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内蒙古包头市2026届高三下学期二模数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，若，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（ ）
A．5 B． C．3 D．
3．设函数，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（ ）
A． B．2 C． D．4
5．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
10．已知是等比数列的前项和，满足成等差数列，则（ ）
A．成等比数列
B．成等差数列
C．成等比数列
D．成等差数列
11．现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（ ）
A．
B．
C．
D．且
三、填空题
12．在的展开式中，含的项的系数是__________.
13．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为___________．
14．在中，内角的对边分别为，若成等差数列，则的最小值为__________.
四、解答题
15．为了了解学生的基本情况，某学校对一次高三质量预测数学考试成绩进行汇总（所有学生的数学成绩都不低于30分），整理后得到如下图所示的频率分布直方图：
(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生数学成绩的第70百分位数；
(2)若该校高三学生共有1200人，从中依据按比例分配分层抽样的方法从等级分数介于80至100之间的学生中抽出8人，再从这8人中选出3人，记为3人中分数在的人数，求的分布列和数学期望.
16．在中，角的对边分别为，若．
(1)求的大小；
(2)如图所示，为外一点，，，，求外接圆的半径．
17．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，棱，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知上存在三点，且关于直线对称．
①求的取值范围；
②若为等边三角形，求．
19．已知函数.
(1)讨论在上的单调性；
(2)已知为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：.
参考答案
1．C
2．B
3．D
4．D
5．C
6．D
7．B
8．B
9．BD
10．ABD
11．BCD
12．16
13．
14．
15．（1）由题意得，
解得.
因为，
，
所以该校学生数学成绩的第70百分位数位于内，设其为，
则，解得.
故估计该校学生数学成绩的第70百分位数为75.
（2）因为两组数据的频率之比为，
所以8人中等级分数位于内的人数分别为6，2.
由题意知的所有可能取值为1，2，3，
，，；
所以的分布列为
1 2 3
所以.
16．（1）由和正弦定理，得，
因，则，
代入化简得
，即，
则，
，解得.
（2）令，，
在中，由正弦定理得，，
因，则①.
在中，由正弦定理得，,
因,则②,
由①②得，,即，
因为，则得，解得，
，
设外接圆的半径，
由正弦定理，.
17．（1）在平行六面体中，令，
由正方形边长为2，得，而，，
则，，
因，则，
则，即，
又，平面，
所以平面.
（2）由（1）得，
设平面的法向量，
则，
不妨取，得，则，
由（1）知平面的法向量，
又，
，
，
故，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．（1）设点．
因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以，
，
化简得：．
（2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2．
设直线的方程为，
联立消去可得．
所以
所以中点坐标．
因为点在直线上，所以．
因为，所以，
因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点，
即直线不能经过点，
若直线过点，则，
若直线过点，则．
综上所述：的取值范围是．
②因为为等边三角形，所以点在直线上．
设，则，
．
所以，即，
化简得，①．
因为点在直线上，所以②．
由①②消得，．
因为，所以，
所以．
19．（1）求导可得
（a）当时，，则，在单调递增
（b）当时，，则，在单调递增
（c）当时，设，
则，由于均在上单调递增，故在上单调递增，
，
则存在使得满足
则，单调递减，则，单调递增，
，
所以，则，在单调递增；
综上所述：在上单调递增.
（2）由题意可得
不妨设，则
先证明当时，有，设，
则，所以在单调递减，
＝0，即当，有，
于是有
所以，故有，又，且不能同时取到等号，
故，从而.

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