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浙江杭州北斗联盟2025-2026学年第二学期高二期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于( )
A. B. C. D.
5.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知各项均为正数的等比数列，，，则( )
A. B. C. D.
7.若二项式展开式中的常数项为，则的值( )
A. B. C. D.
8.已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若实数满足，则( )
A. B. C. D.
10.设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过且垂直于的直线交准线于，则( )
A. 准线方程为 B.
C. D.
11.如图所示，正方体的棱长为，，分别为，的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 若平面，则点的轨迹长度为
C. 四棱锥的体积为
D. 四棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ．
13.名男生、名女生站成一排，至少有名女生相邻的站法种数为 用数字作答．
14.已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角所对的边分别为，且．
求；
已知的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，为中点，，，，．
证明：平面；
若底面，求直线与平面的夹角正弦值．
17.本小题分
已知等差数列中，其前项和为，且，数列满足
求的通项公式；
求数列的前项和．
18.本小题分
已知椭圆离心率为是椭圆其中的一个顶点，直线与椭圆交于两点，是轴上的一点，直线分别与直线交于两点．
求椭圆的标准方程；
当，求的取值范围；
是否存在实数，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
若函数有两个零点；
求的取值范围；
已知，且恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由正弦定理得：．
，
由得，
又因为，解得；
由，得，
由余弦定理得：
又因为
联立得：，
的周长．

16.解：取中点，连接，
在中，分别为的中点，为的中位线，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
在四边形中，作于于，如下图所示：
，
四边形为等腰梯形，
，
故，
，
，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
直线的方向向量为，
则，
设平面的法向量，
则有，令，则，即，
设直线与平面的夹角为，
，
即直线与平面的夹角正弦值为．

17.解：已知为等差数列，且，
，解得：
，
当时，有
两式相减得：，
当时，，满足，
．
由知，
两式相减得：
，
．

18.解：，
椭圆的标准方程为
设，
联立直线与椭圆的方程，得
．
易得，．
设
则
由对勾函数性质知．
．
直线方程为：，联立
得：
同理可得：点
，
．
由知：，
要使为常数
需要，方程组无解
不存在实数，使得为定值．

19.解：当时，函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为．
由，得，则，
令函数，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
而，当时，，且时，，函数的图象如图，
函数有两个零点，即方程有两个解，亦即直线与函数的图象有两个交点，
由图象知，当且仅当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以的取值范围为．
由知，，
则，两式相减得，
由，两边取对数得，即
则，于是，
即，令，则有，
即，而，则，
令函数，求导得，
由，得，当时，，由，得，
函数在上单调递减，因此，与对恒成立矛盾；
当时，恒成立，即恒有，函数在上单调递增，恒成立，
所以的取值范围是．

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