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山东泰安市2025-2026学年高二下学期4月考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象是( )
A. B.
C. D.
4.除以的余数为( )
A. B. C. D.
5.已知函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.二项式的展开式中，系数最大的项为( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
7.若存在，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数，其导函数为，当时，若，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列选项正确的是( )
A. 函数的最小值为
B. 函数有两个零点
C. 函数的单调递减区间为
D. 若方程只有一个实数解，则
10.下列选项正确的是( )
A. 从男女中选人，若至少有名女生，则有种不同的选法
B. 人排成一列，若甲，乙必须相邻，则有种不同的排列方法
C. 男女排成一列，若女生互不相邻，则有种不同的排法
D. 个相同小球分给个小朋友，若每人至少个，则有种不同的方法
11.已知在三棱台中，分别为棱的中点，则下列选项正确的是( )
A. 从三棱台的条棱中任选条，互为异面直线的有对
B. 若用种不同的颜色给棱台表面涂色，有公共边的平面不能用同一种颜色，则共有种涂法
C. 从三棱台的个顶点和中任取个点，在取出的四个点共面的条件下，点在该平面内的概率为
D. 若用种不同的颜色对线段，，，，，，涂色，有公共点的线段不能用同一种颜色，则共有种涂法
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，则 ．
13.已知多项式，则 ．
14.在未来智慧城市的高空智能运维场景中，一只仿生机器狗需经级垂直检修梯从一栋建筑的底层平台抵达顶层平台机器狗配备三种攀爬模式：常规爬行级，液压跨步级，动力跳跃级受限于梯级结构，机器狗仅能向上行进，不可后退，不可单次跨越超过级，攀爬过程中攀爬模式可自由变换该机器狗从底层平台到顶层平台，共有 种不同的攀爬方法．用数字作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，．
时，求函数在上的最值；
若恰有一个零点，求的取值范围．
16.本小题分
用数字，，，，，组成没有重复数字的数．
可以组成多少个六位数奇数；
可以组成多少个被整除的五位数；
可以组成多少个比大的四位数．
17.本小题分
现有甲，乙两个不透明箱子，甲箱内装有个白球，个红球，乙箱内装有个白球，个红球，所有小球除颜色外完全相同．
从乙箱中每次随机取出个球，取出后不再放回，求在第次取出的是白球的条件下，第次取出红球的概率；
先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球．已知从乙箱中取出的球为白球，求从甲箱中取出的两个球均为白球的概率．
18.本小题分
已知函数，其中，，当时，．
求的值；
求时，的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求的极值；
若不等式对任意恒成立，求的最大值；
设函数，函数有两个极值点，证明：．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：易知，
令可得或；
当和时，，单调递增，
当时，，单调递减；
在单调递增，在单调递减，
的极大值为；
又，，
函数在上的最小值为，最大值为；
由知在和单调递增，在单调递减，
的极大值为，极小值为；
若恰有一个零点，则或，
或，
的取值范围为．

16.解：第一步：先排个位，从，，中选一个放个位，有种情况；
第二步：排首位，从剩下的去掉和已排的个位数个数中选一个共有种情况，其他位置的数字任意排，故有种
个位是的有个；个位是的有个，所以共个
法一：首位比大的有个，首位是，百位是或时有个，当首位为，百位为，十位可以是或或时，有个，
当首位为，百位为，十位为时，个位可以是或，共种，所以共有个
法二：用数字，，，，，可以组成无重复数字的四位数有个，不比大的包含首位是或的有个，
首位是，百位是或的有个，首位是、百位是且不大于的数有个，所以，比大的四位数共有个

17.解：设“第次取出白球”，“第次取出红球”，则第次取出白球且第次取出红球为事件，
，，
，
在第次取出白球的条件下，第次取出红球的概率为
设“从乙箱中取出个白球”
“从甲箱中取出个白球”，
“从甲箱中取出白红两球”，
“从甲箱中取出个红球”，
则，且，，两两互斥，
根据题意，，，，
且，，，
由全概率公式，得
，
则，
已知从乙箱中取出的球为白球，从甲箱中取出的两个球均为白球的概率为．

18.解：当时，，，
，，
，，
当时，，
，
当时，，
当时，，
得：，
．
，
．

19.解：当时，，定义域为，
令，得：，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
极大值为，无极小值；
法一：不等式对恒成立等价于
对恒成立，
设，
则，
设，
则，在上单调递增，
又，，
由零点存在性定理，，使，
当时，，，
当时，，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
又，，
整数的最大值为；
法二：不等式对恒成立等价于对恒成立，
设，
，
在上单调递增，
当时，在上恒成立，
在上单调递增，又，
时，，
时，原不等式恒成立，
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
设，
，
在上单调递减，
，
即时，，
在上恒成立，
又，
即时，，
在上不恒成立，
且时，，均不合题意，
的最大值为；
由已知有：，定义域，
，
由题意知，方程有两个不同的正根，即，
设，
则
法一：由得，
令，则，
，代入上式，得：，
，
所以，
要证，即证，
即证，
即证，
令，则
当时，，
函数在上单调递增，
，
，
，
．
法二：由得：，
得：，
消得：，
令，则，
，
要证，即证，
即证，
即证，
令，则，
当时，，
函数在上单调递增，
，
，
，
．

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