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广东省揭阳市真理中学2025-2026学年八年级下学期第一次综合训练数学试题
1．下列表示的不等关系中，正确的是（　　）
A．不是负数，表示为
B．比3至少多1，表示为
C．与1的和是非负数，表示为
D．不大于3，表示为
2．若（，为实数），则下列不等关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，∠A＝100°，∠C＝70°，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MFAD，FNDC，则∠B的度数为（　　）
A．80° B．85° C．90° D．95°
4．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、．若，，则的周长为（　　）
A．12 B．14 C．15 D．16
5．如图，在中，，，若点D为的中点，过点D作，分别交、于点M、N，连接，则下列结论中：①是等腰直角三角形；②的周长有最小值；③四边形的面积为定值8；④的面积有最小值．正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，在中，，平分，于点．如果，，那么等于（　　）
A． B． C． D．
7．一个三角形可以被剖分为两个等腰三角形，已知原三角形的一个内角为36°，则原三角形最大内角的所有可能值的总和是（　　）
A． B． C． D．
8．下列命题中，其逆命题不成立的是（　　）
A．角平分线所在直线上的点到这个角的两边的距离相等
B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．若是钝角三角形，则
9．学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，点A、B、C在一条直线上，和均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接、．下列结论：①；②；③为等边三角形；④．则所有正确结论的序号是（　　）．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
11．等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角大小为　 　．
12．如图，在中，是边的垂直平分线，，的周长为，则的周长为　 　．
13．如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是　 　．
14．如果关于x的方程的解不大于1，且m是一个正整数，则x的值为　 　．
15．如图，在中，，若剪去得到四边形，则　 　．
16．解不等式并把解集在数轴上表示出来：．
17．已知线段m和n，请用尺规作图法求作Rt，使，，．（保留作图痕迹，不写作法）
18．先化简，再求值： m，其中m为满足 3-5m<-7的最小整数.
19．整式的值为．
（1）当时，求的值；
（2）若的取值范围如数轴所示，求的负整数值．
20．规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”．
（1）判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”．
（2）已知为“2倍角三角形”，且为锐角三角形，为“倍角”，求的取值范围．
21．如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且．
（1）猜想度数，并写出证明过程．
（2）如图，点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点在边上从点向点运动，速度为每秒个单位长度（当一点停止运动时，另一点也随之停止），运动时间为秒，在运动过程中：是直角三角形，求的值；
（3）点为坐标轴上一点，当是等腰三角形时，请直接写出这样的点有　 　个．
22．如图，在中，．
（1）如图①，现将沿翻折，使点落在斜边上点处，若，，求的长；
（2）如图②，现将沿直线翻折，使点落在点处，若，求证：；
（3）如图③，作平分，动点在上运动，动点在上运动，若，，则的最小值为________．
23．【材料阅读】
截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种：
①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长；
②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长．
【问题呈现】
（1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：．
【问题启发】
李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程；
【迁移应用】
（2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】不等式的概念；列不等式
【解析】【解答】解：A，不是负数，则，错误；
B、比3至少多1，则，正确；
C、与1的和是非负数，则，错误；
D、不大于3，表示为，错误；
故答案为：B．
【分析】一个数不是负数，则该数为正数或0，表示即可判断A；至少表示大于或等于，因此列式表示即可判断B；非负数表示正数或0，列式表示即可判断C；不大于即小于或等于，列式表示即可判断D。
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，∴，A错误；，B正确；，C错误；，D错误。
故答案为：B．
【分析】不等式的性质，即不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号方向不变，据此可以判断AD选项；不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号方向不变，据此可以判断C选项；不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此可以判断B选项．
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵MFAD，FNDC，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°，
∵沿MN翻折得，
∴，
∴∠B＝180°-（∠BMN+∠BNM）＝180°-（50°+35°）=95°；
故答案为：D．
