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2026年陕西西安市长安区九年级中考第一次模拟数学试题
一、单选题
1．计算：（ ）
A．1 B． C．9 D．
2．在2026年央视春晚武术节目《武·BOT》中，26台人形机器人实现全自主运行，其集群控制同步误差低于秒，关节扭矩可达360牛·米，相关表演片段在海外平台的播放量超5800万次．将5800万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
6．一次函数的图象经过点P，且y随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，、为正方形内两点，且，连接，若，，，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
8．如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．9
二、填空题
9．分解因式：______．
10．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是_____．
11．小川今年6岁，他的祖父72岁，若再过x年后小川的年龄是他祖父年龄的，则x的值为______．
12．如图，是的外接圆，且为直径，为中点，连接，若，则______．
13．如图，在平面直角坐标系中，、为反比例函数图象上两点，轴于点H，轴于点G，连接交于点C，连接，若的面积为，则______．
14．如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______．
三、解答题
15．计算：．
16．解不等式组：．
17．解方程：．
18．如图，在中，请分别在边、、上寻找点E、D、F，使得四边形为菱形（不写作法，保留作图痕迹）．
19．如图，在等边中，D、E分别为、延长线上一点，且满足，连接、，求证：．
20．根据2026年3月最新公开资料，教育部部长怀进鹏对学生健康的要求集中体现为“健康第一”的教育理念，并通过“健康教育专项工程”具体落实，确保每天综合体育活动2小时．老师课间调查发现篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动深受学生们的喜爱，于是他决定每天将班里的同学随机分成：A．篮球、B．羽毛球、C．乒乓球、D．跳绳四组，以确保学生全员、有序的参加课间体育活动，让学生身上有汗，眼里有光．
(1)明天王明同学恰好被分到球类运动项目的概率是______；
(2)王明和李虎是好朋友，请利用列表或画树状图的方法，计算出他俩明天被分到同一组的概率．
21．实践课上，老师组织学生测量学校主教学楼上校徽的高度，学生王雯由距离主教学楼米的大树的底部C处向后移动，当移动到达点D时，她恰好略过大树的顶端E看到校徽的顶端P，接着她继续向后移动到达点B处时，她又恰好略过大树的顶端E看到校徽的底部点Q，并测得（A、B、C、D在一条水平线上），请你利用文中数据帮助王雯计算校徽的高度（参考数据：，，）．
22．某地实行峰谷分时电价政策，具体电价如下表所示：
时段 电价（元/千瓦时）
谷段（晚上~次日）
峰段（白天~）
某小型加工厂白天总用电量为千瓦时/天，为了降低用电费用，安装了某种蓄电池，将谷段时的低价电量储存起来，白天峰段时先使用储存电量，用完后，不足部分使用峰段时间的电量．每月按天计算，设每晚谷段储电千瓦时（），每月总电费为元．
(1)写出与之间的函数解析式；
(2)若该加工厂每晚储电千瓦时，求每月总电费．
23．年月日“中国航天日”的主题是“海上生明月，九天揽星河”，这是自年以来的第十个“中国航天日”．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．下面给出部分信息：
a：C组的数据为：，，，，，，，，，，，
b：绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是______；随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是______分；
(3)该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校名学生中获得一等奖的学生人数．
24．如图，在中，，以为直径的交于点D，作交于点E，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
25．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，经过实验发现仿青蛙机器人起跳后的运动路线可以看作抛物线，且路线的最高点距离地面，落地点距离起跳点．以仿青蛙机器人起跳点为原点O，以起跳点和落地点所在直线为x轴建立平面直角坐标系，完成下面问题：
(1)写出仿青蛙机器人运动路线的函数表达式；
(2)如图所示，仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．在起跳点O和落地点之间的水平地面上，距离起跳点（）竖直放置一个高度为的挡板（）．请通过计算判断仿青蛙机器人能否安全通过？如果不能，实验员计划将起跳点向前移动一段距离，以便使仿青蛙机器人由新的起跳点起跳后能刚好安全通过挡板，请帮助实验员计算最少应向前移动多少距离（平移后抛物线的形状不变）．
26．解答下列问题：
(1)如图①，为等腰直角三角形，且，，点D为边上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接，若，则的面积为______；
(2)如图②，某公园有一四边形空地，已知，，；过B作交于点E，，计划在区域建一儿童游乐区；点P在上，，点M、N分别为、上的动点，且满足，计划在四边形区域种植某种花卉，已知种植这种花卉每平方米需要120元，求种植这种花卉费用最多为多少元？
参考答案
1．B
【详解】解：，
故选：B．
2．B
【详解】解：将5800万用科学记数法表示为．
3．D
【详解】解：A、，故等式不成立，不符合题意；
B、，故等式不成立，不符合题意；
C、，故等式不成立，不符合题意；
D、，故等式成立，符合题意．
4．C
【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．B
【详解】解：过点作交于点，
平分交于D，
，，，
，
．
6．C
【详解】解：∵一次函数中，随值的增大而增大，
∴，
A、将代入，得，解得，不符合题意；
B、将代入，得，解得，不符合题意；
C、将代入，得，解得，符合题意；
D、将代入，得，解得，不符合题意.
