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2026学年七年级数学下学期期中检测卷（7-10章）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）
1．电影《哪吒之魔童闹海》在中国电影史上锋芒毕露，迅速成为众人关注的焦点．它不仅是一部精彩的影片，更肩负着把中国文化传播到世界的重任．哪吒的剧照如图所示，下面四个图形中，由该图平移得到的图形是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．《算法统宗》是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分两，则还多两；若每人分两，则不足两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，斤两），设客人有人，银有两，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
4．若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ）
A． B． C．16 D．
5．如图， ABC中，，，将三角形沿向右平移至，点E在上，若，则四边形的周长为（　　）
A．21 B．23 C．25 D．27
6．已知关于，的方程组的解满足，其中，都是实数，且．若，均为正整数，则符合条件的整数的个数为（ ）
A． B． C． D．
7．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则下列说法：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．）
9．计算________．
10．是关于，的二元一次方程（，均不为0）的解，则的值为________．
11．已知，则________．
12．有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为___________．
13．如图，将四边形沿所在直线折叠，得，点位于上；再将、分别沿、折叠，得与，点R位于上，则________．
14．如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为__________．
15．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n二元一次方程组的解为______．
16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是_______．
三、解答题（本题共11小题，共82分．）
17．（5分）计算：
(1) (2) (3)
18．（5分）解二元一次方程组：
(1) (2)
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
20．（6分）如图，在的正方形网格中，点均为格点，直线m经过点．按下列步骤依次完成作图：
(1)画出 ABC关于直线m对称的；
(2)画出 ABC绕点P按逆时针方向旋转所得的；
(3)与是否成轴对称？若是，画出对称轴l；
(4)与是否成中心对称？若是，用无刻度的直尺作出对称中心O．
21．（6分）已知关于x、y的方程组
(1)请写出的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)如果方程组有正整数解，求整数m的值．
22．（8分）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，如图①，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图②．切割、拼接等板材损耗忽略不计．
(1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒______个；若使用甲种方式切割木板材y张，则使用乙种方式切割木板材______张；
(2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲、乙两种方式切割的木板材张数．
23．（8分）逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
(1)计算：______．
(2)，，．
(3)已知，求的值．
(4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______．
24．（8分）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”．
(1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”；
(2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值；
(3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由．
25．（10分）我们在学习“整式的乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，得到一些代数恒等式．如图1，沿长方形中的虚线将这个长方形平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)观察图2，用两种不同的方法表示图2阴影部分的面积；
方法1：_____，方法2：_____；
(2)根据（1）中得到的关系式，填空：若，，则_____；
(3)实际上，有许多代数恒等式都可以用图形的面积来表示．如图3，从整体来看是边长为的正方形，可得图3的面积为；从部分来看，图3是由1个边长为的正方形、1个边长为的正方形以及2个长为，宽为的长方形组成，可得图3的面积为，因此可以得到完全平方公式．
①由图4可得等式：_____
②若实数满足，求的值．
26．（10分）【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放：
(1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转______°，才能使落在上；
(2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？
(3)如图3，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，另一条直角边也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，所在直线与所在直线平行或垂直？
27．（10分）阅读理解并解答：
我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
例如：①，
∵是非负数，即，∴，
则当时，代数式的最小值是2；
②，
∵是非负数，即，∴，
则当时，代数式存在最小值－7．
(1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______；
(2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值；
(3)知识拓展：若，求的最小值．