【分析】根据先依据“两直线平行，同位角相等”求出∠BMF＝100°、∠BNF＝70°，再根据翻折的性质求出∠BMN=50°、∠BNM=35°，最后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线是边的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故答案为：B．
【分析】本题根据线段的垂直平分线的性质，即“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，得到，然后根据三角形的周长公式列式展开并替换变形，得到的周长=AC+BC，最后代入计算即可．
5．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：是等腰直角三角形，D为的中点，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，①结论正确；
当时，最小，则的周长、面积有最小值，②④结论正确；
，
，
，
，
的面积为，
的面积为4，
四边形的面积为定值4，③结论错误；
正确的有①②④，共3个，
故选：B．
【分析】征得，得，可知①正确；当时，最小，则的周长、面积有最小值，故②④正确；由，得到，计算的面积即可判断③错误，从而得出答案．
6．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：，，
，
平分，，，
．
故答案为：C．
【分析】本题先根据“30°的锐角对应的直角边是斜边的一半”得出cm，然后根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”得出的长．
7．【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：①原三角形是锐角三角形，最大角是的情况：
如图，，，则最大角是；
②原三角形是直角三角形，最大角是的情况：
如图，，，
③原三角形是钝角三角形，最大角是的情况：
如图，，，，
④原三角形是钝角三角形，最大角是的情况：
如图，，，
⑤原三角形是钝角三角形，最大角是的情况：
如图，，，，
故原三角形最大内角的所有可能值的总和是：．
故答案为：A．
【分析】分五种情况，再分别画出图象并利用角的运算求解即可。
8．【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A．逆命题：到角两边距离相等的点在角平分线所在直线上，是真命题；
B．逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
C．逆命题：同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
D．逆命题：若，则是钝角三角形，是真命题，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】本题逐项根据原命题写出对应的逆命题，A选项的逆命题根据角平分线性质的逆定理即可进行判断；B选项根据相似三角形即可进行判断；C选项根据平行线的判定即可判断；D选项根据钝角三角形的判定即可进行判断；
然后对逆命题进行判断真假即可．
9．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵先以60米／分钟的速度步行了分钟，
∴步行的路程为60t米，
∵两地路程是500米，且后来以100米／分钟的速度小跑过去，
∴剩余距离为米，即小跑时间为分钟，
∴总时间为分钟，
∵在从教室出发，之前到达，即总时间小于8分钟，
根据题意列出的不等式为．
故答案为：A．
【分析】本题根据条件，先求出步行路程为60t米，此时即可求出剩余距离为米，并进一步确定小跑时间为分钟，从而确定总时间为分钟，最后根据出发时间和到达时间之前，得出总时间小于8分钟，从而列出不等式。
10．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵、为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，故②正确；
在和中，
，
∴，
∴，
而，
∴为等边三角形，故③正确；
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②③④，故D正确．
故答案为：D．
【分析】由等边三角形的性质得出，，，然后结合图形进行角度求和计算得出，此时利用即可证出，从而判断①；
结合①的全等三角形性质，得出，根据三角形外角的性质得出，从而判断②；
利用证明，从而得出，然后利用平角的定义计算出，此时即可得出为等边三角形，从而判断③；
根据是等边三角形得到，然后根据“内错角相等、两直线平行”得到，从而判断④．
11．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①当这个角是顶角时，则底角为：；
②当这个角是底角时，另一个底角为，因为，符合三角形内角和定理；
综上分析可知，这个等腰三角形的底角大小为或．
故答案为：或．
【分析】根据等腰三角形性质分类讨论，结合三角形内角和定理即可求出答案.
12．【答案】30
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是边的垂直平分线，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，即，
∴的周长，
故答案为：．
【分析】根据垂直平分线性质可得，再根据三角形周长即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：延长交于点，如图所示，
∵垂直于的平分线于点P，
∴，且，
∴，
∴，即点是的中点，
∴分别为的中线，
∴，
∵，，
∴．
故答案
【分析】做辅助线后，利用ASA先证明，从而得出点是的中点，即得到分别为的中线，而三角形中线平分三角形面积，即可列出三角形的面积关系，最后代入计算即可．
14．【答案】或1
【知识点】解一元一次不等式；解含分数系数的一元一次方程；已知一元一次方程的解求参数；分类讨论
【解析】【解答】解：
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
分子分母同时除以-1，得；
∵方程的解不大于1，
∴，
解得，
∵m是一个正整数，
∴的值为1或2，
当时，；
当时，；
故答案为：或1．
【分析】本题先按照解一元一次方程的步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后再变形得出，根据条件列出不等式，求出的取值，而m是一个正整数，最后分m=1或2两种情况代数求值即可．
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠B+∠C=124°，再根据四边形内角和定理即可求出答案.
