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2026学年七年级数学下学期期中复习卷（第1-3章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）
1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为6
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．任意画一个三角形，其内角和为
D．抛一枚硬币，正面朝上
2．下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，下列说法正确的是（ ）
A．和是内错角 B．和是对顶角
C．和是同位角 D．和是同旁内角
4．最近气温骤降，正值感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们需注意防寒保暖．有一种感冒病毒的直径约为米，数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，折叠晾衣架展开后，两根支架和交叉于点是支架形成的一个角，如果把晾衣架再撑开一点，让增加，则会（ ）
A．减少 B．增加 C．减少 D．增加
6．小明现在手里有四张背面完全相同的景点旅游卡，正面印有各景点风景，其中有两张是“崆峒山”，另外两张分别是“泾川王母宫”和“崇信龙泉寺”．现从中随机抽取一张，则恰好抽到“崆峒山”的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃
B．掷一枚一元的硬币，正面朝上
C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数
D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“”
8．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论：
①； ②； ③； ④设，则； ⑤
其中，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知∠A与互余，若，则的度数为______度．
12．某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植棵数 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数 87 279 535 887 6337 13581
成活的频率（保留小数点后三位）
根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为_____（精确到）．
13．已知，，则M与N的大小关系是______．
14．现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为___________．
15．设是实数，定义关于“”的一种运算： ，若，则___________．
16．将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为___________．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．）
17．（6分）计算：
(1)； (2)．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）如图，已知点O为直线上一点，，平分．
(1)求的度数；
(2)若与互余，求的度数．
20．（6分）现有正面分别写有“最”“美”“银”“川”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“银”字的卡片有4张，写有“川”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上．
(1)事件“随机抽取3张，全是写有‘兴’字的卡片”为_______事件；（选填“随机”、“必然”或“不可能”）
(2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率；
(3)从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“银”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“银”字卡片的概率为，求的值．
21．（8分）如图，三点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点）．
(1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）
①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点；
②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足；
(2)在（1）画图结果的基础上，线段_________的长就是点到直线的距离；
(3)连接，比较大小：_________（填“>”“<”或“=”）．
22．（8分）如图，已知，连接，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且．
(1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由；
(2)若于点，求的度数．
23．（8分）从一副52张（没有大小王）的扑克中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在实验中得到下列表中部分数据：
实验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
出现方块的次数 11 18 40 49 63 68 80 91 100
出现方块的频率
(1)填空：______，______；
(2)从上面的表中可以估计从中随机抽取一张是方块的概率是______；
(3)将这副扑克中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张，其中A表示1，表示11，表示12，表示13）取出，将这13张方块扑克牌背面朝上重新洗匀后，从中任意摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方赢，若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？并说明理由．
24．（12分）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片．
【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：．
（1）请你帮小明完成拼图设计；
（2）应用上述公式解决如下问题：
①已知，，求的值；
②若，则______．
【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（3）上述操作能验证的公式是______；
（4）计算：．
25．（12分）如图，射线上有一点，一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转一周．
(1)当射线第一次转至与线段的夹角是时，__________；（用含的代数式表示）
(2)当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求的值；
(3)如图2．当射线绕点旋转到时，点到达射线上的点处．此时，射线开始绕点按顺时针方向以每秒的速度一同旋转，旋转一周停止运动．再经过多少秒，与所在直线垂直？请直接写出答案．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A选项：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数可能为1、2、3、4、5、6中的任意一个，因此点数为6是可能发生也可能不发生的随机事件；
B选项：射击运动员射击一次，可能命中靶心也可能不命中靶心，属于随机事件；
C选项：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都为，这是一定会发生的事件，属于必然事件；
D选项：抛一枚硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，属于随机事件；
故选：C．
2．B
解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是正确的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是错误的．
3．A
解：A选项，和是内错角，故正确；
B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误；
C选项，和是同位角，和是同位角，故错误；
D选项，和是同旁内角，故错误 ．
故选：A ．
4．B
解：数据用科学记数法表示应为．
5．B
解：∵与是对顶角，
∴，
当增加时，也会增加．
故选：B．
6．C
解：∵总共有4张旅游卡，其中“崆峒山”旅游卡有2张．
∴恰好抽到“崆峒山”的概率为．
故选：C.
7．A
解：∵试验总次数为次，该结果出现次，
∴频率为，
可得该事件的概率约为；
对各选项逐一计算概率：
A选项：
∵张不含大小王的扑克牌中，红桃有张，
∴抽到红桃的概率为，符合要求；
B选项：掷一枚硬币正面朝上的概率为，不符合要求；
C选项：
∵共张纸片，其中奇数纸片有张，
∴抽到奇数的概率为，不符合要求；
D选项：
∵质地均匀的骰子共个点数，点数为的情况只有种，
∴点数为的概率为，不符合要求，
8．C
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
9．D
解：∵正方形与正方形的边长分别为，，
∴，，
∵，
∴
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
10．C
解：∵平分，
∴；故①正确；
∵，
∴，
∴；故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；故③正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；故④错误；
设，则：，
由④可知：，
∴，
∴，
∴，
∴；故⑤正确．
综上，正确的有①②③⑤．
二、填空题
11．36
解：因为与互余，
所以．
因为，
所以．
12．
解：由表格数据可得，随着移植棵数逐渐增加，成活的频率逐渐稳定在附近，
根据用频率估计概率的原理，估计银杏树苗在该条件下移植成活的概率约为，
将精确到，结果为．
13．
∵
，
∴，
故答案为：．
14．
解：估计黑色部分的面积约为．
15．
解：由新定义可知，．
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
16．或或
解：分三种情况：①当时，如图：
，
②当时，如图：
，
③当时，过C作，如图，
，
故答案为或或．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．解：原式
；
当时，
原式．
19．（1）解：，，
，
平分，
；
（2）解：与互余，，
，
∴；
20．（1）解：事件“随机抽取3张，全是写有‘兴’字的卡片”为不可能事件．
（2）解：由题意可知，写有“美”字的卡片有（张），
所以随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为．
（3）解：由题意可知：，
解得：，
答：m的值为4．
21．（1）解：①如图所示，即为所求；
②如图所示，即为所求；
（2）解：线段的长就是点到直线的距离，
故答案为：；
（3）解：根据垂线段最短，可知：，
故答案为：．
22．（1），理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
．
23．（1）解：，，
故答案为：30，；
（2）解：从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率为，
故答案为：；
（3）解：不公平，
理由：∵在方块1到方块13共13张牌中，奇数有7个，偶数有6个，
∴甲方赢的概率为，乙方赢的概率为，
由于，
所以这个游戏对双方不公平．
24．（1）解：如图，
大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．
从而验证了完全平方公式：；
（2）①∵，，，
∴，
∴；
②设，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴；
故答案为：3；
（3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：，
，
故答案为：；
（4）解：
．
25．（1）解：由题意得，旋转的角度为，
∴旋转时间为秒，
∴；
（2）解：由题意知，当射线绕点顺时针旋转时，旋转的时间为秒，
当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，
①当为中点时，则，即，
解得；
②当为中点时，则，即，
解得；
③当绕点顺时针旋转时，旋转的时间为（秒），
为中点时，则，即，
解得
综上，的值为或6；
（3）解：设再经过t秒，与所在直线垂直，
由题意知，分三种情况求解：
情况一：如图1，
由题意得，，，
∴，，
∵与所在直线垂直，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
情况二：如图2，
由题意得，，，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
解得；
情况三：如图3，
由题意得，，，
∴，，
∴，
同理可得，
∴，
∴
解得；
综上所述，再经过秒或秒或秒，与所在直线垂直．

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