7．B
【详解】解：如图，延长交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理：，
在中，由勾股定理：，
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
，，
在中， ．
8．A
【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，
∵抛物线与抛物线相交于点，
∴由抛物线的对称性可知，，
即，
∴，
∵点B是的中点，
∴，即：，
将，代入，，得
，
则，
∴，
∴，
∴．
9．
【详解】解：
．
10．
【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
则第个图案中有个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是个，
故答案为：．
11．16
【详解】解：根据题意，得，
解得．
12．
【详解】解：如图，连接，，
，
，
，
为中点，
，
．
13．6
【详解】解：∵、为反比例函数图象上两点，
∴，即，
∴，
设所在直线的解析式为，
当时，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴．
14．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵为线段上的动点，
如图，过点作的平行线，
过点作关于线段的对称点，
由对称性得，
∴，当且仅当点、、依次共线时，取得最小值，
此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，
∵菱形中，，，
∴，
∴，
由题可得，
∴由对称性可得，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
即的最小值为．
15．
【详解】解：
16．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
17．
【详解】解：
原方程可化为，
去分母得，，
整理得，，
解得，，
经检验：是原分式方程的根．
18．见解析
【详解】解：①作的平分线，交于点D；
②作的垂直平分线，分别交、于点、；
③连接，，
则四边形即为所求作．
证明：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
19．见解析
【详解】证明：在等边中，
，，
，
在和中，
，
，
．
20．(1)
(2)
【详解】（1）解：因为篮球、乒乓球、羽毛球、跳绳四项体育活动中，球类运动项目有3项，所以王明同学恰好被分到球类运动项目的概率是 ；
（2）解：分别用表示四个运动项目，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
答：有16种等可能的结果，两人分在同一组有4种结果，两人分在同一组的概率为．
21．校徽的高度为
【详解】解：过点F作于点D，如图
，
由题知：，
，
又，
，
，
．
答：校徽的高度为．
22．(1)
(2)每月总电费为元
【详解】（1）解：根据题意，每天消耗的谷段的电量为千瓦时，则消耗的峰段的电量为千瓦时，
∴每天的电费为（元），
∴每月总电费；
（2）解：当时，（元）．
答：每月总电费为元．
23．(1)图见解析
(2)；分
(3)该校名学生中获得一等奖的学生人数约为48人
【详解】（1）解：该次抽样调查抽取总人数为（人），
B组人数为：（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）解：A组所在扇形的圆心角度数为；
该组中位数取其排序后的第位和位的平均数，该两数在C组，
所以，中位数为（分）；
故答案为：；分；
（3）解：该校名学生中获得一等奖的学生人数为，
（人），
答：该校名学生中获得一等奖的学生人数约为48人．
24．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
， ，
，
又，，
，
，
∵是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
为的直径，
，
，
，，
∴，
，
，
，，
，
，
，
．
25．(1)
(2)最少向前移动
【详解】（1）解：由题知抛物线的顶点坐标为，
所以令抛物线表达式为：，
将点代入得：，
解得：，
；
（2）解：当时，，
，
，
不能跃过．
设最少向前平移，
则平移后新的抛物线表达式为：，
将点代入得：，
解得：，，
答：最少向前平移．
26．(1)
(2)费用最多为48000元
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵旋转，
∴，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得或，
∴当时，则，
；
当时，则，
；
综上：；
（2）解：连接，过点作于点，
∵，，
∴，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
延长至点，使，则，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴
，
，
∴当最小时，四边形的面积最大，此时花费的费用最多，
作的外接圆，连接，作，设的半径为，
则，，，
∴，，
∵，
∴当最小时，最小，
∵，
∴，
∴，
∴当时，最小为，
∴四边形的最大面积为，
∴（元）；
答：种植这种花卉费用最多为48000元．

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