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广东省珠海市斗门区珠海市华中师范大学（珠海）附属中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则扇形的面积是（　　）
A． B． C． D．
2．若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则下列选项错误的是（　　）
A．的最小正周期为
B．曲线关于点中心对称
C．的最大值为
D．曲线关于直线对称
4．已知，，且，，则的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．向量在向量方向上的投影向量的模为（　　）
A．2 B． C． D．
6．如图，等腰梯形中，，点E为线段中点，点F为线段的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
7．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，第二次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则与同向的单位向量为
C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D．若，则的最小值为
10．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．
C．的图象与轴的交点坐标为
D．函数的图象关于直线对称
11．对于△ ，其外心为 ，重心为 ，垂心为 ，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．向量 与 共线
D．过点 的直线 分别与 、 交于 、 两点，若 ， ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知点是角的终边上一点，则　 　．
13．将函数图象上每一点纵坐标不变，向右平移个单位长度得到的图象，则　 　．
14．如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知，是两个单位向量，其夹角为60°，，．
（1）求，；
（2）求与的夹角．
16．（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值；
（2）已知，且，求的值.
17．已知函数．
（1），，求的值；
（2）对任意的，都有，求实数的取值范围．
18．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为.
（1）已知向量，求；
（2）（i）设向量的夹角为，证明：；
（ii）在中，为的中点，且，若，求.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意，扇形的圆心角为120°，即，
所以弧长，则扇形面积.
故答案为：B.
【分析】本题考查扇形面积的计算，核心是将角度转化为弧度，再利用扇形面积公式求解；也可直接使用角度制的扇形面积公式计算。
2．【答案】C
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：因为在第一象限，所以，
所以，所以是第一 三象限角，
当是第一象限角时，；
当是第三象限角时，；
综上，一定成立.
故答案为：C
【分析】本题考查象限角的判断与三角函数的符号规律，核心是根据所在的第一象限，推导出所在的象限，再结合“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的符号法则判断。
3．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：A：已知，所以. 那么，A正确.
B：若曲线关于点中心对称，则，，所以曲线不关于点中心对称，B错误.
C：因为正弦函数的最大值为，在中，，C正确.
D：若曲线关于直线对称，则为函数的最值，，是函数的最大值，所以曲线关于直线对称，D正确.
故答案为：B.
【分析】A：先将函数化为的形式，再根据正弦型函数周期公式计算最小正周期，判断正误。
B：若曲线关于点中心对称，则，代入函数计算验证该等式是否成立。
C：根据正弦型函数的最值性质，结合化简后的函数表达式，求出的最大值并判断。
D：若曲线关于直线对称，则为函数的最值，代入计算验证是否符合。
4．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：设，由，，得，解得 ，
则.
故答案为：C.
【分析】设，根据向量垂直和向量数量积的坐标表示列式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由已知可得，，
向量在向量方向上的投影向量为，
所以向量在向量方向上的投影向量的模为.
故答案为：.
【分析】本题考查向量投影向量的模的计算，核心是先明确投影向量的计算公式，再结合向量的数量积、模长公式进行计算。
6．【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：根据向量加法的三角形法则，，
因为点为线段BC的中点，所以，同理可得，
已知，，由；，
又因为，
所以，
将，代入，可得，
将，代入上式：
.
故答案为：B.
【分析】根据向量的线性运算，以、为基向量表示即可.
7．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意可知：，
则，，
可得，
解得或（舍去），
所以．
故答案为：A.
【分析】根据题意可得的值，根据二倍角的余弦公式和正弦公式，再结合同角三角函数基本关系式得出角的正切值，则由两角差的正切公式得出的值.
8．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为在单调递增，所以，解得，
又由，可得，由在上恰好取得一次最大值，
则，解得，
综合上述可得：，即的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】由x的范围先求的范围，再利用正弦函数图象及性质，借助相位整体法分析正弦函数的单调性与最大值，求参数的取值范围即可.