参考答案
一、选择题
1．D
解：上面四个图形中，由该图平移得到的图形是D．
2．D
解：A、，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意；
B、 ，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意；
C、 ，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意；
D、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算，符合题意．
3．B
解：设客人有人，银有两，
由题意得，，
故选：．
4．D
解：∵ 是一个完全平方式，
∴可设为 ，
∴，
解得：．
故选：D．
5．C
解：由平移性质可得，、、，
，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长为25．
6．A
解：解方程组得：
，
，
解得：，
，
，
整理得：，
，均为正整数，
当时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
的值为、、，共个；
故选：A．
7．B
解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为，
因此，
面积为的长方形的长为，宽为m，
因此，
因为的值与的长无关，
即含x的项系数必须为0，
因此，
可得，
综上，m与n的数量关系为，
故选：B．
8．D
解：当时，，
，说法（1）正确；
当时，，
，说法（2）正确；
当时，，即，
，说法（3）正确；
，，
两式相加得，
，
，说法（4）错误；
综上，正确说法有个，
故选：D．
二、填空题
9．
解：
．
10．
解：把代入方程得：，
则．
故答案为：．
11．
解：
而
根据多项式相等对应项系数相等，可得，，
则．
12．95
解：设两个正方形的边长分别为，
由图1可得：，
，
由图2可得：，
，
，
，
图2中大正方形的面积为，
故答案为：95．
13．60
解：由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，
故答案为：60．
14．
解：∵点关于的对称点是，
∴垂直平分，
∴
∵点关于的对称点是，
∴垂直平分，
∴
∵，
∴
∴
故答案为：
15．
解：设，则关于，二元一次方程组可化为，
∵关于，的二元一次方程组的解为，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
16．2701
解：设两个数分别为，k，其中，且k为整数．则．
设两个数分别为和，其中，且k为整数．则，时，，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
∴（且k为整数）均为智慧数；
除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：
∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得，
∴，
∵和这两个数的奇偶性相同，
∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
又∵，
∴第2024个智慧数在（组），并且是第1个数，即．
故答案为：2701．
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
18．（1）解：
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
（2）解：
得：，
得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
19．解：原式
，
当时，
原式
．
20．（1）解：如图，即为所作；
（2）解：如图，即为所作；
（3）解：与成轴对称，对称轴l如图所示；
（4）解：与成中心对称，对称中心O如图所示．
21．（1）解：方程，
解得：，
当时，；
当，；
即方程的正整数的解为，；
（2）解：联立得，
解得，
代入得：，
解得；
（3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，；
代入得，
或
解得：（舍去）或
综上所述，整数的值为．
22．（1）解：设制作A种木盒x个，则制作B种木盒个；若使用甲种方式切割木板材y张，则使用乙种方式切割木板材张；
故答案为：，
（2）解：由题意得，使用甲种方式切割的木板材y张，使用乙种方式切割的木板材张，
∴可切割出张的木板材，张的木板材，
一个规格A的盒子需要5张的木板材，一个规格B的盒子需要1张的木板材和4张的木板材；
∴，
解得：，
∴，,
答：故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，使用甲种方式切割的木板材150张，使用乙种方式切割的木板材50张．
23．（1）解：．
故答案为：．
（2）解：，
，
．
故答案为：5，81，6．
（3）解：，
．
．
（4）解：，
，
，
又，
，
即．
故答案为：．
24．（1）解：具有“友好关系”，理由如下：
，
①②得，，
解得，
将代入②得，，
解得，
∴方程组的解为，
，
方程组的解与具有“友好关系”，
故答案为：具有；
（2）解：，
②①得，，
∴
方程组的解与具有“友好关系”，
，
解得或，
的值为或；
（3）解：，
①得，，
解得，
由②得，
∴
∵方程组的解具有“友好关系”；
∴
∴
∴其中与都是正整数，
∴或
∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”．
25．（1）解：方法一：∵图中阴影部分正方形边长，
∴阴影部分面积；
方法二：∵图中大正方形面积，一个小矩形的面积，
∴阴影部分面积；
故答案为：；；
（2）解：∵若，，
∴，
故答案为：；
（3）解：①由图4可得等式：；
故答案为：；
②：∵，
∴，
∴把，代入可得：
，
解得：．
26．（1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合，
由三角板的性质可知：
∵，，
∴，
∴至少旋转，与重合．
故答案为：75；
（2）由旋转的性质得，
设，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）当在点O的右侧时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当在点O的左侧时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴旋转的角度，
综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线平行．
当在点O的上侧时，如图，延长交于点E，
∵，
∴，
∴，
∴．
当在点O的下侧时，如图，延长，相交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线垂直．
27．（1）解：，
，
当，即时，代数式取得最小值，最小值为．
故答案为：3，3；
（2）解：
，
，；
当，即时，有最大值，最大值；
（3）解：由得；
则，
当时，取得最小值，最小值为．

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