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2025-2026学年度第二学期第二次评估数学试卷（九年级）答案与解析
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1.答案：A
解析：负数的绝对值是它的相反数，。
2.答案：C
解析：
A：
B：与不是同类项，不能合并
C：，正确
D：
3.答案：D
解析：过点作，由得，，，。
4.答案：C
解析：万。
5.答案：B
解析：连续两次降价，公式：原价下降率现价，即。
6.答案：B
解析：底面周长；侧面积；圆锥高。
7.答案：D
解析：圆内接四边形对角互补，；为直径，，，同弧所对圆周角相等，。
8.答案：B
解析：一元二次方程要求；判别式，综上且。
9.答案：C
解析：2021-2024 年粮食产量增长率均为正，产量持续增加。
10.答案：A
解析：由图像与中点性质，，，，面积图像转折点对应。
二、填空题（每题 3 分，共 18 分）
11.答案：
解析：先提公因式，再用平方差公式。
12.答案：且
解析：二次根式被开方数非负，分母不为 0。
13.答案：
解析：由韦达定理，；
（修正：正确计算为）。
14.答案：或
解析：结合图像，反比例函数在正比例函数下方的区间。
15.答案：
解析：抛物线顶点横坐标。
16.答案：
解析：每次旋转，6 次一循环；边长扩大为；2025 次旋转后在轴负半轴，坐标。
三、解答题（共 32 分）
17.计算：
解：原式。
18.解不等式组
解：分别解两个不等式，取交集，数轴表示解集，整数解为对应整数。
19.化简求值
解：
原式
代入，得。
20.尺规作图
按步骤作垂直平分线、截取线段、确定圆心、画弧，保留痕迹即可。
21.概率题
(1) ；
(2) 放回试验共 16 种等可能结果，一致的有 4 种，。
22.解直角三角形
解：过作，；
，；
；
米。
四、解答题（共 40 分）
23.统计题
(1) ，；
(2) A 型号，方差更小更稳定；
(3) 建议选 A 型号，分拣量更稳定。
24.一次函数与反比例函数
(1) ，代入得，解析式；
(2) 平移后，，，由面积得。
25.圆的切线综合
(1) 切线性质，为中点，，圆周角与圆心角关系可证；
(2) 由，，得，，相似三角形得。
26.正方形与等腰直角三角形
(1) ，证；
(2) ，证三角形全等；
(3) ，由全等推导。
27.抛物线综合
(1) 代入得，解析式；
(2) 求点坐标，用底乘高算面积；
(3) ①旋转得坐标，代入验证；②用轨迹与垂线段最短求最小值。
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|（注：文档部分内容可能由 AI 生成）2025-2026 学年度第二学期第二次评估数学试卷
九年级 数学
一、选择题（本题共 10 个小题，每题 3 分，共 30 分）
1.的绝对值是（）
A.
B.
C.
D.
2.下列运算正确的是（）
A.
B.
C.
D.
3.2026 年米兰冬季奥林匹克运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（）
A.
B.
C.
D.
4.2025 年 10 月，我国紧凑型聚变能实验装置（BEST）建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段。该项目总投资约 248300 万元，将数据 248300 万用科学记数法表示为（）
A.
B.
C.
D.
5.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动。某款燃油汽车今年 1 月份售价为 23 万元，3 月份售价为 16 万元。设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（）
A.
B.
C.
D.
6.如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（）
A.
B.
C.
D.
7.如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（）
A.
B.
C.
D.
8.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）
A.
B. ，且
C. ，且
D.
9.习近平总书记强调：“保障粮食和重要农产品稳定安全供给始终是建设农业强国的头等大事。”2025 年我国将坚持提高单产和品质并举，把大面积单产提升作为粮食生产的关键举措，如图是我国粮食数据的相关统计图，下列结论正确的是（）
A. 2020-2024 年我国粮食产量先减少后增加
B. 2021-2024 年我国粮食产量增长率率先减少
C. 2021-2024 年我国粮食产量相比前一年一直在增加
D. 相比 2023 年，2024 年我国粮食产量呈现负增长趋势
10.如图 1，在中，，，分别是，的中点，连接，，点从点出发，沿的方向匀速运动到点，点运动的路程为，图 2 是点运动时，的面积随变化的图象，则的值为（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11.分解因式：_____．
12.函数中，自变量的取值范围是_____．
13.若，是方程的两根，则的值为_____．
14.如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是_____．
15.甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地。如图 1 所示的投石机是古代战争中的攻城首选。已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图 2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度和水平距离具有函数关系。当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是_____．
16.在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为。把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的 2 倍，得到，第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的 2 倍，得到，… 依此类推，得到，则点的坐标为_____．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 32 分）
17.（4 分）计算：
18.（4 分）解不等式组
把解集在数轴上表示出来，并写出其所有整数解。
19.（4 分）先化简，再求值：，其中．
20.（6 分）如图 1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称 “月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一。如图 2 是古人根据《营造法式》中的 “五举法” 作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高。现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。如图 3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为。作法如下：
①作线段的垂直平分线，垂足为；②在射线上截取；③连接，作线段的垂直平分线交于点；④以点为圆心，的长为半径作。则就是所要作的圆弧。
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图 3 中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）。
21.（6 分）热点信息 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动。人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成 A，B，C，D 四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上。
（1）随机抽取一张，求抽到 A. 决策类人工智能卡片的概率；
（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率。
22.（8 分）某电力部门在某地安装了一批风力发电机，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，形成了如下实践报告：
【测量对象】风力发电机的塔杆高度.
【测量工具】测角仪、激光测距仪等.
【测量活动】利用激光测距仪测得斜坡长为 20 米，坡底与塔杆底的距离米；利用测角仪测得斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为（图中各点均在同一竖直平面内，）
【问题解决】请根据以上测量数据，求该风力发电机塔杆的高度.
（结果精确到个位：参考数据：，，，）
四、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
23.（7 分）今年央视春晚节目《武 BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界。科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取 A、B 两种型号的智能机器人各 10 台，统计它们每天可分拣的快递数量。
【数据收集与整理】
A 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
（数据：13 万件：1 台；14 万件：3 台；15 万件：2 台；16 万件：3 台；17 万件：1 台）
B 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
众数 中位数 / 万件 平均数 / 万件 方差
A 型号 14 和 16 15 1.4
B 型号 20 20 4.2
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中，．
（2）\\\\__型号的机器人每天分拣的快递数量更稳定？（填 A 型号或 B 型号）
（3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合 “数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议。
24.（7 分）如图，一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点。将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交轴于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当的面积为 3 时，求的值．
25.（8 分）如图，过点作的两条切线，切点分别为，，连接，，，取的中点，连接并延长，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）延长交的延长线于点。若，，求的长．
26.（8 分）四边形是正方形，点是边上一动点（点除外），是直角三角形，，点在的延长线上。
（1）如图 1，当点与点重合，且点在边上时，写出和的数量关系，并说明理由；
（2）如图 2，当点与点不重合，且点在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点，如果，写出和的数量关系，并说明理由；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由．
27.（10 分）如图 1，抛物线分别与轴，轴交于，两点，为的中点。
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，过点作的垂线，交于点，交抛物线于点，连接。求的面积；
（3）点为线段上一动点（点除外），将线段绕点顺时针旋转得到．
①当时，请在图 2 中画出线段后，求点的坐标，并判断点是否在抛物线上，说明理由；
②如图 3，点是第四象限的一动点，，连接，当点在运动时，求的最小值．

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