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广东省卓越教育发展联盟学校2024-2025学年高二下学期第一次联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．下列导数运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．记为数列的前项和．若，则的值为（　　）
A．5 B．9 C．10 D．25
3．已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，，成等比数列，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，参加比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有名划手、其中有名只会划左桨，名只会划右桨.现从这名划手中选派名参加比赛，其中名划左桨，名划右桨，则不同的选派方法共有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
5．若函数的导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述不正确的是（　　）
A．在与处的瞬时增长率相同
B．可能为奇函数
C．在上不单调
D．
6．袋子中有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球3个，黄球2个，蓝球1个.现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.若从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．设，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角.杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章.杨辉三角如图所示：
如图，杨辉三角第行的个数依次为，，，，，.现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如图：在这个新的三角数阵中，第行的所有数的和为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知等差数列的前项和为，且满足，，下列选项正确的是（　　）
A．数列的公差为
B．取最小值时，
C．
D．，，构成等差数列，且公差为
10．已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．的极小值点为
11．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（　　）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在的展开式中的系数为2560，则　 　．
13．在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.98和0.02；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为1的概率为　 　.
14．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．已知函数．
（1）若，求在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
16．如图，在三棱锥中，底面，，若，E为的中点，M，N分别是AE，AB的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）若，在线段上，且，求二面角的平面角的余弦值.
17．已知等比数列中，，．
（1）求等比数列的通项公式；
（2）令．
①求数列的前项和；
②令，求最小值．
18．已知数列满足：，且．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求下表中前n行所有数的和.
……………………………
19．已知函数，当时，恒成立
（1）求实数的取值范围；
（2）函数，当实数取最大值时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由；
（3）已知证明：
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，，，
故答案为：B
【分析】本题考查基本初等函数的求导公式与求导法则，核心是结合常数求导、对数函数求导、乘积法则及复合函数求导法则，逐一验证各选项的导数运算正误。
2．【答案】A
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，则，
故答案为：A．
【分析】本题考查数列前项和与通项的关系，核心是先由求出的表达式，再利用计算结果。
3．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，
所以，
化简可得，所以，
所以，
故答案为：D.
【分析】本题考查等差数列与等比数列的性质综合应用，核心是利用等比中项性质建立首项a1 与公差d的关系，再代入通项公式化简求值。
4．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从这名划手中选派名参加比赛，其中名划左桨，名划右桨，
则共有种选派方法，
故答案为：C.
【分析】本题考查分步乘法计数原理与组合数的应用，核心是分 “选左桨手” 和 “选右桨手” 两步，分别计算组合数后相乘得到总选法数。
5．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；瞬时变化率
【解析】【解答】解：A，由函数的导函数为偶函数，得，
因此在与处的瞬时增长率相同，A正确；
B，函数的导函数符合给定图象，函数是奇函数，B正确；
C，当时，，因此在上单调递减，C错误；
D，当时，且函数在上单调递增，则函数在上为凹函数，
如图，
在凹函数定义域内，观察图象得，
因此，即，D正确，
故答案为：C．
【分析】A：根据导函数的偶函数性质，结合瞬时增长率与导数的关系，判断和处瞬时增长率是否相同。
B：举例构造奇函数，验证其导函数为偶函数是否符合条件。
C：根据导函数在上的符号，判断的单调性。
D：利用导函数在上的单调性，结合函数凹凸性分析与的大小关系。
6．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：袋子中红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1，共6个球，
从中任取3个，得分之和为5，包括如下两种情况：
①一个红球，两个黄球，所求概率为；②两个红球，一个蓝球，所求概率为，
故从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5的概率为.
故答案为：A.
【分析】本题考查古典概型的概率计算，核心是先找出 “任取 3 个球得分和为 5” 的所有情况，计算对应组合数，再结合古典概型公式求解概率。
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：x为锐角时，，所以，，
令，则，令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，即，所以.
