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浙江杭州市萧山区第二高级中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中学科练习数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于直线，下面叙述正确的是( )
A. 斜率是 B. 斜率是 C. 倾斜角是 D. 倾斜角是
2.已知数列的通项，为前项的和，则下面叙述正确的是( )
A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是递增数列 D. 有最大值
3.设，下列正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列命题错误的是( )
A. 若向量，，则
B. 若向量，则
C. 若向量，，则在上的投影向量是
D. 若向量，则与共线的单位向量是
5.已知离散型随机变量的分布列如下表，且的均值为，则下列结论正确的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.在一个装有大小、形状都一样的个白球，个黑球和个红球的箱子内，无放回地摸球，每次摸一个，在已知第一次摸到白球的条件下，第二次仍摸到白球的概率是( )
A. B. C. D.
7.设等差数列的前项和分别为，且，则( )
A. B. C. D.
8.设，表示可导函数，的导函数，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列结论正确的是：( )
A. 某校共有名女生，名男生，最近流感高发，女生患流感的概率为，男生患流感的概率为随机地在学生中抽查一人，则此人患流感的概率是．
B. 某班位同学在一次考试中，均值为分，方差为，则该班的每一位同学的成绩都是分．
C. 将多项式展开后所有项的项数共有项；
D. 某人有五把钥匙，其中只有一把能把门打开，他依此随机取钥匙试着开门试过了的不重复试，则他能在第一次能把门打开的概率与试到第五次才打开门的概率是不相等的；
11.抛物线，，分别为坐标原点和抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，表示直线的斜率，则下列结论正确的是( )
A. 当时，弦长等于 B. 的最小值为
C. 为定值 D. 当存在时，的中垂线恒过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是双曲线的两条渐近线，则双曲线的离心率是 ．
13.六人排队，要求，两人相邻，，两人不相邻，则所有不同排法有 种．用数字作答
14.设是圆：上的动点，是圆：上的动点，为坐标原点，则最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
当时，求的图象在点处的切线方程；
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知数列满足：．
证明数列是等差数列，并求出的通项公式；
设，求数列的前项的和．
17.本小题分
四棱锥中，底面是的菱形，是的中点，且．

证明：平面；
求二面角的平面角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
若为，求抛物线方程；
若椭圆与抛物线的公共弦恰好经过焦点，求椭圆的离心率；
若椭圆方程为，过焦点作直线与椭圆、抛物线交于、和、四个点如图，问：是否存在这样的直线，使得，若存在求出直线的方程，若不存在，说明理由．
19.本小题分
某人清明节去烈士陵园扫墓，需要爬一个有级台阶的山坡，此人走这台阶时，每步跨级台阶，或跨级台阶．
当时，他只用步跨上了第级台阶，问共有多少种不同的走法；
已知此人从地面即第级台阶开始，每步跨级台阶的概率为，跨级台阶的概率为；
求此人跨上第级台阶的概率；
求此人跨上第级台阶的概率．
参考答案
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15.解：当时，，所以切点是，
又得，
所以切线是．
若函数在区间上单调递增，则在恒成立，
由于的对称轴为，则在上单调递减，在上单调递增；
所以，所以
即的范围为

16.解：已知，构造
，
对上式两边取倒数：，
因此，，即数列 是公差为 的等差数列，
已知，则首项：，
根据等差数列通项公式：，
解得 的通项公式：．
已知，代入中结论：
，，
因此：，
使用裂项相消法，将 分解：，
对 求和：．

17.解：菱形中，连接交于，则是中点．
连接，因为是的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．

由，知都是等边三角形．
因为菱形中，，，所以都是等边三角形．
取中点，连接，则．
平面，所以平面．
在平面内作，则三线两两垂直．
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系．
设，则，所以．
因为，所以．
所以，
从而．
设平面的法向量为，
则，令，则．
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则，令，则．
所以平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，显然为锐角，
所以．
即二面角的平面角的余弦值为．


18.解：由，得，解得：，
所以抛物线方程为．
椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，
所以，由椭圆及抛物线的对称性，得公共弦与轴垂直，
所以公共弦的方程为，则公共弦与抛物线在第一象限交点，
所以椭圆也过点，
则，即，
所以，解得负值舍去
由椭圆方程得，故抛物线方程为，
首先当的斜率不存在时，由曲线的对称性知适合题意，此时直线方程为；
当斜率存在时，由，设为，
联立椭圆得：，
联立抛物线方程得．
解法一：一般弦长公式：，则，
其中，所以，
又，
所以据，则，
则方程为或．
解法二：焦半径公式法：，下面与解法一相同．
方法三：椭圆极坐标焦点弦长公式：，
，由，
则，则，则方程为或．

19.解：设跨级台阶的步数为，跨级台阶的步数为．
由题意得：
解得，。即需在步中选择步跨级台阶，其余步跨级台阶，不同走法种数为
．
跨上第级台阶的走法分三类：
类：步全跨级：概率为
类：步步跨级，步跨级：从步中选步跨级，概率为
类：步全跨级：概率为
总概率为三类概率之和：．
设为跨上第级台阶的概率，初始条件：，．
对，最后一步若跨级，则前级概率为；若跨级，则前级概率为．
故递推关系：，
变形得，
因此是首项，公比的等比数列，故．
．
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