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1-8 CDAABAAD
9~11 ABD AD ABC
12. 40
13. 6
3
14. ( , 1] {1}
2
15. 已知 f x 3 cos 2x 3π 2sin x sin π x ， x R .
2
（1）求 y f x 的最小正周期和单调增区间；
（2）已知锐角V ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，且 f A 3，a 2，
求 BC边上的高的最大值.
【答案】（1）由已知 f x 3 cos 2x 2cos x sin x 3 cos 2x sin 2x 2sin π 2x3 ，
……………………2 分
2π
最小正周期为T π2 . …………………3 分
2kπ π π当 2x 2kπ+ 3π k Z 7π π， 时，即 kπ x kπ ， k Z 时，函数
2 3 2 12 12
y f x 单调递增，所以 y f x 的单调增区间为[kπ 7π ,kπ π ](k Z )……6 分
12 12
π 3 A 0, π 2A π 2π , π（2）由 f A 3 得 sin 2A ，而 ，故 ，
3 2
2 3 3 3
2A π π π， A ……………………9分
3 3 3
由余弦定理可知： a2 b2 c2 2bccos A，故 4 b2 c2 bc .
1 1
设 BC 3边上的高为 h，所以有 ah bc sin A，故 h bc . ………………11分
2 2 4
而b2 c2 2bc，故 4 b2 c2 bc 2bc bc bc，所以bc 4，当b c时，取等号.
所以 h 3 bc 3，因此 BC边上的高的最大值 3 .……………………13分
4
16. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段
由参赛队中一名队员投篮 3次，若 3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 0分；若至少
投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3次，每次投中得 5分，未投中
得 0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次
投中的概率为 p，乙每次投中的概率为 q，各次投中与否相互独立.
（1）若 p 0.5，q 0.6，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为 0分的情况下，求甲第一
阶段被淘汰的概率；
（2）若 0 p q，试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？
3
解：（1）记事件 A “该队成绩为 0分”，事件 B “甲第一阶段被淘汰”，则 P AB 0.5 ，
P A 0.53 1 0.53 0.43 181 ， ……………………2分1000
于是所求为
P ABP B A 1000 125
P A = …………………………………………………………5分1448 181
（2）若甲、乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩 X 、Y 的所有可能取值为 0，5，10，15，
则
P X 0 1 p 3 1 1 p
3
1 q
3
，
P X 5 1 1 p
3
C
1
3q 1 q
2
，
P X 10 1 1 p
3
C
2 2
3q 1 q ，
P X 15 1 1 p
3
q
3
， ……………………9分
则 E X 15 1 1 p
3
q 15 p
3 3p2 3p q，
同理有 E Y 15 q3 3q2 3q p， …………………………11 分
所以 E X E Y 15 pq p q p q 3pq p q 15 p q pq p q 3 .
因为 p q 0， p q 3 1 1 3 0，则 p q pq p q 3 0，…………15 分
故应该由甲参加第一阶段比赛.
17. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB+AD=3，AB=AP，CD=2，∠CDA=45°.
（1）若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30°，求线段 AB 的长；
（2）是否存在线段 AD 上一点 E，使得 E到点 P，B，C，D 的距离都相等？说明理由.
【答案】
（1）
（2）以 A 为坐标原点，以{AB, AD, AP}为空间正交基底建立空间直角坐标系，设 AB=t(0则 A(0,0,0),B(t,0,0),P(0,0,t),D(0,3 t,0),C( 2,3 t 2,0)
PB (t,0, t)，CD ( 2, 2,0),PD (0,3 t, t)，设平面 PCD 的法向量为m (x0 , y0 , z0 )，
则由
m CD 0 m PB
，不妨取m (t,t,3 t)，则 cos m,PB sin30
1
，即
m PD 0 m PB 2
| 2t 2 3t | 1

t 2 t 2 t 2 t 2 (3 t)2 2
化简可得5t 2
3 3
18t 9 0，解得 t ，即 AB …………………………………………10 分5 5
（3）由（2）设 E(0, s,0)(0 s 3) , B(t,0,0),P(0,0,t),D(0,3 t,0),C( 2,3 t 2,0)，则有
EB2 EP2 s2 t 2 ,ED | 3 s t |,EC 2 2 (s t 3 2)2
所以 s2 t 2 | 3 s t |2 2 (s t 2 3)2，…………………………………………11 分
t 2 s2 2
解得 ，………………………………………………………………………13 分
t s 3 2
消去 t，有 2s2 2(3 2)s 9 6 2 0，此方程的判别式 4(3 2)2 8(9 6 2) 0，
记函数 f (s) 2s2 2(3 2)s 9 6 2, f (0) 0, f (3 2 ) 0，可 s (0, 3 2 ), f (s) 0
2 2
所以存在点 E 使得 E到点 P，B，C，D 的距离都相等………………15 分
18.
S 2 y y 2 (y y )2 4y y 2 6 t
2 1 7
所以 ABC 1 2 1 2 1 2 12，解得 t 或 t 03t 2 1 3
所以直线 BC的直线方程为3x 7 y 6 0或 x 2 …………………………8分
GP |TP |
设T (x0 , y0 )由GP TQ PT GQ， ，GQ |TQ |
又因为TD2 TF 2 13，可得
所以不存在 T 使之成立.…………………………………………………………17 分
19.（1）当 a 2时，可得 f (x) e x sin x 2x ，可得 f (x) e x cos x 2 ， ……1 分
令 g(x) e x cos x 2，可得 g (x) e x sin x，
当 x 0时， ex 1,cos x 1，可得 g(x) ex cos x 2 0，
即 f (x) 0， f x 单调递减； …………………………2 分
当 x 0时， ex 1, sin x 1，所以 g (x) ex sin x 0， g x 单调递增，
则 g x g 0 e0 cos0 2 0，即 f (x) 0， f x 单调递增，
所以函数 f x 的单调递减区间为 ( ,0)，单调递增区间为 [0, ) .………………4分
（2）解：令 h x f (x) cos x ex sin x ax cos x, x [0, )，
可得 h x ex cos x a sin x，令m x h x ex cos x a sin x，
m x ex π则 sin x cos x ex 2 cos(x )，
4
π π π π
当0 x 时，1 ex e 4 ，0 x ，0 cos