综上，.
故答案为：A
【分析】本题考查利用函数单调性与不等式性质比较大小，核心是先通过三角函数不等式判断a与1的大小，再构造函数利用导数分析单调性，比较b和c的大小。
8．【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式定理；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】是由题可得杨辉三角中第行的第个数为，
则新的三角数阵中第行的第个数为，
第行的和为：，
设，，
两边求导得，，
令得，，
所以新的三角数阵中第行的和为，
第行的所有数的和为.
故答案为：C.
【分析】本题考查杨辉三角性质与二项式定理的综合应用，核心是先确定新三角数阵的通项，再利用导数与二项式展开式的性质求第 100 行所有数的和。
9．【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：A，设等差数列的公差为，则由题意知，
解得，A正确；
B：，，
则当时，取得最小值为，B正确；
C：，，C错误；
D：，，
即，同理，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】A：设等差数列公差为，根据和列方程组，求解首项和公差。
B：写出通项公式和前项和公式，将配方为二次函数形式，求其最小值对应的值。
C：分别计算和的数值，对比是否相等。
D：推导、、的表达式，验证是否构成等差数列并求公差。
10．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数，求导得，
由，得，解得，
，
当时，有，有，是的极小值点，；
当时，由，得或；由，得，
因此是的极小值点，是的极大值点，ABD正确，C错误.
故答案为：ABD
【分析】本题考查利用导数研究函数的极值，核心是根据极值点处导数为 0、极值点的函数值为 1 建立方程组，求解参数关系，再通过导数符号分析函数单调性，判断极值点与参数范围。
11．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：，
又，
，A正确；
，B错误；
则，C正确；
又，
则，D正确；
故答案为：ACD
【分析】本题考查概率的基本公式（和事件、条件概率），核心是利用对立事件的概率关系、和事件公式求出P(AB)，再结合条件概率公式分析各选项。
12．【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式通项为，
令，故，
故答案为：．
【分析】本题考查二项式定理的通项公式应用，核心是写出展开式的通项，根据的次数确定项数，再结合系数列方程求解参数。
13．【答案】0.46
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设A表示“发送的信号为0”，B表示“接收的信号为0”，则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”.
则
.
故答案为：
【分析】本题考查全概率公式的应用，核心是将 “接收信号为 1” 拆解为 “发送 0 接收 1” 和 “发送 1 接收 1” 两个互斥事件，再结合全概率公式计算总概率。
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设公切线为，是与的切点，由，得，
是与的切点，由，得，
所以的方程为，因为，整理得，
同理，因为，整理得.
依题意两条直线重合，可得，
两式相除得，所以，代入①得，
由题意此方程有三个不等实根，设，，
即直线与曲线有三个不同的交点，
因为，令，则或，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以有极小值为，有极大值为，
当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，
所以当，即时，直线与曲线有三个交点，
故答案为：
【分析】本题考查利用导数研究曲线的切线问题与函数零点个数，核心是通过设切点推导切线方程，将 “三条公切线” 转化为 “函数有三个不同零点”，再利用导数分析函数单调性与极值，确定参数范围。
15．【答案】（1）解：若，则，则，，，
所以在点处的切线方程为．
（2）解：，
①当，令，解得，令，解得，
在单调递增，在单调递减；
②当，令，解得，，
当时，令，解得或，令，解得，
在，单调递增，在单调递减；
当时，，在上单调递增，
当时，令，解得或，令，解得，
在，单调递增，在单调递减，
综上，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在，单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，单调递增.在单调递减．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1) 当a=1时，先求函数f(x)的导数，利用导数的几何意义得到切线斜率，再结合点坐标用点斜式求切线方程；
(2) 对f(x)求导后，根据参数a的取值范围（a≤0、02），分析导数的正负，进而确定函数的单调区间。
（1）若，则，则，，，
所以在点处的切线方程为．
（2），
①当，令，解得，令，解得，
在单调递增，在单调递减；
②当，令，解得，，
当时，令，解得或，令，解得，
在，单调递增，在单调递减；
当时，，在上单调递增，
当时，令，解得或，令，解得，
在，单调递增，在单调递减，
综上，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在，单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，单调递增.在单调递减．
16．【答案】（1）证明：因为底面，底面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面
（2）证明：连接，如图，
因为M，N分别是AE，EB的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面PBC
（3）解：由（1）知，平面，平面，所以，
因为，E为的中点，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以.
