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河南南阳市第十一完全学校等校2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知是等差数列的前项和，且，，则( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量服从两点分布，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.有名护士到某医院实习，该医院将这名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为( )
A. B. C. D.
6.已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数( )
A. B. C. D.
8.已知数列的前项和，，，若，且对任意的，都有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的展开式的二项式系数之和为，则下列结论正确的是( )
A. B. 的系数为
C. 展开式中各项系数和为 D. 展开式中二项式系数最大的项只有第项
10.在数列中，，若，则下列结论正确的是( )
A. 是等差数列
B.
C. 数列的前项和为
D. 数列的前项和为
11.某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响记表示事件“第次分类正确”，表示第次分类正确的概率已知，且满足以下条件：若第次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第次分类错误，则第次分类正确的概率为记，则下列结论正确的是A.
B. 若第次分类正确，则第次分类正确的概率为
C. 数列是等比数列
D. 数列的前项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则的单调递减区间为 ．
13.已知数列的前项和为，则的通项公式为 ．
14.已知数列中，，设函数，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为响应国家“推进青少年传统文化传承”的号召，某市对高中生的传统文化经典诵读能力开展调研研究者随机抽取了该市名高中学生，按是否参加过“经典诵读”兴趣社团分为两组，并测试他们能否准确背诵论语中的经典篇目测试结果如下表：
能准确背诵 不能准确背诵
参加过兴趣社团
未参加过兴趣社团
用频率估计概率，求参加过兴趣社团和未参加过兴趣社团的学生能准确背诵的概率；
在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为学生准确背诵的能力与参加兴趣社团有关？
附：．
16.本小题分
已知数列满足，且．
求的通项公式；
求的前项和．
17.本小题分
某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对年至年居民存款余额进行统计分析，将年看成第年，依次类推，得到第年的居民存款余额单位：万亿元的散点图，如图所示：
已知从年开始，居民存款余额超过万亿元，若从年至年中任取年，求这年中恰有一年居民存款余额超过万亿元的概率；
由散点图知，和的关系可用线性回归模型进行拟合，求关于的线性回归方程，并预测年的居民存款余额．
参考数据：，，．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
18.本小题分
记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
19.本小题分
若数列满足对任意的，都有，则称这个数列为“数列”．
已知数列，，是“数列”，求实数的取值范围．
是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和使得对任意的恒成立？若存在，求出其公差的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知各项均为正整数的无穷等比数列是“数列”，数列不是“数列”，设，若数列也是“数列”，求满足条件且公比最小的的通项公式．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意知，参加过兴趣社团的学生中，能准确背诵的学生有名，不能准确背诵的学生有名，
所以参加过兴趣社团的学生能准确背诵的概率为，
未参加过兴趣社团的学生中，有名同学能准确背诵，名同学不能准确背诵，
所以，未参加过兴趣社团的学生能准确背诵的概率为．
列出列联表如下：
类别 能准确背诵 不能准确背诵 合计
参加过兴趣社团
未参加过兴趣社团
合计
零假设：学生准确背诵的能力与参加兴趣社团无关，
则，
所以，在犯错误的概率不超过的前提下，能认为学生准确背诵的能力与参加兴趣社团有关．

16.解：因为，
所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以．
由，
，
所以
．
所以．

17.解：由题意，年中有年居民存款余额超过万亿元，
故所求概率为．
，
已知，，，
则，
所以，
所以线性回归方程为．
故年的居民存款余额为万亿元．

18.解：因为，是公差为的等差数列，
所以，即．
当时，，整理可得，
所以，，，，，
累乘得，所以也满足该式，
故．
由知，
所以，
所以
．

19.解：根据“数列”定义，，得或；
，得；即的取值范围为．
设等差数列的公差为，根据“数列”的定义，有；
由等差数列的求和公式，等差数列的前项和，
代入，即当时，恒成立，
，此时，
两边同时除以，可得恒成立，
考虑函数，当时，单调递减，
结合，可得当时，取最大值，
可得的取值范围为．
由已知等比数列的各项均为正整数，可得首项和公比均为正整数；
设首项，公比为；
根据“数列”定义，对任意恒成立可知；
不是“数列”，即存在使得，
假设则需要存在，可以得到的所有可能取值为，，，；
可设
对于数列，；
代入，，
即随着变大，也是变大的，
若对于正整数，恒成立，只需要即可，
即，得，与之前的范围不符，不成立；
若，，是“数列”不是“数列”，则或
代入，同理可得是随增大而增大的，检验，
可得满足条件，不成立．
综上，满足条件且公比最小的数列的通项为．

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