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2026学年七年级数学下学期期中复习卷（1-3章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．早上的太阳从东方升起
C．经过红绿灯路口，遇到红灯
D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”
2．如图，下列判断正确的是（ ）
A．和是同位角 B．和是内错角
C．和是同旁内角 D．和是对顶角
3．为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．在同一平面内，将直尺、含角的三角尺、木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．若的结果中不含项，则的值为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．如图，是斜拉桥结构示意图，其中索塔顶端距桥梁的高度为米，拉索长度都为480米．为提升桥梁的稳定性，需在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度可以是（ ）米
A．280 B．288 C．420 D．500
7．已知分别是 ABC的三边长，若，则 ABC的周长是（　　）
A．3 B．6 C．8 D．12
8．某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
次数
频率
A．不透明的袋子里有个红球和个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球
B．随机掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“”
C．随机掷一枚一元的硬币，正面朝上
D．三张扑克牌，分别是，，，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是奇数
9．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，根据这两个图形的面积关系，写出一个表示因式分解的式子为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，，平分，，，，则以下结论：①平分；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，直线被直线所截，．请写出能判定的一个条件：________（写出一种情况即可）．
12．在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是，则袋中有黑球______个．
13．如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为______．
14．在一家大型连锁超市中，智感扫码技术发挥了重要作用．超市员工配备了带有智感扫码功能的手持终端．在日常巡店过程中，员工只需扫描货架上商品的二维码．系统不仅能立即显示商品的详细信息，如名称、规格、进价、售价等，还能实时更新库存数据．如图是某二维码示意图，用黑白打印机打印于面积为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右．据此可以估计黑色部分的总面积约为________．
15．有两类正方形，其边长分别为．现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为2和10，则正方形的面积之和为____________．
16．如图，点O为直线上一点，一副三角板如图摆放，其中，，．将直角三角板绕点O顺时针旋转，当的度数是________时，直线与直线互相平行．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．）
17．（6分）计算及化简：
(1)计算：． (2)化简：
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）如图，在由小正方形组成的网格中， ABC的顶点均落在格点上，请按下列要求用无刻度的直尺作图．
(1)在图1中，作，使；
(2)在图2中，在直线上找点E，连接，使线段最短，并说明理由．
20．（6分）如图，已知直线与直线相交于点O，．
(1)若，求的度数；
(2)若，平分，求的度数．
21．（8分）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格：
抽取件数 50 100 200 300 500 1000
合格件数 49 94 192 285 m 950
合格频率 n
(1)表格中m的值为 ，n的值为 ；
(2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率．
(3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？
22．（8分）如图，已知是的平分线，交于点，点、、分别是、、上的点，且∠3=∠ACB，．
(1)图中与是一对______，与是一对______；（填“同位角”或“内错角”或“同旁内角”）
(2)若，垂足为，，则的度数为______；
(3)判断与是什么位置关系？说明理由
23．（8分）某商场为吸引顺客，设置了一个可自由转动的转盘．该转盘被均匀划分成20个扇形区域，其中3个扇形为红色，5个扇形为黄色，其余扇形则为白色．顾客每消费满100元商品，即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止转动时，若指针恰好指向红、黄色区域，顾客便能分别获取100元、50元的购物券．
(1)某顾客购物消费110元，获得一次转动转盘的机会．他获得100元购物券的概率是_________，他能获得购物券的概率是_________；
(2)商场还在一个不透明的盒子里准备了摸球游戏．现有4个红球、3个黄球、2个白球、1个黑球，现需请你帮忙设计一种方案，使在摸球游戏中摸到红球的概率，与转动上述转盘能获得购物券的概率相等．
24．（12分）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为，
【类比探究】
（1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______．
【应用】
（2）根据图②所得的公式，若，，求的值．
（3）若x满足，求的值．
【拓展】
（4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和 BEC区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和．