所以是二面角的平面角.
设角
设，中，，，，，
所以二面角的平面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】(1) 利用线面垂直的性质得到PA⊥BC，结合已知AC⊥BC，再根据线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAC；
(2) 通过中位线性质得到MN∥BE，再利用线面平行的判定定理证明MN∥平面PBC；
(3) 先根据线面垂直确定二面角C AE F的平面角为∠CEF，再结合边长关系，利用解三角形求平面角的余弦值。
（1）因为底面，底面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面
（2）连接，如图，
因为M，N分别是AE，EB的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面PBC
（3）由（1）知，平面，平面，所以，
因为，E为的中点，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以.
所以是二面角的平面角.
设角
设，中，，，，，
所以二面角的平面角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：设公比为，则，
所以．
（2）解：①，，
则，
，
，
所以．
②，
，
当时，，即为减数列，
当时，，即为增数列，
所以．
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1) 利用等比数列的通项公式，结合已知项求出公比，进而推导数列的通项公式；
(2) ①先由对数运算求出，得到的通项，再用错位相减法求前项和；②构造函数，通过作差法分析其单调性，进而求解最小值。
（1）设公比为，则，
所以．
（2）①，，
则，
，
，
所以．
②，
，
当时，，即为减数列，
当时，，即为增数列，
所以．
18．【答案】解：（1）由已知，可得
，
可得数列为等差数列；
（2）由（Ⅰ）得，
，
，
（3）
可得第n行所有数的和=，
可得前n行所有数的和
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1) 对已知递推式变形，推导出，结合等差数列的定义证明数列为等差数列；
(2) 由等差数列通项公式求出，再通过累乘法推导数列的通项公式；
(3) 先将第行的项转化为组合数形式，利用组合数性质求出第行的和，再结合等比数列求和公式求前行的总和。
19．【答案】（1）解：由题设在上恒成立，
令且，则，
令，且，
当，即时，，即，
此时在上单调递增，则，满足题设；
当，即时，，对称轴，
所以使，在时，即，
所以在上单调递减，此时，不满足题设；
综上，；
（2）解：由题设，
由（2）最大，则，故，
令，则，故在上单调递增，
由，即使，
所以上，，上，，
即在上单调递减，在上单调递增，则，
而，即，故，
而在上单调递增，则，故，
所以，又恒成立，即，即整数的最大值为；
（3）证明：由（1）知在上恒成立，即，
令且，则，
所以，
则，故，
所以.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，对求导后，根据参数的取值范围分析函数单调性，结合的条件确定的取值范围；
(2) 先确定的最大值，化简的表达式，再利用导数研究的单调性与最小值，结合整数性质求解的最大值；
(3) 利用(1)的结论得到不等式，通过换元法构造关于的不等式，再利用累加法证明结论。
（1）由题设在上恒成立，
令且，则，
令，且，
当，即时，，即，
此时在上单调递增，则，满足题设；
当，即时，，对称轴，
所以使，在时，即，
所以在上单调递减，此时，不满足题设；
综上，；
（2）由题设，
由（2）最大，则，故，
令，则，故在上单调递增，
由，即使，
所以上，，上，，
即在上单调递减，在上单调递增，则，
而，即，故，
而在上单调递增，则，故，
所以，又恒成立，即，即整数的最大值为；
（3）由（1）知在上恒成立，即，
令且，则，
所以，
则，故，
所以.
