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江西赣州市十八县（市、区）二十四校联考2025-2026学年高三下学期四月期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为( )
A. B. C. D.
4.若函数的图象关于点对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若函数在上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为，，，此时整个系统处于平衡状态，则( )
A. B. C. D.
7.将所有正整数按照如下规律形成数阵：
其中表示第行第个数，例如，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，函数的最大值为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知奇函数满足，则( )
A. B. C. D.
10.在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，能使得存在且唯一的是( )
A. ，，外接圆的半径为
B. ，，
C. ，，
D. ，，
11.已知抛物线的焦点为，为上一点，是圆上一点，若的最小值为，则下列结论正确的是( )
A. 当时，
B. 的最小值为
C. 过点作直线与圆相切，与交于，两点，若为线段的中点，则这样的直线恰有条
D. 过点作圆的两条切线，这两条切线与交于，两点，若，则直线的方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.将红黄蓝绿四个小球放入三个盒子，三个盒子的颜色分别是红色黄色紫色，其中每个盒子至少放入一个小球，若不可以将小球放入和小球颜色相同的盒子，则不同的放法种数为 ．
14.如图，正方体的棱长为，，分别为，的中点，则三棱锥外接球的体积为 ；过点作三棱锥外接球的截面，该截面面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，．
证明数列为等比数列，并求出的通项公式；
设，记数列的前项和，证明：．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，是面积为的等边三角形．
已知是的中点，证明：平面．
若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，左顶点为，右焦点为．
求的方程；
经过的直线与交于两点，且以为直径的圆与直线相切，求的方程．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性；
若为整数，当时，，求的最小值．
19.本小题分
现有个互不相同的点这个点中任意两点之间都被随机赋予一个数值，且这对点之间的数值恰好为，，，，这个互不相同的整数对于每个点，它会在其余个点中，选择与之对应数值最大的点作为自己的“目标点”若点的目标点是点，且点的目标点也是点，则称与构成一对“双向目标点”．
现有，，，四个互不相同的点，求点与点互为“双向目标点”的概率；
当时，设这个点中构成的“双向目标点”的对数为，求的分布列与数学期望；
对于任意给定的，设这个点中构成的“双向目标点”的对数为，求关于的表达式．
附：若随机变量服从两点分布，且，则．
参考答案
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15.解：由，得到，又，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
则，得到，所以数列的通项公式为．
由知，所以，
则，
又，所以．

16.解：等边面积，得，
由，，得，且，
在中，，
取中点，连接，
因为是中点，故且，
结合且，
得且，即四边形是平行四边形，
因此，
又平面，平面，
由线面平行判定定理得：平面
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
各点坐标为：，
平面为平面，其一个法向量为，
设平面的法向量为，
，，
由，得：，令，得，
即，
设平面与平面夹角为
则，
即平面与平面夹角的余弦值是．

17.解：因为椭圆的离心率为，则，
又，则，由解得，则，
所以的方程为．
若直线的斜率不存在，，由，得到，
所以，此时以为直径的圆的圆心为，半径为，
又到直线的距离为，不合题意，
若直线的斜率存在，设，，
由，消得到，
则，
，，
所以的中点为，则到直线的距离为，
又，由题有，
整理得到，解得，所以的方程为或，
即或

18.解：当时，，则，所以，，
则曲线在点处的切线方程为，即．
易知的定义域为，又，
当时，恒成立，此时在上单调递减，
当时，令，即，解得，
当时，，当时，，
此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，的减区间为，增区间为．
由，得到，整理得到，
令，则，
令，则，当时，，当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，
即在区间上恒成立，当时，，当时，，
又恒成立，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则，
又，所以，则，
又，所以，则，
由题知，且为整数，所以的最小值为．

19.解：设所有对点之间的数值集合，
其中．
由于数值分配是完全随机的，则任取一对点，其两点间数值取集合中任意一个值的概率均为，
个点共有对点之间有数值，点与点互为双向目标点的充要条件：
点与点之间的数值是所有与点或点关联的数值中最大的．
与点关联的数值有个，与点关联的数值有个，其并集共有个互不相同的数值，
在完全随机分配的情况下，这个数值中每一个数值都有相等的机会获得其中的最大数值．
因此，点和点互为双向目标点的概率．
设这个点中构成的双向目标点的对数为，
所有对点之间的数值中必定存在一个最大值，取得该最大值的两个点必定互为双向目标点，则．
因为共有个点，最多只能构成对双向目标点，
所以的所有可能取值为，．
当时，意味着这个点构成了两对没有公共顶点的双向目标点，
此时所有个数值中最大的两个数值恰好分配给互不相交的两对点．
将个点分为互不相交的两对点，共有种分法．
从对点中任选两对点被赋予最大的两个数值．
因为这两对点互不相交，其余的条边必然是连接这两对点的边，
所以只要这两条不相交的边对应个数值中最大的个，
那么与它们关联的任何其他边的数值必然小于这两个最大值，
从而满足这两对点均满足双向目标点的条件，选法有种
故，
从而，
所以的分布列为
故．
设变量满足若点与点构成一对双向目标点，
则，否则，则的充要条件是点与点之间的数值是所有与点或点关联的数值中最大的．
与点关联的数值有个，与点关联的数值有个，
其中点与点之间的数值为两者共有，计算并集时需扣除重复计算的次．
故与点或点关联的总数值个数为．
因为所有的数值分配是完全随机的，所以由对称性可知，
这个数值中每一个数值都有相等的机会成为其中的最大值，
故点与点之间的数值成为最大者的概率为．
双向目标点的总对数，
在这个点中，任意两点构成一对，共有项相加．
由题意可知，服从两点分布，这个变量和的期望等于各变量概率之和，
即．

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