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高一数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教 A 版必修第一册第五章第 5-7 节，必修第二册第六-七章。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.计算 的结果等于（ ）
A. B. C. D.
2.复数 的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
3.已知 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， ，则 （
）
A.30° B.45° C.150° D.30°或 150°
4.在四边形 中，若 ，且 ，则该四边形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形
5.如图，平行四边形 的两条对角线相交于点 ， ， ，是 上靠近点 的三等分点，
则 （ ）
A. B. C. D.
6.已知 的外接圆圆心为 ，且 ， ，则向量 在向量 上的投影向
量为（ ）
A. B. C. D.
7.已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.如图，在 中， ， ， ， ， 边上的两条中线 ， 相交
于点 ，则 的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.已知复数 满足 ，则（ ）
A. 的虚部为 B. 为纯虚数
C. D. 和 是方程 的两个根
10.在 中，下列说法正确的是（ ）
A.若 ，则 为钝角三角形
B.若 是 的重心，则
C.设 为 所在平面内一点，且满足 ，则 的面积与 的面积的
比值为 5
D.若点 在 所在平面内， ，且 ，则 的面积是 面积
的
11.已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 是该函数的一个单调递增区间
B.函数 的图象向右平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称
C.若 ，则 的最小值为
D.若 ，函数 在 上有且仅有三个零点，则 的取值范围是
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. ________.
13.已知 是边长为 1 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是________
14.一条东西方向的河流两岸平行，河宽 250m，河水的速度为向东 .一艘小货船准备从河的这一
边的码头 处出发，航行到位于河对岸 （ 与河的方向垂直）的正西方向并且与 相距 的码
头 处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为 ，则当小货船的航程最短时，此
时小货船航行速度的大小为________km/h.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分 13 分）
当实数 取什么值时，复平面内表示复数 的点分别满足下列条件
（1）在虚轴上；
（2）位于第四象限.
16.（本小题满分 15 分）
已知非零向量 ， 满足 ，且 ， .
（1）求 的值；
（2）证明： ；
（3）设 与 的夹角为 ，求 及 的值.
17.（本小题满分 15 分）
已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 图象上每个点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 4 个单
位长度，得到函数 的图象，若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
18.（本小题满分 17 分）
已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 ， ；
（3）已知 的面积为 ，设 为 的中点，且. ， 的平分线交 于 ，求
线段 的长度.
19.（本小题满分 17 分）
在平面直角坐标系中，我们可以用有序实数对表示向量，类似的，我们也可以把有序复数对
视为一个向量，记作 ，称 为复向量.对于复向量 ，
（ 、 、 、 、 ），类比平面向量的运算法则我们有如下复向量的运算法则：①
；② ；③ ；④ .
（1）平面向量满足运算律 ，判断复向量是否满足该运算律，并说明理由；
（2）已知 为虚数单位，设复向量 ， ，求 和 ；
（3）若复向量 与 满足 ，则称复向量 与 平行，据此判断复向量 与
， 能否平行，若能，求出实数 的值；若不能，请说明理由.
高一数学参考答案、提示及评分细则
1.A .故选 A.
2.B ，所以共轭复数为 .故选 B.
3.A 因为 ， ， ，所以由正弦定理可得 ，所以
或 .因为 ，所以 ，所以 .故选 A.
4.C 由 ，此时四边形 为平行四边形，因为 ，所以 ，
即对角线长相等，故四边形 为矩形.故选 C.
5.D .故选 D.
6.C 因为 ，所以 是 的中点，则 是圆 的直径， ，又
，所以 是等边三角形， ， .设 ，则 ，作 于 ，
则 ，所以 ， 即为向量 在向量 上的投影向量， .
故选 C.
7.B ， ， ，
，解得 或 ，又 ，则
， ， .故选 B.
8.B 以 为原点，建立平面直角坐标系如图：
依题意可知： ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
， ， .
故选 B.
9.ACD 由题可得： ，故 ，所
以 ，故 正确，B 错误； ，故 C 正确；因为 ，
，所以 ， ，故 D 正确.故选 ACD.
10.BCD 对 A，由 可知 的外角为钝角，所以 为锐角，故不能判断三角形为钝角
三角形，故 A 错误；对 B，由 是 的重心，可知 ，故 B
正确；对 C，延长 到 ，使 ，延长 到 ，使 ，连接 ， ， ，因为
，所以 ，所以 为 的重心，所以设
，则 ， ，所以
，所以 ，故 C 正确；如图，对于 D，设 为 中点，
，所以 ，即 ，由 ，所以
，所以 ， ， 三点共线，所以 ，故 D 正确.故选 BCD.
11.AD .A 选项， ，
，因为 在 上单调递增，所以 是该函数的一个单调递增区间，故 A 正确；B
选项，函数 的图象向右平移 个单位长度后的函数解析式为 ，其
对称轴满足 ， ，不包含 轴，故 B 错误；C 选项，若 ，
要使 最小，可取 ， 为 相邻的两个最值点，此时 为 最小正周期的一半，即 ，
故 C 错误；D 选项，设 ，则 ， ，
因为函数 在 上有且仅有三个零点，所以 ，故 D 正确.故选
AD.
12. .
13. 以线段 的中点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则
， ， ，设点 ，则 ， ，
，所以 ，则
，当且仅当 ，
时， 取最小值 .
14. 如图： ， ，
，设合速度为 ，小货船航行速度为 ，水流的速
度为 ，则有 ，所以有
，所以此
时小货船航行的速度为 .
15.解：（1）因为复数 在复平面内对应点在虚轴上，
则有 ，解得 或 ，
所以 或 时，复平面内表示复数 的点在虚轴上.
（2）复平面内，复数 对应的点为 ，
依题意，
即 解得 或 ，
所以当 或 时，复数 对应的点位于第四象限.
16.（1）解：因为 ，
所以 ，故 .
又 ，所以 .
（2）证明：因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（3）解：因为 ，
所以 .
因为 ，又 ， ， ，
所以 .
17.解：（1） 的周期为 ，所以 ，
又因为函数 的图象过点 ，则有 ，
且函数 在 附近单调递减，所以 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以 .
（2）将函数 图象上每个点的横坐标变为原来的 2 倍，
得函数 的图象，
再将 的图象向右平移 4 个单位长度，
得 ，
不等式 对任意的 恒成立，即 .
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 取最大值，最大值为 2，即 .
综上可得，实数 的取值范围是 .
18.解：（1）由题意知 中， ，由正弦定理边角关系得：
，
， ， ， ，
， ，
又 ， ，所以 ，即 .
（2）由 ， ，得 .
由余弦定理得 ，
则 ，所以 ，
解得 .
（3）在 中， 为中线， ，
， .
， ， ，
，
， ，
.
19.解：（1） .
理由如下：因为复向量 ， ，所以 ， ，
所以 .
（2）因为 ， ，
所以 ，
，
.
（3）不存在实数 使得 与 平行，
理由如下：因为 ，
整理得 ，所以 ，
因为 ，
，所以 ，
若复向量 与 ， 平行，
则可得 ，两边平方 ，
所以 ，整理得 ，
因为 ，
所以方程无实数解，所以不存在实数 使得 与 平行.

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