1 / 1广东省卓越教育发展联盟学校2024-2025学年高二下学期第一次联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．下列导数运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，，，
故答案为：B
【分析】本题考查基本初等函数的求导公式与求导法则，核心是结合常数求导、对数函数求导、乘积法则及复合函数求导法则，逐一验证各选项的导数运算正误。
2．记为数列的前项和．若，则的值为（　　）
A．5 B．9 C．10 D．25
【答案】A
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，则，
故答案为：A．
【分析】本题考查数列前项和与通项的关系，核心是先由求出的表达式，再利用计算结果。
3．已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，，成等比数列，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，
所以，
化简可得，所以，
所以，
故答案为：D.
【分析】本题考查等差数列与等比数列的性质综合应用，核心是利用等比中项性质建立首项a1 与公差d的关系，再代入通项公式化简求值。
4．“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，参加比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有名划手、其中有名只会划左桨，名只会划右桨.现从这名划手中选派名参加比赛，其中名划左桨，名划右桨，则不同的选派方法共有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从这名划手中选派名参加比赛，其中名划左桨，名划右桨，
则共有种选派方法，
故答案为：C.
【分析】本题考查分步乘法计数原理与组合数的应用，核心是分 “选左桨手” 和 “选右桨手” 两步，分别计算组合数后相乘得到总选法数。
5．若函数的导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述不正确的是（　　）
A．在与处的瞬时增长率相同
B．可能为奇函数
C．在上不单调
D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；瞬时变化率
【解析】【解答】解：A，由函数的导函数为偶函数，得，
因此在与处的瞬时增长率相同，A正确；
B，函数的导函数符合给定图象，函数是奇函数，B正确；
C，当时，，因此在上单调递减，C错误；
D，当时，且函数在上单调递增，则函数在上为凹函数，
如图，
在凹函数定义域内，观察图象得，
因此，即，D正确，
故答案为：C．
【分析】A：根据导函数的偶函数性质，结合瞬时增长率与导数的关系，判断和处瞬时增长率是否相同。
B：举例构造奇函数，验证其导函数为偶函数是否符合条件。
C：根据导函数在上的符号，判断的单调性。
D：利用导函数在上的单调性，结合函数凹凸性分析与的大小关系。
6．袋子中有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球3个，黄球2个，蓝球1个.现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.若从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：袋子中红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1，共6个球，
从中任取3个，得分之和为5，包括如下两种情况：
①一个红球，两个黄球，所求概率为；②两个红球，一个蓝球，所求概率为，
故从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5的概率为.
故答案为：A.
【分析】本题考查古典概型的概率计算，核心是先找出 “任取 3 个球得分和为 5” 的所有情况，计算对应组合数，再结合古典概型公式求解概率。
7．设，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：x为锐角时，，所以，，
令，则，令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，即，所以.
综上，.
故答案为：A
【分析】本题考查利用函数单调性与不等式性质比较大小，核心是先通过三角函数不等式判断a与1的大小，再构造函数利用导数分析单调性，比较b和c的大小。
8．在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角.杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章.杨辉三角如图所示：
如图，杨辉三角第行的个数依次为，，，，，.现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如图：在这个新的三角数阵中，第行的所有数的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式定理；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】是由题可得杨辉三角中第行的第个数为，
则新的三角数阵中第行的第个数为，
第行的和为：，
设，，
两边求导得，，
令得，，
所以新的三角数阵中第行的和为，
第行的所有数的和为.
故答案为：C.
