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江西赣州市于都县2025- 2026学年度第二学期 八年级数学期中测试卷
一、单选题
1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．以下列长度的三条线段组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ）
A．60 B．90 C．120 D．150
5．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．化简 的结果为_______．
8．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，则、两点间的距离是______．
9．如图，在中，对角线、交于点，，点、分别为、的中点，连接、，若，则______．
10．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12，则正方形的面积为_____________．
11．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，例： ，按照这种运算方法，则______ ．
12．在正方形中，点在对角线上，点在正方形的边上，若，，则在中，的度数为____．
三、解答题
13．计算及求x
(1)计算：；
(2)求出图形中的值．
14．已知：，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
15．如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)求之间的距离．
16．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．求水池的深度及芦苇的长度；
17．如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
(1)如图，过点作的垂线；
(2)如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
18．某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正西方120m处，点在点的正北方60米处（即，，）．
(1)求证：；
(2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更长？
19．如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料．
(1)求剩余木料（阴影部分）的面积；
(2)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出______块这样的木条（参考数据：）．
20．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若．试判断四边形的形状，并证明．
21．观察下列各式：
，即：
，即：
，即．
(1)根据你发现的规律填空：
__________________________，即_____________；
(2)猜想（，n为自然数）等于什么，并验证你的猜想．
22．完成下列题目
(1)【问题背景】
图1是著名的赵爽弦图（其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即______（用含，的式子表示），从而得到等式：______，化简便推导出重要的勾股定理：．像这样用两种不同方式来表示同一个图形的面积，从而得到等式或方程的方法，我们不妨称之为“等面积法”；
(2)【问题探究】
将两个全等的直角三角形（较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为）按如图2方式放置，在同一直线上，显然，连接．请你借助此图同样用“等面积法”证明勾股定理；
(3)【问题拓展】
如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点得，请用“等面积法”求该三角形边上的高．
23．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题：
(1)如图1，点分别为任意四边形的边的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下：
请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据1：______；依据2：______；
(2)该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
(3)如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并证明你的结论．
(4)如图3，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，求证：四边形是“中方四边形”．
参考答案
1．A
解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选：A．
2．C
解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误．
3．B
解：选项A 最长边为，，
该三角形是直角三角形；
选项B 最长边为，
，，，
该三角形不是直角三角形；
选项C 最长边为，
，
该三角形是直角三角形；
选项D 最长边为，
，
该三角形是直角三角形．
4．C
解：∵一个六边形的每个内角都是，
∴每个内角的度数为：，
故选：C．
5．A
解：∵点O是边的中点，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意；
．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意；
．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴，
∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意；
．若，∴，
∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意；
故选：A．
6．B
解：①如图所示，
根据勾股定理得；
②如图所示，
根据勾股定理得；
③如图所示，
根据勾股定理得；
∵
∴最短路程为，
故选：B．
7．
解：，
故答案为： ．
8．
解：点、的坐标分别为和，
，，
．
9．4
解：∵四边形是平行四边形，
∴，即点O为的中点，
∵点为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，即，且点为的中点，
∴．
10．
解：两个空白三角形均为直角三角形，且、、三个正方形的面积分别为6、2、12，
结合勾股定理可知，中间空白正方形的面积为：，
则正方形的面积为；
故答案为：．
11．
解：由定义，，
所以．
故答案为：．
12．或或
解：如图所示，在正方形中，点在对角线上，，

点在正方形的边上，且，
可以以为圆心，为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的点，
当点在上时，如图，，
四边形为正方形，为对角线，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
当点在上时，如图，，，
四边形为正方形，为对角线，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，，
，
，
综上所述：的度数为或或，
故答案为：或或．
13．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：如图所示，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴．
14．(1)8
(2)
（1）∵
∴
∴
；
（2）∵
∴
∴
．
15．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即之间的距离为．
16．水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺．
解：设尺，则尺，
由题意得，尺，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺．
17．(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
18．(1)见解析
(2)路线更短
（1）证明：在中，米，米，米，
，
，
，
（2）解：在中，米，米，
由勾股定理得：（米），
（米），（米），
，
路线更短．
19．(1)；
(2)8
（1）解：设面积分别为和的两个小正方形木料的边长分别为x，y，
根据题意，得，，
，，，负的都舍去，
故阴影部分的面积为．
（2）解：根据题意，得，，
由，
故一个长方形木料最多可以裁出4块这样的木条，
故一共最多可以裁出8块这样的木条．
20．(1)见解析
(2)四边形是菱形，证明见解析
（1）证明：连接，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：四边形是菱形，证明如下：
连接，交于点，
由（1）得：，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
21．(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查的是与二次根式相关的运算规律的探究；
（1）用二次根式的相关运算法则计算即可得到本题两空的答案；
（2）观察、分析前面四个式子的计算结果可知：当为不小于2的自然数时，总有：，由二次根式的运算法则把左边的式子化简变形可得右边的式子．
【详解】（1）解：；
即；
（2）解：观察、分析前面四个式子可知：
当为不小于2的自然数时：，理由如下：
．
故当为不小于2的自然数时：．
22．(1)；
(2)见解析
(3)
（1）解：图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即（用含，的式子表示），从而得到等式：，化简便推导出重要的勾股定理：．
（2）证明：，
，
，
；
（3）解：设边上的高为h，
∵，，
,
，
即边上的高是．
23．(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(2)④
(3)，证明见解析
(4)见解析
（1）解：由题意得，依据1是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半；
依据2是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示，连接，
同理可得，
当四边形是平行四边形时，与不一定垂直，
故此时与不一定垂直，
∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”；
当四边形是矩形时，与不一定垂直，
故此时与不一定垂直，
∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”；
当四边形是菱形时，与不一定相等，
故此时与不一定相等，
∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”；
当四边形是正方形时，，
故此时，
∴四边形是正方形，即此时四边形是“中方四边形”；
（3）解：，证明如下：
∵四边形是“中方四边形”，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
（4）证明：如图所示，连接，设分别交于点H，点O，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴且，
∴由（3）可得四边形是“中方四边形”．

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