16．【答案】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
解集表示在数轴上如图所示，
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；不等式的性质
【解析】【分析】根据解不等式的步骤以及不等式的性质，分别按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，最后再画数轴表示即可．
17．【答案】解：如图，即为所求，
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先画一条直线，在直线上找到任一点A，以A点为圆心、任意长为半径画弧，交直线于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间的一半长度为半径画弧，交一侧于一点，此时连接A点和该点并延长，此时利用圆规分别以A点为圆心，在两条射线上截取，，最后连接BC即可。
18．【答案】解：原式：
由3-5m<-7，解得m>2，
∵m为满足3-5m<-7|的最小整数，
∴m=3，
当m=3时，原式：
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】 首先展开平方项，处理立方项和除法运算，合并同类项得到最简式。接着解不等式确定m的取值范围，找到满足条件的最小整数m，最后代入化简后的式子计算结果。
19．【答案】（1）解：∵整式的值为，
∴
∴当时，．
（2）解：根据题意可得：，解得：，
∴的负整数值为，．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；在数轴上表示不等式的解集；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）将m=3代入代数式即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
20．【答案】（1）解：∵等腰直角三角形的内角为、、，
且，符合“2倍角三角形”的定义，
∴等腰直角三角形是“2倍角三角形”。
（2）解：设∠A=x，，则第三个内角∠C=，
∵是锐角三角形，
∴且且，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；不等式的性质；等腰三角形的概念；列不等式
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质分别列出三个内角，然后结合2倍角三角形的定义计算分析即可；
（2）先结合2倍角三角形的定义假设出∠A=x，，则第三个内角∠C=180°-3x，根据锐角三角形的性质列出不等式，求出2x的取值范围即可得出答案。
（1）解：∵等腰直角三角形的内角为、、，
∴，
∴符合“2倍角三角形”的定义，
∴等腰直角三角形是“2倍角三角形”；
（2）解：设（为另一个内角），则第三个内角为，
∵是锐角三角形，三个内角均小于，
∴且且，
∴且且，
∴，
∵，
∴．
21．【答案】（1），证明如下：
证明：如图，取点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：∵、，
∴，
由题意得，，，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
即，
解得；
当时，如图，
则，
∴，
即，
解得；
综上，当是直角三角形时，的值为或；
（3）6
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：如图，
以点为圆心，长为半径画圆，交坐标轴于点，，；
以点为圆心，长为半径画圆，交坐标轴于点，，；
作线段的垂直平分线交坐标轴于点，；
此时有8个点，
由（1）得是等边三角形，
∴点与、重合，即重复2个点，
∴符合条件的点共有8-2=个．
故答案为：6；
【分析】（1）做辅助线后，利用SAS证明，然后结合坐标以及对应线段的长度得出，从而得出是等边三角形，最后结合等边三角形的性质即可得出结论；
（2）结合坐标以及条件，分别表示出，，，然后分和两种情况，并利用“含角的直角三角形的性质”列出方程，分别求解即可；
（3）结合条件作图，首先得出共交坐标轴有8个点，结合（1）中的结论得出重合2个点，最后作差即可得出答案。
（1）解：，证明如下：
如图，取点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：∵、，
∴，
由题意得，，，
∴，
当时，∵，
∴，
∴，
即，
解得；
当时，如图，则，
∴，
即，
解得；
综上，当是直角三角形时，的值为或；
（3）解：如图，
以点为圆心，长为半径画圆，交坐标轴于点，，；
以点为圆心，长为半径画圆，交坐标轴于点，，；
作线段的垂直平分线交坐标轴于点，；
由（1）得是等边三角形，
∴点与、重合，
∴符合条件的点共有个．
22．【答案】（1）解：设，则，连接，如图
∵，沿翻折，使点落在斜边上点处，
∴，，，
∵，，
，
，
在中，，
，解得，
。
（2）证明：连接，如图1所示：
∵将沿直线翻折，使点落在点处，且，
∴，，
，
，，
是等边三角形，
=AG，
。
（3）3
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（3）解：作点，交于，交于，作与，交于，如图2所示：
由“将军饮马”模型，结合对称性可知最小值为线段长，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：3．
【分析】（1）根据翻折性质得出，，，然后利用勾股定理求出AB=10cm，并计算出AE=4cm，最后在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，求解即可；
