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2026学年七年级数学下学期期中检测卷（第7-10章）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．我国古代数学著作《算法统宗》中记载着这样一道题，其大意是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人．若有33位客人总共饮了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒各饮了多少瓶？设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶，根据题意可列出方程组为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．若，，，．则（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于的多项式乘积不含的二次项，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，当，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
7．已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（ ）
A． B．3 C．或4 D．3或15
8．如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为，现从点O引一条射线，使，再沿把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．）
9．已知是二元一次方程组的解，则______．
10．若，，则________．
11．要使的结果中不含项，则为______.
12．如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点和点重合，折痕为．若，则________________．
13．已知，，则用x的代数式表示y，结果为__．
14．定义运算：，例如：，则的运算结果是______．
15．如图，我们将每个“尖角”为，且十条边都相等的五角星称为“正五角星”，图1中的虚线将周角十等分．通过图2的折纸步骤制作一个五角星，折叠后沿着剪开，若要使得剪下来的纸片展开后是正五角星，则的大小为_________ ．
16．已知是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解，且整数的所有可能的值为_____．
三、解答题（本题共11小题，共82分．）
17．（5分）计算：
(1)； (2)．
18．（5分）计算：
(1) (2)
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
20．（6分）关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求的值．
21．（6分）已知，，
(1)求的值
(2)求
22．（8分）如图，在的网格纸中给定了图形Ⅰ和格点O的位置（图形I的顶点均在格点上）．
(1)画出图形I先向下平移4格，再向右平移2格后的图形Ⅱ；
(2)画出图形Ⅰ绕点O旋转后的图形Ⅲ；
(3)在（1），（2）所作的图形中，图形Ⅲ可以看成是由图形Ⅱ经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）．
23．（8分）某商店需要购进甲、乙两种商品两种商品均购进，其进价和销售价如表所示：
甲 乙
进价（元/件） 120 150
售价（元/件） 135 180
(1)若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，销售后利润600元，甲、乙两种商品分别购进多少件？
(2)若商店计划购进甲、乙两种商品，正好用去1800元，求甲、乙两种商品购进件数的所有方案．
24．（8分）材料，一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题：
(1)计算：　　 ，　　 ，　　 ；
(2)观察（1）题中的三数，4，16，64之间存在怎样的关系式 ，，，又存在怎样的关系式 ；
(3)由（2）题猜想 （且，，）；并结合幂的运算法则：进行证明；
(4)已知，求的值．（且）
25．（10分）【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论．
【提出问题】
（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：；公式②：；公式③：；公式④：．
图1对应公式____，图3对应公式____．
【解决问题】
（2）利用图形所表示的乘法公式，解决以下问题．
①已知，，求的值；
②化简．
【能力拓展】
（3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形CDEG都为正方形时，若，正方形和正方形CDEG的面积和为36，直接写出阴影部分的面积____．
（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是）
26．（10分）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）

