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浙江杭州北斗联盟2025-2026学年第二学期高一期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.如果空间两条直线与没有公共点，那么与( )
A. 共面 B. 平行
C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线
3.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
4.已知平面，，直线，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为其中为向量，的夹角，余弦距离为已知，，若，的余弦距离为，则( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，则下列结论正确的是( )
A. 的虚部为 B. 的共轭复数为
C. D.
10.已知函数，则( )
A.
B. 的单调递增区间为
C. 的值域为
D. 是图象的一条对称轴
11.已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为，则下列说法正确的有( )
A. 该四棱台的体积为
B. 若为的中点，则平面
C. 该四棱台的侧面积为
D. 该四棱台的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是 ．
13.在中，角，，所对的边为，，若，，则外接圆的面积为 ．
14.已知函数，向量，，是平面内三个不同的单位向量，其中向量，相互垂直，且满足，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中的内角，，所对的边为，，，．
求角；
若，，求的周长．
16.本小题分
已知函数，，满足
求的值；
若，且，求．
17.本小题分
如图，在菱形中，已知，，点，分别是，的中点，点为的四等分点，设，．
用向量，表示，；
判断，是否垂直？用向量的方法证明你的结论；
点为线段上的一个点，求的取值范围．
18.本小题分
如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上
若为中点，求证：平面；
求异面直线与所成角的余弦值；
若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论．
19.本小题分
已知函数，．
求证：；
设函数，其中．
(ⅰ)当时，求函数在区间上的最大值和最小值；
(ⅱ)若函数在上有两个零点，，且，求实数的值．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理得：
，，
，
由余弦定理，
得：，又，
，
故的周长为

16.解：
，
或，
或，
，．
由题意得
，
由，得，
，，
，或，，或，
故，或

17.解：根据向量三角形法则：
，
．
，
，
已知，，，，
所以，
与不垂直，故与不垂直．
设，，，
，
，的最大值为，最小值为，
．

18.解：连接交于点，连接，
因为是正方形，所以为中点，
所以在中，为中位线，，
又平面，平面，平面；
取的中点，因为为中点，
所以在中，为中位线，所以，，
所以为异面直线与所成角或其补角，
在中，，，，
由余弦定理可得，又，
所以为锐角，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
当是棱中点时，平面
证明如下：取中点，连接，，则，
平面，平面，
平面，
在中，为中点，为中点，
平面，平面，所以平面；
，所以平面平面；
平面，平面

19.解：由平方差公式可得，
，，
因此代入得，
所以；
当时，，
令，则，
因为函数为增函数，为减函数，
所以函数为增函数，
当时，，当时，，
所以若，则，
二次函数开口向上，对称轴为，
所以当时，，，
所以当时，取最小值，最小值为，
当时，取最大值，最大值为，
所以函数在区间上的最大值为，最小值；
(ⅱ)
方法一：函数在上有两个零点，可转化为方程在有两个不等根，
设，
所以，即
解出，
设为方程在的两根，
则，因为，，
，
又，得到，
，
两边同乘得，，，
代入整理得，
整理得，
结合得，求出，满足题意．
方法二：函数在上有两个零点，，
可转化为关于的方程在有两个不等根，
故关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，
所以与，有两个交点，
函数，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
所以，
设为方程在的两根，
则，因为，，
，
又，得到，
，
两边同乘得，，，
代入整理得，
整理得，
结合得，求出，满足题意．

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