（2）根据翻折性质先得到，，然后结合直角三角锐角互余计算出，，此时得出是等边三角形，利用等边三角形的性质综合得出=AG，最后结合图形从而得出结论；
（3）作辅助线后，结合对称性以及“将军饮马”模型可知最小，然后结合图中信息以及角平分线的定义等，利用ASA证明，从而得出，，此时结合等腰三角形三线合一得出，接着变形替换得到，然后利用“含30°角的直角三角形的性质”即可得出答案。
（1）解：设，则，连接，
由折叠可得，，，，
，，，
，
，
在中，由勾股定理得，
，解得，
；
（2）证明：连接，如图1所示：
由折叠知，，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
；
（3）解：作点，交于，交于，作与，交于，如图2所示：
由“将军饮马”模型，结合对称性可知最小值为线段长，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：3．
23．【答案】（1）证明：如图①，延长，使，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：数量关系：，理由如下：
如图②：在上截取，连接，
为等边三角形，
，
∵为等腰直角三角形，
∴，
，，
，
在和中，
，
，
．
是的平分线，
，
∴是等边三角形，
；
（3）解：如图③，在上截取，
∵，，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，；
∵，，
∴，即，
又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）延长，使，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）在上截取，连接，根据等边三角形性质可得，再根据等腰直角三角形性质可得，根据角之间的关系可得∠ABD，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线定义可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）在上截取，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得CE，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 1广东省揭阳市真理中学2025-2026学年八年级下学期第一次综合训练数学试题
1．下列表示的不等关系中，正确的是（　　）
A．不是负数，表示为
B．比3至少多1，表示为
C．与1的和是非负数，表示为
D．不大于3，表示为
【答案】B
【知识点】不等式的概念；列不等式
【解析】【解答】解：A，不是负数，则，错误；
B、比3至少多1，则，正确；
C、与1的和是非负数，则，错误；
D、不大于3，表示为，错误；
故答案为：B．
【分析】一个数不是负数，则该数为正数或0，表示即可判断A；至少表示大于或等于，因此列式表示即可判断B；非负数表示正数或0，列式表示即可判断C；不大于即小于或等于，列式表示即可判断D。
2．若（，为实数），则下列不等关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，∴，A错误；，B正确；，C错误；，D错误。
故答案为：B．
【分析】不等式的性质，即不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号方向不变，据此可以判断AD选项；不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号方向不变，据此可以判断C选项；不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此可以判断B选项．
3．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，∠A＝100°，∠C＝70°，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MFAD，FNDC，则∠B的度数为（　　）
A．80° B．85° C．90° D．95°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵MFAD，FNDC，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°，
∵沿MN翻折得，
∴，
∴∠B＝180°-（∠BMN+∠BNM）＝180°-（50°+35°）=95°；
故答案为：D．
【分析】根据先依据“两直线平行，同位角相等”求出∠BMF＝100°、∠BNF＝70°，再根据翻折的性质求出∠BMN=50°、∠BNM=35°，最后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
4．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、．若，，则的周长为（　　）
A．12 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线是边的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故答案为：B．
【分析】本题根据线段的垂直平分线的性质，即“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，得到，然后根据三角形的周长公式列式展开并替换变形，得到的周长=AC+BC，最后代入计算即可．
