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绝密★启用前
2026年初中学业水平检测数学模拟试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在数轴上，表示下列四个数的点在和之间的是( )
A. B. C. D.
2.如图是一个电风扇的旋钮开关，其俯视图为( )
A. B.
C. D.
3.随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持目前，该芯片工艺已达纳米即米则数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.我国已经启动第二阶段技术试验，人工智能逐渐融入人类生活下列设计的人工智能图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中顶点和分别落在直线和上若，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.某景区单独购票为每人元，团体购票为每人元某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用元，则该旅游团人数为( )
A. B. C. D.
8.已知关于的方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. ，且 B. ，且
C. D.
9.如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点若，，为上一动点，则取最小值时的长是( )
A. B. C. D.
10.已知二次函数为常数，当时，有最大值，最小值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式： ．
12.遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从口驶出的概率是 ．
13.圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径为，扇形面积为，则圆锥的底面半径为 ．
14.若关于的分式方程的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则满足条件的的值为 ．
15.如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
按要求完成下列计算：
计算：；
先化简，再求值：，其中．
17.本小题分
某校为了解学生体育锻炼情况，从甲、乙两班各随机抽取名学生进行问卷调查及体育质量检测名学生的体育测试成绩以及每周课外锻炼时间的统计数据如下表所示：
名学生测试成绩数据分析表
统计量班级 成绩平均数 成绩方差 成绩中位数 成绩众数
甲班
乙班
名学生体育测试成绩与每周课外锻炼时间统计表
甲班名学生成绩分
甲班学生锻炼时间小时
乙班名学生成绩分
乙班学生锻炼时间小时
请根据以上调查报告，解答下列问题：
______，______；
甲班有名学生，估计甲班学生每周课外锻炼时间大于不包括小时的人数；
结合统计量分析每周课外锻炼时间与学生成绩之间的相关程度．
18.本小题分
随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷已知购买个型号的帐篷和个型号的帐篷共需元；购买个型号的帐篷和个型号的帐篷共需元．
求，两种型号的帐篷的单价；
据统计，该景区需购买，两种型号的帐篷共个，且型号的帐篷数量不少于型号的帐篷数量的请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用．
19.本小题分
如图，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图，点，，在一条直线上，，其中，，．
求的长；
如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长参考数据：，，，结果保留整数
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于，两点点在点右侧，已知点的坐标是，点的纵坐标是．
求反比例函数和直线的表达式；
将直线：沿轴向上平移后得直线，，与轴分别交于，两点，与反比例函数在第一象限内交于点，如果的面积为，求平移后的直线的函数表达式．
21.本小题分
如图，是的切线，点为切点，点为上一点，射线，交于点，连接，点在上，过点作，交于点，作，垂足为点，．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
22.本小题分
【真实情境】
为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学建模的综合实训场地、大棚横截面采用“抛物线拱形矩形基座”的组合结构，既符合力学承重原理，又能最大化利用空间、提升采光效率为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直线为轴，大棚横截面中的“抛物线拱形”的对称轴为轴，建立平面直角坐标系开展数学建模经实地测量：矩形基座和高度为米，底部地面跨度为米；“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为米．
结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形”对应的函数解析式，并注明自变量的取值范围．
【问题解决】
为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架如图，矩形脚手架结构为：，均垂直于地面，平行于地面，且、两点落在抛物线上，，两点落在上其中三根支架，，的长度之和称为脚手架总长度求出脚手架总长度的最大值；
在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图中所示梯形的样式，且米，米，米从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点、同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建求此时抛物线应下降的高度是多少米？
23.本小题分
在中，，，点为边上一个动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接．
如图，，线段的长度恰好为线段的倍，与交于点，若，求的长度；
如图，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：；
如图，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
11.
12.
13.
14.
15.
16. 解：原式
；
原式
，
当时，
原式．
17. 解：根据甲、乙两班的时间统计表，可判断出，．
故答案为：，；
甲班有名学生，估计甲班学生每周课外锻炼时间大于不包括小时的人数为：
名．
甲、乙两班成绩平均数均为，但乙班方差远小于甲班，说明乙班成绩更稳定；
乙班学生锻炼时间更集中在小时，高时长小时人数更多；甲班锻炼时间集中在小时，低时长人数更多；
乙班中位数、众数均高于甲班中位数、众数，说明锻炼时间更充足的乙班，成绩整体水平更高；
综上，锻炼时间越充足，成绩的整体水平越高、稳定性越强；锻炼时间不足的班级，成绩波动大、整体水平偏低．
18. 解：设、两种型号的帐篷的单价分别为，元，
根据题意列二元一次方程组得，
解得：，
答：、两种型号的帐篷的单价分别为元，元；
设购买型号的帐篷个，则型号的帐篷个，
根据题意列一元一次不等式得：，
整理得，，
解得，
设购买、两种型号的帐篷的总价为元，
则，
，
随的增大而增大，
当时，最小，此时，
，
答：购买型号的帐篷个，型号的帐篷个时，购买成本最少，该方案所需费用元．
19. 解：过点作，垂足为，交于点，
在中，
，
，
，
，
，
又，得平行四边形，
，，
，
在中，
，
，
；
如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，
延长、交于点，
，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
答：出水管的长为．
20. 解：在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于，两点点在点右侧，已知点的坐标是，点的纵坐标是．
，即，
反比例函数的表达式为，
在中，当时，，
．
，
解得：，
直线的表达式为；
如图，连接，，
在中，当，，
，
由平移的性质可得，
的面积与的面积相等，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
设平移后的直线的函数表达式为，
把代入，得，
解得：，
平移后的直线的函数表达式为．
21. 证明：连接，
，，
，
在和中，
≌，
，
，
，
是的切线，点为切点，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
解：，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
即的半径为．
22. 解：“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为米．
如图，即顶点坐标为，
矩形基座底部地面跨度为米，和高度为米，
，，
即，，
依题意，设“抛物线拱形”对应的函数解析式为，
把代入，得，
解得，
，
，均垂直于地面，平行于地面，
，，
则，
四边形是矩形，
，，
由得，
设，
依题意，，
设三根支架，，的长度之和为，
即，
当时，有最大值，
把代入，得，
即脚手架总长度的最大值为米；
设抛物线下降高度为米，
新抛物线解析式为，
设，
米，
得，
米，米，
，，
将，，代入新抛物线，
得：，
消去展开整理得：，
解得，
将代入得：，
答：抛物线应下降的高度为米．
23. 解：在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
线段的长度恰好为线段的倍，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
将绕着点逆时针方向旋转得到，
，，
；
证明：如图，过点作交于点，
，，
，，
，
，，
，，
，
将绕着点逆时针方向旋转得到，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：理由如下：
如图，在上截取，连接，
平分，
，
又，
≌，
，
，
当点，点，点三点共线，且时，有最小值，如图：
，，
，
由折叠的性质得，，
，
，
，
，
，
，
又，
点，点，点三点共线，
由折叠的性质得，，
，
，，
，
，
，
，
．

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