∴方程的解是此方程与②③的“理想解”，
故答案为：②③；
（2）解：∵是方程组与不等式的“理想解”，
∴，，
解方程组，得：，
∴，
∴，
即的取值范围为；
（3）解：解方程组，得：，
∵关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），
∴，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
解不等式③，得：，
∴不等式组的解集为，
即的取值范围．
25．（1）解：∵旋转，
∴，，
∴，即：，
又∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）成立，理由如下：
∵旋转，
∴，，
∴，即：，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：延长至点，使，连接，作，则：，
∵，，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，的长最短，为的长，
∵，
∴；
故的最小值为4．

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