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江苏苏州市2025-2026学年高二下学期期中调研试卷数学
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：m）与时间（单位：s）满足关系式．当运动员的滑雪路程为时，则运动员此时的滑雪速度是（ ）
A． B． C． D．
4．线段在平面内，，且，则两点间的距离为（ ）
A．5 B． C． D．
5．已知在上的投影向量是，则（ ）
A． B．3 C． D．
6．点是四面体的棱的中点，点在线段上且，点在线段上且，若，则（ ）
A． B． C． D．1
7．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设，两个函数的图象如图所示，则（ ）
A．的图象是的图象是
B．的图象是的图象是
C．当时，
D．
11．如图，在四面体中，二面角的大小为，且，，则（ ）
A．无论为何值，
B．当与平面所成角为时，
C．当时，二面角大于
D．当时，二面角的正切值为
三、填空题
12．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是___________.
13．，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的正切值是___________．
14．已知，若函数在区间上单调递减，则的最大值是___________．
四、解答题
15．如图，在平行六面体中，，．
(1)用表示，并求的长；
(2)求证：平面．
16．已知函数．
(1)求的极值；
(2)若对任意，都有恒成立，求实数的最小值；
(3)若过点的直线与曲线相切，求的方程．
17．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点．
(1)求与所成角的余弦值：
(2)求平面与平面所成角的正弦值；
(3)记是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．
18．现有一块半径为的圆形铁皮，开展如下设计与优化问题：
(1)若从该圆形铁皮中剪出一个内接等腰三角形（三角形的三个顶点均在圆周上），试问：当等腰三角形的顶角取何值时，该三角形的面积取得最大值？
(2)若从该圆形铁皮中剪出一个圆心角为的扇形（扇形的顶点与圆心重合，弧长对应圆周上的一段弧），并将该扇形制作成一个无盖的圆锥形容器（扇形的两条半径作为圆锥的母线，弧长作为圆锥底面的周长），试问：当扇形的圆心角取何值时，该圆锥形容器的容积取得最大值？
19．已知函数，．
(1)当时，
①求曲线在处的切线；
②是否存在实数使得不等式恒成立，若存在，求出的值：若不存在，说明理由．
(2)若函数与的图象有两个不同的交点，求实数的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】已知，则.
2．A
【详解】.
故选：A
3．A
【详解】由题意得，即，所以，
解得，所以.
4．D
【详解】由，，，得，，
得到，又所以，
，
，∴.
5．B
【详解】设在上的投影向量为，则，
所以，所以，解得，
所以，所以.
6．B
【详解】在四面体中，，，，
则，
可得
，
因为，则，所以.
7．A
【详解】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，
可得，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，可得，
因为，可知，
且平面，平面，所以平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，
则点到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为.
8．D
【详解】由题意得：，令，
所以，所以在单调递增，且，，
又因为在上不单调，所以，解得.
9．AC
【详解】对于A：，可以由和线性表示，所以共面.
对于B：假设，可得，此方程组无解，
所以不能用和线性表示，故不共面.
对于C：，可以由和线性表示，所以共面.
对于D：假设，
可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面.
10．ACD
【详解】令，
所以，
由，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，所以，所以，即，
所以的图象是的图象是，故A正确，B错误；
当时，由，由取代得，所以，故C正确；
令，所以，
所以，
所以，故D正确.
11．ABD
【详解】选项A：如下图所示，取中点，连接，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以；
选项B：如下图所示，作，垂足为，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接AH，
由可得，
所以即为二面角的平面角，
因为平面，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面，
所以即为与平面所成角，
因为，为等腰三角形，
所以，即；
选项C：若，则平面，
因为，所以即为二面角的平面角，
因为，可求得，
所以，
所以二面角小于；
选项D：如下图所示，作，垂足为，作，垂足为，连接，
因为，所以平面，
因为，所以，，
因为，所以，，
所以.
12．
【详解】函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率为
，
故答案为：.
13．
【详解】
在上任取一点并作平面，则即为直线与平面所成角的平面角．
过点作，，.
因为平面，平面，所以，.
又平面，，所以平面，
又平面，所以，同理.
又，，所以，所以.
又，所以，所以.
设，在中，；在中，.
在中，，
则.
即直线与平面所成角的正切值为.
14．
【详解】由题意得：，又在上单调递减，
所以在上恒成立，即，
令，所以，当时，，
所以在单调递减，
所以在上恒成立，
所以，所以，
又，令，
所以，令，解得，
由，由，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以.
15．(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）平行六面体中，，.
.
，
所以.
（2），，，
所以
，
所以，所以.
，
所以，所以.
又，，平面，
所以平面.
16．(1)的极大值为；的极小值为
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得：，令，解得或，
由有：或，由有：，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的极大值为，
的极小值为
（2）由已知有：对任意，都有恒成立，
由（1）有在单调递增，在单调递减，
又，
所以，
所以，
所以实数的最小值为；
（3）设切点为，
所以，，
所以切线方程为：，
所以，
又切线过点，
所以，
化简整理有：，即，解得，
所以直线的方程为：，
所以直线的方程为：.
17．(1)
(2)
(3)当时，平面
【详解】（1）由题意得：以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
由，，所以，
所以，
所以；
（2）由题意得，
设平面的法向量为，
所以，令，得，
显然为平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，
所以，
所以；
（3）由题意得四边形为矩形，所以点为的中点，
所以，所以，
设，所以，
所以，
设平面的法向量为，
由，
所以，令，得，
由平面，所以，
解得，
所以当时，平面.
18．(1)当等腰三角形的顶角时，该三角形的面积取得最大值
(2)当扇形的圆心角时，该圆锥形容器的容积取得最大值
【详解】（1）设等腰三角形的顶角为，底边为，高为，则，，
所以，所以.
则三角形面积，
.
令，即，解得或.
因为，所以，所以，此时.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以当时，取得最大值.
故当等腰三角形的顶角时，该三角形的面积取得最大值.
（2）设圆锥形容器的底面半径为，高为，则，即，
所以.
所以圆锥形容器的容积为.
设，
则.
令，即，则，解得或（舍去），
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以当时，该圆锥形容器的容积取得最大值.
故当扇形的圆心角时，该圆锥形容器的容积取得最大值.
19．(1)①；②存在实数满足题意，
(2)
【详解】（1）①若，则的定义域为，且，
可得，，
所以曲线在处的切线为，即；
②若，则，，可得，，
可知曲线在处的切线为，
因为不等式恒成立，且，
可知为，在处的公切线，
则，
若，构造，，
则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，可得，
又因为，可得；
综上所述：不等式恒成立，
所以存在实数满足题意，.
（2）令，，
原题意等价于在定义域内有2个零点，
则，
因为，则，
若，则，可知在定义域内单调递增，
则在定义域内至多有1个零点，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
原题意等价于，
又因为在定义域内单调递减，且，
则不等式的解集为；
综上所述：实数的取值范围为.

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