5．如图，在中，，，若点D为的中点，过点D作，分别交、于点M、N，连接，则下列结论中：①是等腰直角三角形；②的周长有最小值；③四边形的面积为定值8；④的面积有最小值．正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：是等腰直角三角形，D为的中点，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，①结论正确；
当时，最小，则的周长、面积有最小值，②④结论正确；
，
，
，
，
的面积为，
的面积为4，
四边形的面积为定值4，③结论错误；
正确的有①②④，共3个，
故选：B．
【分析】征得，得，可知①正确；当时，最小，则的周长、面积有最小值，故②④正确；由，得到，计算的面积即可判断③错误，从而得出答案．
6．如图，在中，，平分，于点．如果，，那么等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：，，
，
平分，，，
．
故答案为：C．
【分析】本题先根据“30°的锐角对应的直角边是斜边的一半”得出cm，然后根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”得出的长．
7．一个三角形可以被剖分为两个等腰三角形，已知原三角形的一个内角为36°，则原三角形最大内角的所有可能值的总和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：①原三角形是锐角三角形，最大角是的情况：
如图，，，则最大角是；
②原三角形是直角三角形，最大角是的情况：
如图，，，
③原三角形是钝角三角形，最大角是的情况：
如图，，，，
④原三角形是钝角三角形，最大角是的情况：
如图，，，
⑤原三角形是钝角三角形，最大角是的情况：
如图，，，，
故原三角形最大内角的所有可能值的总和是：．
故答案为：A．
【分析】分五种情况，再分别画出图象并利用角的运算求解即可。
8．下列命题中，其逆命题不成立的是（　　）
A．角平分线所在直线上的点到这个角的两边的距离相等
B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．若是钝角三角形，则
【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A．逆命题：到角两边距离相等的点在角平分线所在直线上，是真命题；
B．逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
C．逆命题：同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
D．逆命题：若，则是钝角三角形，是真命题，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】本题逐项根据原命题写出对应的逆命题，A选项的逆命题根据角平分线性质的逆定理即可进行判断；B选项根据相似三角形即可进行判断；C选项根据平行线的判定即可判断；D选项根据钝角三角形的判定即可进行判断；
然后对逆命题进行判断真假即可．
9．学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵先以60米／分钟的速度步行了分钟，
∴步行的路程为60t米，
∵两地路程是500米，且后来以100米／分钟的速度小跑过去，
∴剩余距离为米，即小跑时间为分钟，
∴总时间为分钟，
∵在从教室出发，之前到达，即总时间小于8分钟，
根据题意列出的不等式为．
故答案为：A．
【分析】本题根据条件，先求出步行路程为60t米，此时即可求出剩余距离为米，并进一步确定小跑时间为分钟，从而确定总时间为分钟，最后根据出发时间和到达时间之前，得出总时间小于8分钟，从而列出不等式。
10．如图，点A、B、C在一条直线上，和均为等边三角形，连接和，分别交、于点M、P，交于点Q，连接、．下列结论：①；②；③为等边三角形；④．则所有正确结论的序号是（　　）．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵、为等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，故②正确；
在和中，
，
∴，
∴，
而，
∴为等边三角形，故③正确；
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②③④，故D正确．
故答案为：D．
【分析】由等边三角形的性质得出，，，然后结合图形进行角度求和计算得出，此时利用即可证出，从而判断①；
结合①的全等三角形性质，得出，根据三角形外角的性质得出，从而判断②；
利用证明，从而得出，然后利用平角的定义计算出，此时即可得出为等边三角形，从而判断③；
根据是等边三角形得到，然后根据“内错角相等、两直线平行”得到，从而判断④．
11．等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角大小为　 　．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①当这个角是顶角时，则底角为：；
②当这个角是底角时，另一个底角为，因为，符合三角形内角和定理；
综上分析可知，这个等腰三角形的底角大小为或．
故答案为：或．
【分析】根据等腰三角形性质分类讨论，结合三角形内角和定理即可求出答案.
12．如图，在中，是边的垂直平分线，，的周长为，则的周长为　 　．
【答案】30
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是边的垂直平分线，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，即，
∴的周长，
故答案为：．
【分析】根据垂直平分线性质可得，再根据三角形周长即可求出答案.