【分析】本题考查杨辉三角性质与二项式定理的综合应用，核心是先确定新三角数阵的通项，再利用导数与二项式展开式的性质求第 100 行所有数的和。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知等差数列的前项和为，且满足，，下列选项正确的是（　　）
A．数列的公差为
B．取最小值时，
C．
D．，，构成等差数列，且公差为
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：A，设等差数列的公差为，则由题意知，
解得，A正确；
B：，，
则当时，取得最小值为，B正确；
C：，，C错误；
D：，，
即，同理，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】A：设等差数列公差为，根据和列方程组，求解首项和公差。
B：写出通项公式和前项和公式，将配方为二次函数形式，求其最小值对应的值。
C：分别计算和的数值，对比是否相等。
D：推导、、的表达式，验证是否构成等差数列并求公差。
10．已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．的极小值点为
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数，求导得，
由，得，解得，
，
当时，有，有，是的极小值点，；
当时，由，得或；由，得，
因此是的极小值点，是的极大值点，ABD正确，C错误.
故答案为：ABD
【分析】本题考查利用导数研究函数的极值，核心是根据极值点处导数为 0、极值点的函数值为 1 建立方程组，求解参数关系，再通过导数符号分析函数单调性，判断极值点与参数范围。
11．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：，
又，
，A正确；
，B错误；
则，C正确；
又，
则，D正确；
故答案为：ACD
【分析】本题考查概率的基本公式（和事件、条件概率），核心是利用对立事件的概率关系、和事件公式求出P(AB)，再结合条件概率公式分析各选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在的展开式中的系数为2560，则　 　．
【答案】
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的展开式通项为，
令，故，
故答案为：．
【分析】本题考查二项式定理的通项公式应用，核心是写出展开式的通项，根据的次数确定项数，再结合系数列方程求解参数。
13．在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.98和0.02；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为1的概率为　 　.
【答案】0.46
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设A表示“发送的信号为0”，B表示“接收的信号为0”，则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”.
则
.
故答案为：
【分析】本题考查全概率公式的应用，核心是将 “接收信号为 1” 拆解为 “发送 0 接收 1” 和 “发送 1 接收 1” 两个互斥事件，再结合全概率公式计算总概率。
14．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设公切线为，是与的切点，由，得，
是与的切点，由，得，
所以的方程为，因为，整理得，
同理，因为，整理得.
依题意两条直线重合，可得，
两式相除得，所以，代入①得，
由题意此方程有三个不等实根，设，，
即直线与曲线有三个不同的交点，
因为，令，则或，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以有极小值为，有极大值为，
当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，
所以当，即时，直线与曲线有三个交点，
故答案为：
【分析】本题考查利用导数研究曲线的切线问题与函数零点个数，核心是通过设切点推导切线方程，将 “三条公切线” 转化为 “函数有三个不同零点”，再利用导数分析函数单调性与极值，确定参数范围。
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．已知函数．
（1）若，求在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
【答案】（1）解：若，则，则，，，
所以在点处的切线方程为．
（2）解：，
①当，令，解得，令，解得，
在单调递增，在单调递减；
②当，令，解得，，
当时，令，解得或，令，解得，
在，单调递增，在单调递减；
当时，，在上单调递增，
当时，令，解得或，令，解得，
在，单调递增，在单调递减，
综上，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在，单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，单调递增.在单调递减．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1) 当a=1时，先求函数f(x)的导数，利用导数的几何意义得到切线斜率，再结合点坐标用点斜式求切线方程；
(2) 对f(x)求导后，根据参数a的取值范围（a≤0、02），分析导数的正负，进而确定函数的单调区间。
（1）若，则，则，，，
所以在点处的切线方程为．
（2），
①当，令，解得，令，解得，
在单调递增，在单调递减；
②当，令，解得，，
当时，令，解得或，令，解得，
在，单调递增，在单调递减；
当时，，在上单调递增，
当时，令，解得或，令，解得，
在，单调递增，在单调递减，
综上，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在，单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，单调递增.在单调递减．
16．如图，在三棱锥中，底面，，若，E为的中点，M，N分别是AE，AB的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）若，在线段上，且，求二面角的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为底面，底面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面
（2）证明：连接，如图，
因为M，N分别是AE，EB的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面PBC
（3）解：由（1）知，平面，平面，所以，
因为，E为的中点，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以.