x
π

2
，故m x 0，4 4 2 4 2
…………………………5分
π π π 1 π
当 x 时， ex e 4 2 4 2 2 2 ， 2 2 cos

x 2 ，故m x 0，4 4
所以当 x [0, )时，可得m x 0，m x 单调递增，即h x 单调递增，h 0 2 a，
…………………………6 分
当 a 2时， h 0 0，则 h x h 0 0， h x 在 x [0, )上单调递增，
所以 h x h 0 0，所以 f (x) cos x成立，满足题意；…………………………7 分
当 a 2时，存在 x0 (0, ) ，使得h x0 0，
当 x [0, x0 )时， h x 0， h x 单调递减；
当 x (x0 , )时， h x 0， h x 单调递增，
当 x 0, x0 时， h x h 0 0，不满足题意，
综上可得，实数 a的取值范围为 ( , 2] .………………………………9分
（3）当 a 1时， f (x) e x sin x x ，可得 f (x) ex cos x 1，
设 f1 x f x ex cos x 1 ，可得 f1 x ex sin x，
设 f2 x f 1 x ex sin x x，可得 f2 x e cos x，
设 f 3 x f2 x ex cos x ，可得 f3 x ex sin x，
当 x [ 2π, π)时， ex 0,sin x 0 f x ex，可得 3 sin x 0，
则 f3 x 在 x [ 2π, π)上单调递增， …………………………10 分
f 2π e 2π因为 3 1 0, f3 π e π 1 0，
所以存在唯一 x0 ( 2π, π)，使得 f3 x0 0，
可得 f2 x 在 ( 2π, x0 )上单调递减，在 (x0 , π)上单调递增， ……………………11 分
3π ，
f 2π e 2π

2 0, f
3π
2 e 2 1 0, f2 π e π 0
2
3π
所以存在唯一的 ( 2π, ), 3π ( , π)，使得 e sin , e sin ，
2 2
且 f1 x 在 ( 2π, )上单调递增，在 ( , )上单调递减，在 ( , π)上单调递增，
………………………………12 分
3π
由 f1 2π e 2π>0 π， f1 π e 2 0 3π

， f 21( ) e 1 0，2
又由 f1 e cos 1 sin cos
π
1 2 sin 1
4
f π1( ) e cos 1 sin cos 1 2 sin( ) 1，4
( 2π, 3π) ( 3π , π) π ( 7π , 5π) π ( 5π , 3π因为 ， ，可得 ， )，
2 2 4 4 4 4 4 4

可得 2 sin
π 1 2 sin π ， 1，所以 f1 0, f1 0，
4 4
x ( 2π, 3π则存在唯一 1 )，使得 f x 0，2
且 f x 在 ( 2π, x1)上单调递增，在 (x1, π)上单调递减， …………13 分
当 x ( π,0)时， ex 0,sin x 0， f (x) 0，则 f x 在 ( π,0)1 上单调递增，
π

则 f 0 1 0, f π e 2
π
1 0，则存在唯一 x2 ( , 0)，使得 f x2 0，
2 2
当 π x x2 时， f x 0，当 x2 x 0时， f x 0，
当 x 0时， ex 1,sin x 1，可得 f 1 (x) 0，
f x 在 0, 上单调递增， f 0 1 0， f x 0，
综上可得，函数 f x 在 ( 2π, x1)上单调递增，在 (x1, x2)上单调递减，在 (x2 , )上单调
递增， …………………………………………………………15 分
要使得 y m与 y f (x)的图像有三个交点，
3π 3π π
则 x1 ( 2π, ), x2 ( , ), x
π
3 ( , )，2 2 2 2
f 2π e 2π 2π, f π e π π f 2π ，则 x 3π2 ( , π)，2
又因为 f 0 1 f 2π ，则 x3 (0, )，则 x1 x3 2π 2x2 ，
所以 2x2 x1 x3，得证.…………………………………………………………17分

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