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河南临颍县第一高级中学等学校2025-2026学年高一下学期4月测评
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.在中，，，，则( )
A. B. 或 C. 或 D.
3.下列关于平面向量描述正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则向量与的夹角为锐角
C. 若，，则
D. 若为非零向量，则与的方向相同
4.已知在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
5.若复数满足，则复数可以是( )
A. B. C. D.
6.设为平面向量的一组基底，且，，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
7.太行山在河南的最高峰济源斗顶，远近闻名如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走 到达处，在处测得山顶的仰角为，若，，，，则山高为 图中的点，，，，均在同一个铅直平面内
A. B. C. D.
8.如图，在四边形中，，，设，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，其中，则( )
A. 若，则或
B. 当或时，复数为纯虚数
C. 若，则
D. 在复平面内，复数对应的点在直线上，则
10.已知，，，则( )
A. 向量
B. 与向量垂直的单位向量坐标为或
C. 若，则
D. 在上的投影向量的坐标为
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，下列说法正确的是( )
A.
B. 若且有两解，则
C. 若，则为等腰直角三角形
D. 若，则面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知向量，，，若和的夹角为，则 ．
14.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，的面积为，为的中点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，，．
当时，求实数的值；
当时，求向量与的夹角的余弦值．
16.本小题分
求方程在复数范围内的解
若，求和．
17.本小题分
如图，在中，点，在边上，且，设，．
用，表示，；
若，，，求．
18.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，已知．
证明：；
若的面积为，，求．
19.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，，，且．
求角；
若，是钝角三角形．
求的范围；
若点在上，且为的角平分线，求的取值范围．
参考答案
1.
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4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可得，
，
因为，所以，解得；
由题意可得，
因为，所以，解得，所以，
所以，
即向量与的夹角的余弦值为．

16.解：，因为，
所以，所以或
解：因为，，
所以
因为，所以
17.解：因为，所以，，
所以；
；
因为，，，
即，，，所以．
，
，所以，
所以．

18.解：由余弦定理得，，，
整理可得，
或，
若，则，因为三角形两边之和大于第三边，所以这种情况不可能成立．
，即；
的面积为，，即，
由余弦定理，得，
，，
，，
，整理得，
，，且，
，．

19.解：因为，，，
所以，
所以，
由正弦定理得：，
因为，，，化简得：，
因为，所以；
由正弦定理为外接圆的半径，
得，，，
所以转化为：，解得，
所以，，，，，
所以
，
因为是钝角三角形，且，则或为钝角，且．
当为钝角时，则，所以，则，
所以；
当为钝角时，则，所以，则，
所以．
综上，；
因为为的角平分线，所以，
因为，所以，
即，所以，
在中，由余弦定理，得，
再由，，得，
所以，
所以，
令，由知，，
所以，，
令，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，即．

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