9．【答案】B,D
【知识点】基本不等式；共线（平行）向量；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
A、由，可得，解得，则，，不存在，使，即，不共线，故A错误；
B、，则，解得，
即，，，
则与同向的单位向量为，故B正确；
C、当时，，因为与的夹角为锐角，
所以，解得，且，即，故C错误；
D、由，得，即，
则，
当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量平行共线定理求解即可判断AB；根据向量夹角公式求解即可判断C；根据向量垂直的坐标表示，结合基本不等式求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由图可知，函数的最小正周期，解得，故A正确；
B、由图象可知时，函数无意义，则，
由，得，则，故B错误；
C、，故C正确；
D、由，可得的图象关于点对称，
由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由函数图象求周期，再根据周期公式求的值即可判断A；根据图象可知当时，函数无意义，结合正切函数定义域即可判断B；由B的函数解析式，将代入验证即可判断C；判断关于点对称，再根据函数的图象的对称变换即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积定义与物理意义；三点共线；三角形五心
【解析】【解答】A： 为外心，则 ，仅当 时才有 ，错误；
B：由 ，又 ，故 ，正确；
C： ，即 与 垂直，又 ，所以 与 共线，正确；
D： ，又 三点共线，则 ，故 ，正确.
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合三角形外心，重心和垂心的定义，再结合数量积的定义和向量共线定理，从而结合三点共线的判断方法，进而找出结论正确的选项。
12．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式，结合任意角三角函数定义求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：根据题意，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
所以，，
故.
故答案为：.
【分析】本题考查三角函数的图象平移变换与函数值计算，核心是根据 “右移还原左移” 的逻辑确定φ的值，再代入计算函数值。
14．【答案】
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则为的中点，，
因为，
所以
，
又因为，即
所以，当且仅当同向时取最大值，反向时取最小值，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意可得为的中点，根据平面向量的线性运算求得，再利用向量数量积的运算，结合数量积的性质求解即可.
15．【答案】（1）解：因为，是两个单位向量，其夹角为60°，所以，，，
又因为，所以，
同理，则；
（2）解：由题得，
设与的夹角为θ，则，
因为θ∈[0，π]，所以，则向量与的夹角为．
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）利用向量的模长公式，结合向量数量积的运算律求解即可；
（2）先根据向量的数量积运算求，再根据向量的夹角公式求解即可.
（1）因为，是两个单位向量，其夹角为60°，
则，，，
又，
所以，
同理，
所以；
（2）由题得，，
设与的夹角为θ，
则，
因为θ∈[0，π]，所以，
则向量与的夹角为．
16．【答案】解：（1）解方程，可得，或，
因为是方程的一个实根，且是第三象限角，所以，
则；
（2）因为，
所以，则，
又因为，所以，，
则，
.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；一元二次方程的解集
【解析】【分析】（1）解一元二次方程，根据是第三象限角确定的值，再将除以，利用同角三角函数基本关系化弦为切，代入求解即可；
（2）将两边平方求得的值，再利用完全平方公式得到的值，构造等式求解即可.
17．【答案】（1）解：．
，得，
由，，，得，
所以．
（2）解：，
由，，所以，
即，
由，得在恒成立，
所以，
所以，所以．
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为正弦型函数，代入求出，再结合角的范围求，最后利用两角和的正弦公式求；
(2) 先根据的范围确定的取值范围，将绝对值不等式转化为对数不等式，再利用对数函数的单调性求解的取值范围。
（1）．
，得，
由，，，得，
所以．
（2），
由，，所以，
即，
由，得在恒成立，
所以，
所以，所以．
18．【答案】（1）解：因为，所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，所以；
（2）解：，，
由（1）可知，，，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
则的最小值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）由，结合向量的线性运算法则求得，，再根据三点共线，求得，即可得的值；
（2）由题意得到，，由（1）可知，，，再根据三点共线得到，最后利用基本不等式求解即可.
19．【答案】（1）解：由，，
可得：
（2）解：（i）因为
，
且，，则，
所以.
（ii）因为D为中点，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的中点，则，
可得，
即
则，
，
，
可得，
所以.
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【分析】（1）利用新定义代入即可求解；
（2）（i）利用向量的坐标运算可得，可证，
（ii）利用中线结合数量积可得，且可知点为的中点，可得，再由（i）即可求解.
（1）由，，
可得：
（2）（i）因为
，
且，，则，
所以.
