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河南周口市商水县实验高级中学等校2026届高三下学期模拟（二）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.若全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
3.一组从小到大排列的数据：，，，，若它们的第百分位数比平均数大，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知点到点的距离为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知是定义在上的函数，，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 函数的最小值为
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10.已知棱长为的正方体中，，，分别为，，的中点，则( )
A. 正方体的外接球半径为
B. ，，，四点共面
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为
11.已知，是椭圆：的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则( )
A. B. 的最小值为
C. 面积的最大值为 D. 面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与向量满足，则 ．
13.已知抛物线：的焦点为，点都在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，若，则 ．
14.将十进制整数转换为二进制整数采用除取余，逆序排列法．步骤是：用整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到商小于为止；最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来．
例如，将十进制数转化成二进制数：，，，即十进制数转化成二进制数为；十进制数转化成二进制数：，，，，即十进制数转化成二进制数为．
记为十进制中正整数的二进制表示中数字的个数，例如，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
袋中装有标有数字到的个大小、形状相同的小球，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球标号的最大数字．
求随机变量的分布列及数学期望；
已知取出的个小球的标号和为偶数，求的概率．
16.本小题分
已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中．
求公差及的值；
设数列，数列的前项和为，求．
17.本小题分
如图，为半径为的圆的直径，点，为圆上的两点，且，如图，将圆沿翻折，为线段上的一点，连接，，，．
若，为的中点，证明：；
若平面平面，求二面角的余弦值．
18.本小题分
若，点，双曲线：．
写出，的坐标，并证明：对任意，点在双曲线上；
设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，记的面积为为坐标原点，求证：为定值；参考公式：设三角形的三个顶点分别为，，，则三角形的面积．
证明：．
19.本小题分
已知函数，函数，．
讨论函数的单调性并求最值；
若对，恒成立，求实数的取值范围；
已知，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据题目可知，的取值为，
，，
，，
因此的分布列为
；
设取出的个小球的标号和为偶数为事件，为事件，
，
，
．

16.解：因为是等差数列，公差，
所以，
根据等差数列的前项和公式有：，
又因为，所以，
将、代入上式得：
，化简得，
即，因此，
又因为，所以，
故，即．
由可知，，
所以等差数列的通项公式为：
，
又因为，所以，
在中，，所以，
即是周期为的周期函数，
所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
其中，所以每项一组，每组和为：
，
项刚好分为组，故：．

17.解：因为为半径为的圆的直径，
所以为的中点，，所以．
又为中点，，
所以，
所以，
又，，所以，，
所以，
所以．
以为原点建立如图所示坐标系，则，
所以，
设平面的法向量，
可得，解得
令，则，
设平面的法向量，
可得，解得
令，则，
，
所以二面角的余弦值为．

18.解：由可知：
当时，，所以，即；
当时，，所以，即；
易知，
所以
即点满足，所以点在双曲线上；
易知，
可得，
所以直线的斜率，
因此直线方程为，由渐近线方程为，
联立，解得，不妨令点的横坐标为
同理可得点的横坐标为；
又，；
因此；
又结合三角形的面积可得：
，
即的面积为定值．
由递推公式可得，
所以，
，
因此，得证．

19.解：函数的定义域为．
所以，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以在处取得最大值，，无最小值．
综上，在上单调递增，在上单调递减，最大值为，无最小值．
已知，对，恒成立，且，
求导得，
记函数的导函数为，记函数的导函数为，
，．
当时，，故在单调递增，，进而单调递增，，
故单调递增，，满足条件．
当时，取，则，不满足条件．
当时， 令，即，因为，
故存在使得；
当时，，故，因此在单调递减，又，故时，使，不满足条件．
综上，的取值范围为．
记，分两部分证明：
右边证明，由结论，，
令，满足定义域，
代入得，左边化简得，
移项，当时，，因此等号取不到，
即，
设，，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，
即，因此．
故，，
累加得右半部分得证．
左边证明
由得，当时，得，
由，累加得，对任意，，
故，即．
对余项放缩：当时，
，因此裂项相消求和得，
因此要证，只需证即可，
只需证明
上式交叉相乘所有项都是正数，不等号方向不变，等价于，
展开左边，右边，
显然对所有正整数成立，因此不等式成立，
即，所以，结合，
最终得左边得证．
综上，原不等式成立．

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