所以是二面角的平面角.
设角
设，中，，，，，
所以二面角的平面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】(1) 利用线面垂直的性质得到PA⊥BC，结合已知AC⊥BC，再根据线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAC；
(2) 通过中位线性质得到MN∥BE，再利用线面平行的判定定理证明MN∥平面PBC；
(3) 先根据线面垂直确定二面角C AE F的平面角为∠CEF，再结合边长关系，利用解三角形求平面角的余弦值。
（1）因为底面，底面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面
（2）连接，如图，
因为M，N分别是AE，EB的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面PBC
（3）由（1）知，平面，平面，所以，
因为，E为的中点，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以.
所以是二面角的平面角.
设角
设，中，，，，，
所以二面角的平面角的余弦值为.
17．已知等比数列中，，．
（1）求等比数列的通项公式；
（2）令．
①求数列的前项和；
②令，求最小值．
【答案】（1）解：设公比为，则，
所以．
（2）解：①，，
则，
，
，
所以．
②，
，
当时，，即为减数列，
当时，，即为增数列，
所以．
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1) 利用等比数列的通项公式，结合已知项求出公比，进而推导数列的通项公式；
(2) ①先由对数运算求出，得到的通项，再用错位相减法求前项和；②构造函数，通过作差法分析其单调性，进而求解最小值。
（1）设公比为，则，
所以．
（2）①，，
则，
，
，
所以．
②，
，
当时，，即为减数列，
当时，，即为增数列，
所以．
18．已知数列满足：，且．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求下表中前n行所有数的和.
……………………………
【答案】解：（1）由已知，可得
，
可得数列为等差数列；
（2）由（Ⅰ）得，
，
，
（3）
可得第n行所有数的和=，
可得前n行所有数的和
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1) 对已知递推式变形，推导出，结合等差数列的定义证明数列为等差数列；
(2) 由等差数列通项公式求出，再通过累乘法推导数列的通项公式；
(3) 先将第行的项转化为组合数形式，利用组合数性质求出第行的和，再结合等比数列求和公式求前行的总和。
19．已知函数，当时，恒成立
（1）求实数的取值范围；
（2）函数，当实数取最大值时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由；
（3）已知证明：
【答案】（1）解：由题设在上恒成立，
令且，则，
令，且，
当，即时，，即，
此时在上单调递增，则，满足题设；
当，即时，，对称轴，
所以使，在时，即，
所以在上单调递减，此时，不满足题设；
综上，；
（2）解：由题设，
由（2）最大，则，故，
令，则，故在上单调递增，
由，即使，
所以上，，上，，
即在上单调递减，在上单调递增，则，
而，即，故，
而在上单调递增，则，故，
所以，又恒成立，即，即整数的最大值为；
（3）证明：由（1）知在上恒成立，即，
令且，则，
所以，
则，故，
所以.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，对求导后，根据参数的取值范围分析函数单调性，结合的条件确定的取值范围；
(2) 先确定的最大值，化简的表达式，再利用导数研究的单调性与最小值，结合整数性质求解的最大值；
(3) 利用(1)的结论得到不等式，通过换元法构造关于的不等式，再利用累加法证明结论。
（1）由题设在上恒成立，
令且，则，
令，且，
当，即时，，即，
此时在上单调递增，则，满足题设；
当，即时，，对称轴，
所以使，在时，即，
所以在上单调递减，此时，不满足题设；
综上，；
（2）由题设，
由（2）最大，则，故，
令，则，故在上单调递增，
由，即使，
所以上，，上，，
即在上单调递减，在上单调递增，则，
而，即，故，
而在上单调递增，则，故，
所以，又恒成立，即，即整数的最大值为；
（3）由（1）知在上恒成立，即，
令且，则，
所以，
则，故，
所以.
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