（ii）因为D为中点，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的中点，则，
可得，
即
则，
，
，
可得，
所以.
1 / 1广东省珠海市斗门区珠海市华中师范大学（珠海）附属中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则扇形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意，扇形的圆心角为120°，即，
所以弧长，则扇形面积.
故答案为：B.
【分析】本题考查扇形面积的计算，核心是将角度转化为弧度，再利用扇形面积公式求解；也可直接使用角度制的扇形面积公式计算。
2．若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：因为在第一象限，所以，
所以，所以是第一 三象限角，
当是第一象限角时，；
当是第三象限角时，；
综上，一定成立.
故答案为：C
【分析】本题考查象限角的判断与三角函数的符号规律，核心是根据所在的第一象限，推导出所在的象限，再结合“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的符号法则判断。
3．已知函数，则下列选项错误的是（　　）
A．的最小正周期为
B．曲线关于点中心对称
C．的最大值为
D．曲线关于直线对称
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：A：已知，所以. 那么，A正确.
B：若曲线关于点中心对称，则，，所以曲线不关于点中心对称，B错误.
C：因为正弦函数的最大值为，在中，，C正确.
D：若曲线关于直线对称，则为函数的最值，，是函数的最大值，所以曲线关于直线对称，D正确.
故答案为：B.
【分析】A：先将函数化为的形式，再根据正弦型函数周期公式计算最小正周期，判断正误。
B：若曲线关于点中心对称，则，代入函数计算验证该等式是否成立。
C：根据正弦型函数的最值性质，结合化简后的函数表达式，求出的最大值并判断。
D：若曲线关于直线对称，则为函数的最值，代入计算验证是否符合。
4．已知，，且，，则的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：设，由，，得，解得 ，
则.
故答案为：C.
【分析】设，根据向量垂直和向量数量积的坐标表示列式求解即可.
5．向量在向量方向上的投影向量的模为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由已知可得，，
向量在向量方向上的投影向量为，
所以向量在向量方向上的投影向量的模为.
故答案为：.
【分析】本题考查向量投影向量的模的计算，核心是先明确投影向量的计算公式，再结合向量的数量积、模长公式进行计算。
6．如图，等腰梯形中，，点E为线段中点，点F为线段的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：根据向量加法的三角形法则，，
因为点为线段BC的中点，所以，同理可得，
已知，，由；，
又因为，
所以，
将，代入，可得，
将，代入上式：
.
故答案为：B.
【分析】根据向量的线性运算，以、为基向量表示即可.
7．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，第二次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意可知：，
则，，
可得，
解得或（舍去），
所以．
故答案为：A.
【分析】根据题意可得的值，根据二倍角的余弦公式和正弦公式，再结合同角三角函数基本关系式得出角的正切值，则由两角差的正切公式得出的值.
8．已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为在单调递增，所以，解得，
又由，可得，由在上恰好取得一次最大值，
则，解得，
综合上述可得：，即的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】由x的范围先求的范围，再利用正弦函数图象及性质，借助相位整体法分析正弦函数的单调性与最大值，求参数的取值范围即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则与同向的单位向量为
C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D．若，则的最小值为
【答案】B,D
【知识点】基本不等式；共线（平行）向量；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
A、由，可得，解得，则，，不存在，使，即，不共线，故A错误；
B、，则，解得，
即，，，
则与同向的单位向量为，故B正确；
C、当时，，因为与的夹角为锐角，
所以，解得，且，即，故C错误；
D、由，得，即，
则，
当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量平行共线定理求解即可判断AB；根据向量夹角公式求解即可判断C；根据向量垂直的坐标表示，结合基本不等式求解即可判断D.
10．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．
C．的图象与轴的交点坐标为
D．函数的图象关于直线对称
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由图可知，函数的最小正周期，解得，故A正确；
B、由图象可知时，函数无意义，则，
由，得，则，故B错误；
C、，故C正确；
D、由，可得的图象关于点对称，
由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由函数图象求周期，再根据周期公式求的值即可判断A；根据图象可知当时，函数无意义，结合正切函数定义域即可判断B；由B的函数解析式，将代入验证即可判断C；判断关于点对称，再根据函数的图象的对称变换即可判断D.
