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山西晋中市榆次区第二中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．化简后等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，则（ ）

A． B．4 C．6 D．
4．设为所在平面内一点，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．已知三棱锥的四个面均为直角三角形，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ）
A．复数的虚部为 B．
C． D．若复数，则
10．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．与同向的单位向量为
C．在上的投影向量为
D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
11．已知是边长为3的等边三角形，点P在内或边界上，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则点P的轨迹长度为 D．若，则
三、填空题
12．已知复数，其中i为虚数单位，则________．
13．已知向量，，则__________．
14．在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则的最大值是______．
四、解答题
15．已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
16．已知复数，，且是实数.
(1)求；
(2)在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
17．棱长为的正方体中，截去三棱锥，求：

(1)求截去的三棱锥的表面积
(2)剩余的几何体的体积
18．在中，角的对边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，且，求的周长．
19．如图所示，在中，，，，，．
(1)求的值．
(2)线段上是否存在一点，使得 若存在，求的值；若不存在，说明理由．
(3)若是内一点，且满足，求的最小值．
参考答案
1．C
2．B
3．C
4．C
5．A
6．A
7．A
8．D
9．ACD
10．AB
11．ABD
12．
13．
14．/1.5
15．（1）∵向量，，
∴，解得.
（2）∵向量，∴.
∵，
∴，解得.
16．（1）∵，，
∴.
∵是实数，∴，解得.
∴，∴.
（2）由（1）知，∴.
∵复数对应的点在第四象限，
∴，解得，即实数m的取值范围为.
17．（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，
、、都是直角边为的等腰直角三角形，
所以截去的三棱锥的表面积
；
（2）正方体的体积为，
三棱锥的体积，
所以剩余的几何体的体积为.
18．（1）因为，
由正弦定理得，
则，
因为，则，
故．
（2）∵，且,
∴，
∵，，
∴，解得，
∵，∴，
∴，
∴.
（3）∵，∴，
由余弦定理得，
∴，
又，∴，则，
∴，
于是的周长．
19．（1），
，
．
（2）设，
，
，
，，
，解得，
∴存在一点，使得，．
（3），
∴，
，
，
，
，
，，三点共线，
，
当且仅当时，即为中点时等号成立，
而，
所以的最小值为．

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