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河南省周口市鹿邑县百师联盟2025-2026学年高三下学期4月阶段检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.若全集，集合，则( )
A. B. C. D.
3.一组从小到大排列的数据：若它们的第百分位数比平均数大，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知的内角所对的边分别是，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知点到点的距离为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知是定义在上的函数，，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 函数的最小值为
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10.已知棱长为的正方体中，分别为的中点，则( )
A. 正方体的外接球半径为
B. 四点共面
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为
11.已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则( )
A. B. 的最小值为
C. 面积的最大值为 D. 面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与向量满足，则 ．
13.已知抛物线的焦点为，点都在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点若，则 ．
14.将十进制整数转换为二进制整数采用除取余，逆序排列法．步骤是：用整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到商小于为止；最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来．
例如，将十进制数转化成二进制数：，，，即十进制数转化成二进制数为；十进制数转化成二进制数：，，，，即十进制数转化成二进制数为．
记为十进制中正整数的二进制表示中数字的个数，例如，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
袋中装有标有数字到的个大小、形状相同的小球，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球标号的最大数字．
求随机变量的分布列及数学期望；
已知取出的个小球的标号和为偶数，求的概率．
16.本小题分
已知等差数列的公差为，前项和为，且，其中．
求公差及的值；
设数列，数列的前项和为，求．
17.本小题分
如图为半径为的圆的直径，点为圆上的两点，且如图，将圆沿翻折，为线段上的一点，连接．
若为的中点，证明：；
若平面平面，求二面角的余弦值．
18.本小题分
若，点，双曲线．
写出的坐标，并证明：对任意，点在双曲线上；
设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，记的面积为为坐标原点，求证：为定值；
参考公式：设三角形的三个顶点分别为，则三角形的面积
证明：．
19.本小题分
已知函数，函数．
讨论函数的单调性并求最值；
若对恒成立，求实数的取值范围；
已知，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：随机变量的所有可能取值为，，，，
则，，
，．
所以的分布列为
所以．
记事件为“取出的个球的标号和为偶数”，事件为“”．
由题意得，，．
由条件概率公式，得．
16.解：，
，
．
，
．
由得，，
．
又的周期，
当时，；当时，；
当时，；当时，，其中．
在一个周期内，
，
．
数列的前项为个完整的周期，．

17.解：证明：取的中点，连接．
分别为的中点，
，．
又是圆的直径，．
．
又平面平面．
平面．
平面平面，交线为，
，故，又为的中点，所以，
又平面，所以平面，
故以为坐标原点，分别以所在直线，
过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
．
则，
．
设平面的法向量为，
则令，则，
．
设平面的法向量为，
则令，则，
．
．
由图知二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．

18.解：当时，，．
当时，，．
，
，
任意，点在双曲线上
证明：由知
设直线的斜率为，则直线的方程为，
且．
不妨设是直线与直线的交点，
是直线与直线的交点．
联立，得．
联立，得．
，
，
．
，
．
即的面积为定值．
证明：，
，
即．

19.解：由题意可得的定义域为．
当单调递增，当单调递减．
在区间上单调递增，在区间上单调递减．
有最大值，无最小值．
由题意，对恒成立，且．
，且．
令，则，且．
令，则，且．
当，即时，有在上单调递增，
在上单调递增，．
在上单调递增，成立．
当时，，且单调递增，
，有当时，单调递减，．
在上单调递减，单调递减，
，与题干矛盾，舍去．
当时，当单调递减，则，
单调递减，单调递减，，舍去．
综上，实数的取值范围为．
由可知，即．
令，则，
．
又，即．
则，
，
，右式得证．
下证左式：由可知，令，则．
由可知，令，则．
又，证明如下：
，
，
，即证．
．
综上可得．
，
，
，
．
所以上式得证．

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