11．对于△ ，其外心为 ，重心为 ，垂心为 ，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．向量 与 共线
D．过点 的直线 分别与 、 交于 、 两点，若 ， ，则
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积定义与物理意义；三点共线；三角形五心
【解析】【解答】A： 为外心，则 ，仅当 时才有 ，错误；
B：由 ，又 ，故 ，正确；
C： ，即 与 垂直，又 ，所以 与 共线，正确；
D： ，又 三点共线，则 ，故 ，正确.
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合三角形外心，重心和垂心的定义，再结合数量积的定义和向量共线定理，从而结合三点共线的判断方法，进而找出结论正确的选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知点是角的终边上一点，则　 　．
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式，结合任意角三角函数定义求解即可.
13．将函数图象上每一点纵坐标不变，向右平移个单位长度得到的图象，则　 　．
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：根据题意，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
所以，，
故.
故答案为：.
【分析】本题考查三角函数的图象平移变换与函数值计算，核心是根据 “右移还原左移” 的逻辑确定φ的值，再代入计算函数值。
14．如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则为的中点，，
因为，
所以
，
又因为，即
所以，当且仅当同向时取最大值，反向时取最小值，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意可得为的中点，根据平面向量的线性运算求得，再利用向量数量积的运算，结合数量积的性质求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知，是两个单位向量，其夹角为60°，，．
（1）求，；
（2）求与的夹角．
【答案】（1）解：因为，是两个单位向量，其夹角为60°，所以，，，
又因为，所以，
同理，则；
（2）解：由题得，
设与的夹角为θ，则，
因为θ∈[0，π]，所以，则向量与的夹角为．
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）利用向量的模长公式，结合向量数量积的运算律求解即可；
（2）先根据向量的数量积运算求，再根据向量的夹角公式求解即可.
（1）因为，是两个单位向量，其夹角为60°，
则，，，
又，
所以，
同理，
所以；
（2）由题得，，
设与的夹角为θ，
则，
因为θ∈[0，π]，所以，
则向量与的夹角为．
16．（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值；
（2）已知，且，求的值.
【答案】解：（1）解方程，可得，或，
因为是方程的一个实根，且是第三象限角，所以，
则；
（2）因为，
所以，则，
又因为，所以，，
则，
.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；一元二次方程的解集
【解析】【分析】（1）解一元二次方程，根据是第三象限角确定的值，再将除以，利用同角三角函数基本关系化弦为切，代入求解即可；
（2）将两边平方求得的值，再利用完全平方公式得到的值，构造等式求解即可.
17．已知函数．
（1），，求的值；
（2）对任意的，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：．
，得，
由，，，得，
所以．
（2）解：，
由，，所以，
即，
由，得在恒成立，
所以，
所以，所以．
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为正弦型函数，代入求出，再结合角的范围求，最后利用两角和的正弦公式求；
(2) 先根据的范围确定的取值范围，将绝对值不等式转化为对数不等式，再利用对数函数的单调性求解的取值范围。
（1）．
，得，
由，，，得，
所以．
（2），
由，，所以，
即，
由，得在恒成立，
所以，
所以，所以．
18．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
【答案】（1）解：因为，所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，所以；
（2）解：，，
由（1）可知，，，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
则的最小值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【分析】（1）由，结合向量的线性运算法则求得，，再根据三点共线，求得，即可得的值；
（2）由题意得到，，由（1）可知，，，再根据三点共线得到，最后利用基本不等式求解即可.
19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为.
（1）已知向量，求；
（2）（i）设向量的夹角为，证明：；
（ii）在中，为的中点，且，若，求.
【答案】（1）解：由，，
可得：
（2）解：（i）因为
，
且，，则，
所以.
（ii）因为D为中点，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的中点，则，
可得，
即
则，
，
，
可得，
所以.
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【分析】（1）利用新定义代入即可求解；
（2）（i）利用向量的坐标运算可得，可证，
（ii）利用中线结合数量积可得，且可知点为的中点，可得，再由（i）即可求解.
（1）由，，
可得：
（2）（i）因为
，
且，，则，
所以.
（ii）因为D为中点，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的中点，则，
可得，
即
则，
，
，
可得，
所以.
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