13．如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：延长交于点，如图所示，
∵垂直于的平分线于点P，
∴，且，
∴，
∴，即点是的中点，
∴分别为的中线，
∴，
∵，，
∴．
故答案
【分析】做辅助线后，利用ASA先证明，从而得出点是的中点，即得到分别为的中线，而三角形中线平分三角形面积，即可列出三角形的面积关系，最后代入计算即可．
14．如果关于x的方程的解不大于1，且m是一个正整数，则x的值为　 　．
【答案】或1
【知识点】解一元一次不等式；解含分数系数的一元一次方程；已知一元一次方程的解求参数；分类讨论
【解析】【解答】解：
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
分子分母同时除以-1，得；
∵方程的解不大于1，
∴，
解得，
∵m是一个正整数，
∴的值为1或2，
当时，；
当时，；
故答案为：或1．
【分析】本题先按照解一元一次方程的步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后再变形得出，根据条件列出不等式，求出的取值，而m是一个正整数，最后分m=1或2两种情况代数求值即可．
15．如图，在中，，若剪去得到四边形，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠B+∠C=124°，再根据四边形内角和定理即可求出答案.
16．解不等式并把解集在数轴上表示出来：．
【答案】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
解集表示在数轴上如图所示，
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；不等式的性质
【解析】【分析】根据解不等式的步骤以及不等式的性质，分别按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，最后再画数轴表示即可．
17．已知线段m和n，请用尺规作图法求作Rt，使，，．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，即为所求，
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先画一条直线，在直线上找到任一点A，以A点为圆心、任意长为半径画弧，交直线于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间的一半长度为半径画弧，交一侧于一点，此时连接A点和该点并延长，此时利用圆规分别以A点为圆心，在两条射线上截取，，最后连接BC即可。
18．先化简，再求值： m，其中m为满足 3-5m<-7的最小整数.
【答案】解：原式：
由3-5m<-7，解得m>2，
∵m为满足3-5m<-7|的最小整数，
∴m=3，
当m=3时，原式：
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】 首先展开平方项，处理立方项和除法运算，合并同类项得到最简式。接着解不等式确定m的取值范围，找到满足条件的最小整数m，最后代入化简后的式子计算结果。
19．整式的值为．
（1）当时，求的值；
（2）若的取值范围如数轴所示，求的负整数值．
【答案】（1）解：∵整式的值为，
∴
∴当时，．
（2）解：根据题意可得：，解得：，
∴的负整数值为，．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；在数轴上表示不等式的解集；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）将m=3代入代数式即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
20．规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”．
（1）判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”．
（2）已知为“2倍角三角形”，且为锐角三角形，为“倍角”，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵等腰直角三角形的内角为、、，
且，符合“2倍角三角形”的定义，
∴等腰直角三角形是“2倍角三角形”。
（2）解：设∠A=x，，则第三个内角∠C=，
∵是锐角三角形，
∴且且，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；不等式的性质；等腰三角形的概念；列不等式
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质分别列出三个内角，然后结合2倍角三角形的定义计算分析即可；
（2）先结合2倍角三角形的定义假设出∠A=x，，则第三个内角∠C=180°-3x，根据锐角三角形的性质列出不等式，求出2x的取值范围即可得出答案。
（1）解：∵等腰直角三角形的内角为、、，
∴，
∴符合“2倍角三角形”的定义，
∴等腰直角三角形是“2倍角三角形”；
（2）解：设（为另一个内角），则第三个内角为，
∵是锐角三角形，三个内角均小于，
∴且且，
∴且且，
∴，
∵，
∴．
21．如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且．
（1）猜想度数，并写出证明过程．
（2）如图，点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒个单位长度，同时点在边上从点向点运动，速度为每秒个单位长度（当一点停止运动时，另一点也随之停止），运动时间为秒，在运动过程中：是直角三角形，求的值；
（3）点为坐标轴上一点，当是等腰三角形时，请直接写出这样的点有　 　个．
【答案】（1），证明如下：
证明：如图，取点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：∵、，
∴，