25．（12分）如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，．
(1)如图1，若，则_______；
(2)如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求．
(3)如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，可能发生也可能不发生，不是必然事件；
B、早上的太阳从东方升起，是自然规律，一定发生，是必然事件；
C、经过红绿灯路口，遇到红灯，可能遇到红灯也可能遇到绿灯，不是必然事件；
D、玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”，对方可能出石头、剪刀或布，不是必然事件
故选：B．
2．B
解：A. 和是内错角，故该选项不正确，不符合题意；
B. 和是内错角，故该选项正确，符合题意；
C. 和不是同旁内角，故该选项不正确，不符合题意；
D. 和是不对顶角，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．A
解：．
故选：A．
4．C
如图：
，
，
，
∴∠CDE=90 ，
．
故选：C．
5．C
解：
∵结果中不含项，
∴
解得．
故选：C．
6．C
解：根据题意得：米，米，
∴在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度取值范围为：，
符合题意的只有选项C，
故选：C
7．C
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ABC的周长是，
故选：C．
8．C
解：∵试验频率从次到次逐渐稳定于，
∴该事件的概率约为，
、不透明的袋子里有个红球和个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球为，不符合题意；
、掷质地均匀的骰子，点数是“”的概率为，不符合题意；
、掷一枚硬币，正面朝上的概率为，符合题意；
、三张扑克牌是，，，抽出一张是奇数的概率为，不符合题意；
故选：．
9．D
解：依题意，图的面积；图2的面积；
∵这两个图形的面积是相等的，
∴，
故选：D．
10．D
解：∵，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
故①错误；②正确；③错误；④正确；
故选：D．
二、填空题
11．（答案不唯一）
解：添加条件
，，
，
．
添加条件，
∵，，
∴
．
添加条件
，，
，
．
故答案为：（答案不唯一）
12．
解：设袋中有黑球个，则总球数为个，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴袋中有黑球个，
故答案为：．
13．
解：由题意得，
，
故答案为：．
14．6.3
解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，
∴估计点落入黑色部分的概率为0.7，
∴估计黑色部分的总面积约为，
故答案为：．
15．12
解：由图1得：，即，
由图2得：，整理得，
∴，
∴．
即正方形A、B的面积之和为12．
故答案为：12．
16．或
解：当在右边时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴；
当在左边时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
综上所述，当的度数是或时，直线与直线互相平行，
故答案为：或．
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
18．解：
，
代入，原式．
19．（1）解：如图1中，即为所求：
（2）解：如图2中，线段即为所求．理由：垂线段最短
20．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为.
21．（1）解：，；
（2）解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95，
∴估计该产品合格的概率为，
∴估计该产品不合格的概率为．
（3）解：（元），
即估计要在他奖金中扣除42元材料损失费．
22．（1）解：图中与是一对同旁内角，与是一对内错角，
故答案为：同旁内角；内错角；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
∴．
23．（1）解：∵该转盘被均匀划分成20个扇形区域，其中3个扇形为红色，5个扇形为黄色，指针恰好指向红、黄色区域，顾客便能分别获取100元、50元的购物券，
∴获得100元购物券的概率为，能获得购物券的概率为，
故答案为：，；
（2）解：依题意，设计方案：将4个红球、3个黄球、2个白球、1个黑球放到不透明的盒子里，一次只能摸出一个球，摸到红球者能获得购物券，摸到其他球不能获得购物券，
此时在摸球游戏中摸到红球的概率为．
则与转动上述转盘能获得购物券的概率相等．
24．解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b，
大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为，
又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积，
，
故答案为：；
（2）由（1）的结论得：，
又，
；
（3）设，则，
，
，
，
由（1）的结论得：，
，
；
（4）设，
于点E，米，
（平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米），
种花区域的面积和为102平方米，
，
，
由（1）的结论得：，
，
，
种草区域的面积和为：（平方米），
答：种草区域的面积和为60平方米．
25．（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
∴；
（2）解：过点作，
设，
∵，，，
∴，即，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，即，
∴；
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，则，
∴，
∴，即；
如图，当时，则，
∴；
如图，当时，则，
∵，，
∴，即，
解得：，
∴；
当时，则，即，
解得：（不符合实际，舍去）；
综上，当四边形的一边与平行时，的度数为或或．

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