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浙江五湖联盟2025-2026学年第二学期高一年级期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数是纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则最大角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是( )
A. B. C. D.
6.在中，，记，，则( )
A. B. C. D.
7.已知向量，满足，，若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知中，，点，分别为边，上的两个动点，且满足，若点，分别为，的中点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 若复数，则
B. 若复数，则的虚部是
C. 已知，是关于的方程的一个根，则
D. 若复数满足，则的最小值为
10.已知平面向量，满足，，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. ，使
D. ，恒成立
11.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥的表面积为
B. 圆锥的外接球体积是
C. 圆锥的内切球半径为
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ．
13.如图测量河对岸的塔高时，选择与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高为 ．
14.在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，，．
若，求的值；
若复数在复平面上对应的点在第二象限，求的范围．
16.本小题分
已知向量，满足，，且．
求的值；
求与的夹角余弦值．
17.本小题分
已知长方体中，其外接球的表面积为，用平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体．
求的长；
求几何体的体积；
求几何体的表面积．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，且，，，点满足，点在线段上运动包括端点，如图所示．
求与共线的单位向量的坐标；
求在上的投影向量的坐标；
是否存在实数，使？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知，，分别为三角形三个内角，，的对边，且．
求角的大小；
若，，求的面积．
如图，若直线与三角形的边，分别相交于点，，设，求证．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.米
14.
15.解：由已知得，
所以，
又，解得，
故实数的值为．
由得，
，
由复数在复平面上对应的点在第二象限得
，解得，
故实数的取值范围为．

16.解：由得，
所以，又，得；
由得，又，，
即得，
又，
所以，
即与的夹角余弦值为．

17.解：设，由可得，，
因为外接球的表面积为，即，解得，
又长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长，
即，解得，
所以；
，
即几何体的体积为；
由得，，，则，
，，
在中由余弦定理，
则，
所以，
从而得几何体的表面积为
．

18.解：由题意可知：，
则，可得，
所以或．
由题意可得：，
则，，
所以在上的投影向量为．
设，，
则，，，
若，则，
即，可得，
若，则不存在；
若，则，
因为，则，
可得；
综上所述：存在实数满足题意，的取值范围为．

19.解：，
，
，
，
，，
，为三角形内角，
，，，
，即，
如图，在中，，
设单位向量，于是，即
过点作的平行线，则，
而，，
故，
即证

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