由题意得，，，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
即，
解得；
当时，如图，
则，
∴，
即，
解得；
综上，当是直角三角形时，的值为或；
（3）6
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：如图，
以点为圆心，长为半径画圆，交坐标轴于点，，；
以点为圆心，长为半径画圆，交坐标轴于点，，；
作线段的垂直平分线交坐标轴于点，；
此时有8个点，
由（1）得是等边三角形，
∴点与、重合，即重复2个点，
∴符合条件的点共有8-2=个．
故答案为：6；
【分析】（1）做辅助线后，利用SAS证明，然后结合坐标以及对应线段的长度得出，从而得出是等边三角形，最后结合等边三角形的性质即可得出结论；
（2）结合坐标以及条件，分别表示出，，，然后分和两种情况，并利用“含角的直角三角形的性质”列出方程，分别求解即可；
（3）结合条件作图，首先得出共交坐标轴有8个点，结合（1）中的结论得出重合2个点，最后作差即可得出答案。
（1）解：，证明如下：
如图，取点，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：∵、，
∴，
由题意得，，，
∴，
当时，∵，
∴，
∴，
即，
解得；
当时，如图，则，
∴，
即，
解得；
综上，当是直角三角形时，的值为或；
（3）解：如图，
以点为圆心，长为半径画圆，交坐标轴于点，，；
以点为圆心，长为半径画圆，交坐标轴于点，，；
作线段的垂直平分线交坐标轴于点，；
由（1）得是等边三角形，
∴点与、重合，
∴符合条件的点共有个．
22．如图，在中，．
（1）如图①，现将沿翻折，使点落在斜边上点处，若，，求的长；
（2）如图②，现将沿直线翻折，使点落在点处，若，求证：；
（3）如图③，作平分，动点在上运动，动点在上运动，若，，则的最小值为________．
【答案】（1）解：设，则，连接，如图
∵，沿翻折，使点落在斜边上点处，
∴，，，
∵，，
，
，
在中，，
，解得，
。
（2）证明：连接，如图1所示：
∵将沿直线翻折，使点落在点处，且，
∴，，
，
，，
是等边三角形，
=AG，
。
（3）3
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（3）解：作点，交于，交于，作与，交于，如图2所示：
由“将军饮马”模型，结合对称性可知最小值为线段长，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：3．
【分析】（1）根据翻折性质得出，，，然后利用勾股定理求出AB=10cm，并计算出AE=4cm，最后在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，求解即可；
（2）根据翻折性质先得到，，然后结合直角三角锐角互余计算出，，此时得出是等边三角形，利用等边三角形的性质综合得出=AG，最后结合图形从而得出结论；
（3）作辅助线后，结合对称性以及“将军饮马”模型可知最小，然后结合图中信息以及角平分线的定义等，利用ASA证明，从而得出，，此时结合等腰三角形三线合一得出，接着变形替换得到，然后利用“含30°角的直角三角形的性质”即可得出答案。
（1）解：设，则，连接，
由折叠可得，，，，
，，，
，
，
在中，由勾股定理得，
，解得，
；
（2）证明：连接，如图1所示：
由折叠知，，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
；
（3）解：作点，交于，交于，作与，交于，如图2所示：
由“将军饮马”模型，结合对称性可知最小值为线段长，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：3．
23．【材料阅读】
截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种：
①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长；
②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长．
【问题呈现】
（1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：．
【问题启发】
李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程；
【迁移应用】
（2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积．
【答案】（1）证明：如图①，延长，使，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：数量关系：，理由如下：
如图②：在上截取，连接，
为等边三角形，
，
∵为等腰直角三角形，
∴，
，，
，
在和中，
，
，
．
是的平分线，
，
∴是等边三角形，
；
（3）解：如图③，在上截取，
∵，，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，；
∵，，
∴，即，
又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）延长，使，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）在上截取，连接，根据等边三角形性质可得，再根据等腰直角三角形性质可得，根据角之间的关系可得∠ABD，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线定义可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）在上截取，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得CE，再根据三角形面积即可求出答案.
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