(2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．

①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米；
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积；
(3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
27．（10分）若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”．即若，则称和互为“互优角”．（本题中所有角都是大于且小于的角）
(1)若和互为“互优角”，当时，则______；
(2)如图1，将一长方形纸片沿着折叠，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，求的度数；
(3)再将纸片沿着折叠（点在线段或上），使点落在．若与互为“互优角”，则______．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B. 该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C. 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D. 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．B
解：由题意得，，
故选B．
3．A
解：∵，，，
∴．
4．C
解：，，，，
∴，
故选：C．
5．C
解：由
，
又∵乘积不含的二次项，
∴，
∴，
故选：．
6．A
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
展开得：，
∴，
∴，
故选：A．
7．D
解：，
得：，
把代入②得：，
关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，
既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7，
或4，
当时，；
当时，，
的值为3或15．
故选：D．
8．D
解：①由题意得，三个角分别是、、，
且，，
又
，
，
②三个角分别是、、，
有且只有一个角最大，即为，
且，，
又
，
．
故选：D．
二、填空题
9．0
解：，
由①＋②得，，
，
故答案为：．
10．
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
11．
解：原式，
∵不含项，
∴，
解得．
故答案为：．
12．
解：如图，由折叠的性质知：．
∵，，
∴．
又，
∴．
故答案为：．
13．
解：∵，
∴．
14．
解：∵，
∴
．
故答案为：．
15．
解：根据折叠的性质及平角的定义分析如下：
∴，
∵，
∴，
即．
16．2031
解：∵，
解方程组得，，
∵，为整数，
∴和均可以被41整除，
设（m为整数），则；
我们希望能被4整除．我们可以把41和35拆成4的倍数加余数：
∴；
代入上式：
；
∵等式左边是4的倍数，右边前半部分也是4的倍数，所以剩下的也必须是4的倍数．
设（t为整数），即．
把代入：
，
得．
∵，
∴，
∴，
∵为整数，
∴，
∴．
故答案为：2031．
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：
．
18．（1）解：
；
（2）解：
．
19．解：
当时，
原式
．
20．解：根据题意得，
解得：，
把代入方程中，
得，
解得：，
∴．
21．（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴
∴
∴
∴
∴
．
22．（1）解：如图，图形Ⅱ即为所求作的图形；
（2）解：如图，图形Ⅲ即为所求作的三角形；
（3）解：如图，图形Ⅲ可以由图形Ⅱ沿直线l折叠得到，即图形Ⅲ可以看成是由图形Ⅱ经过一次轴对称得到；
图形Ⅲ可以由图形Ⅱ绕点M旋转得到，即图形Ⅲ可以看成是由图形Ⅱ经过一次旋转得到．
故答案为：轴对称或旋转．
23．（1）解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进件，
根据题意得：，
解得：，
（件）
答：甲种商品购进20件，乙种商品购进10件；
（2）设购进m件甲种商品，n件乙种商品，
根据题意得：，
，
又，n均为正整数，
或，
该商店共有2种进货方案，
方案1：购进10件甲种商品，4件乙种商品；
方案2：购进5件甲种商品，8件乙种商品．
24．（1）解：，
，
故答案为：；
（2）解：由（1）可知，4，16，64之间存在怎样的关系式为，
，，之间存在的关系式为，
故答案为：，；
（3）解：由（2）得，，
设，则，
∴，即，
∴；
故答案为：；
（4）解：∵，
∴．
25．解：（1）图1，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看三个长方形的面积和为，
∴，故图1对应公式①；
图2，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个长方形的面积和为，
∴，故图2对应公式②；
图3，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为，
∴，故图3对应公式④；
图4，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为，
∴，即，故图4对应公式③；
故答案为：①；④；
（2）①把两边平方得：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②
；
（3）设，，则有，，
把两边平方得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
26．（1）解：根据展开图的折叠，
④不能折成一个长方体纸盒，
①②③才能折成一个长方体纸盒，
故答案为：④；
（2）①长方体纸盒的底面积为：（平方厘米）
故答案为：；
②如图，设，，
∵ 能折成一个无盖长方体纸盒，且，
∴，
∴，，
即，
解得：，
∴（立方厘米），
∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；

（3）设小明剪去的小正方形的边长为厘米，
①如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
该方程无解；

②如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，

③如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，

④如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，

⑤如图所示，
∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米，
∴，
解得：，

综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为厘米或厘米或厘米．
27．（1）解：∵和互为互优角，
∴当，，
∴或，
解得
或，
故答案为：或；
（2）①∵与互为互优角，如图1
当时，，
∴，
∵翻折得，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
②当时，如图
，
∴，
∵翻折得，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上所述，的值为或．
（3）当点F在边上时，如图：
显然，
∵与互为“互优角”，
∴，
根据折叠的性质：
即；
当点F在边上，且当时，如图：
与互为“互优角”，
，
根据折叠的性质：，
∴，
∴，
，
解得：，
即；
当点F在边上，且当时，如图：
与互为“互优角”，
∴，
根据折叠的性质：，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即．
故的度数为或或．

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