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浙江嘉兴八校联盟2025-2026学年第二学期高二期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导数运算正确的有( )
A. B. C. D.
2.甲、乙、丙去听同时举行的个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4.设随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
5.某知识过关题库中有，，三种难度的题目数分别为，，，其中小明完成，，型题目的正确率分别为，，，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为( )
A. B. C. D.
6.设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.某空间站由三个舱构成，某次实验需要名宇航员同时在个舱中开展，每个人只能去个舱，每个舱至少安排名宇航员，则不同的安排方法的种数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.已知随机变量，若，则( )
A. B.
C. D.
11.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 在上单调递减，在上单调递增
B.
C. 设有个不同的零点，则
D. 若方程有个不等实数根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在处的切线斜率为 ．
13.已知随机变量的分布列如下，则 ．
14.近年来，“剧本杀”门店遍地开花放假伊始，名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供人组局的剧本，其中，角色各人，角色人已知这名同学中有名男生，名女生，现决定让店主从他们人中选出人参加游戏，其余人观看，要求选出的人中至少有名女生，并且，角色不可同时为女生则店主共有 种选择方式．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间．
16.本小题分
已知．
求各项的系数和；
求展开式中的常数项；
17.本小题分
袋中有除颜色外均相同的个红球，个黑球，若从中任取个．
求恰有个红球的概率；
设个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望；
18.本小题分
是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高的应用能力，某公司组织，两部门的名员工参加培训．
此次培训的员工中共有名部门领导参加，恰有人来自部门．从这名部门领导中随机选取人，求人都来自于部门的概率；
此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
(ⅰ)求每位员工经过培训合格的概率；
(ⅱ)经过预测，开展培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付万元的其他成本和费用．试估计该公司，两部门培训后的年利润公司年利润员工创造的利润其他成本和费用．
19.本小题分
已知函数．
当时，讨论的单调性；
若，求的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为，
则，且，
所以切线方程为，即．
所以曲线在点处的切线方程为．
因为，
令，得或，
所以的单调递增区间为，；
，得，的单调递减区间为．
综上，的单调递增区间为，；单调递减区间为．

16.解：令，则各项的系数和为．
设展开式中常数项为第项，
即，，，
令，得，
．

17.解：设从袋中任取个球恰有个红球为事件，
则．
依题意，的可能取值为，，，，
，，
，，
的分布列为
数学期望．

18.解：根据题意，名部门领导参加，恰有人来自部门，人都来自于部门的概率为
记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”，
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
(ⅱ)记，两部门开展培训后合格的人数为，则，则，
所以万元
即估计，两部门的员工参加培训后为公司创造的年利润为万元．

19.解：当时，，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
由，则对于恒成立，
设，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即，则的取值范围为．
由知，当时，，则，
所以，
设，，则，
所以函数在上单调递增，
则，即，得证．

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