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2025年全国科学创新实践活动（原华数杯）三级组（初中七、八、九年级）数学竞赛试题
一、填空题（共十题，每题10分，共100分）
1． 化简：　 　
2．A、B、C三人各有豆若干粒，进行如下相互赠送：先由A给B、C，所给的豆粒等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有的豆数，互送后每人恰好各有64粒，则A、B、C三人原来分别各有　 　粒豆.
3． 函数 ，当 时的函数值为　 　.
4．一个三角形可被一条线段分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角36°，则原三角形最大内角的所有可能值为　 　.
5． 设 a、b 为实数，满足 ，则
的值为　 　
6． 小于或等于的最大整数是　 　
7． 将 100 个数 1～100 任意分成两组（每组 50 个），将一组从小到大的排列，设为 ，另一组从大到小的排列，设为 ，则代数式 的值为　 　.
8． 如果关于x的方程有正整数解，那么正整数k的所有可能取值的平方和为　 　.(其中[a]为不超过a的最小整数)
9． 不定方程 有无整数解？　 　（如果有，请在横线上填写该整数解：如果没有，则填写“无”）.
10． 实数x，y满足，则的最大值为　 　.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；有理数的巧算
【解析】【解答】解：设 令a=
则x=a+b， ， ，
根据立方和公式：
，
整理方程： ，
即，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】设 令a= 即可得到x=a+b，求出a3+b3，ab的值，然后根据立方和公式代入解方程求出x的值解答即可.
2．【答案】104，56，和32
【知识点】三元一次方程组的应用；三元一次不定方程
【解析】【解答】解：设A，B，C三人原来各有x，y，z粒糖，依题意可列出下表：
A B C
原有 x y z
第一次赠送后 2y 2z
第二次赠送后 4z
第三次赠送后
由此可得：
解得
故答案为：104，56，和32.
【分析】列出一个表来揭示相互间的等量关系，这是一个转化实际问题的基本方式.在大胆设元A，B，C三人各有糖x，y，z粒之下，仔细列表正确表示出变化过程中的量的关系.
3．【答案】1
【知识点】整式条件求值
【解析】【解答】解：解：因为
故
而 除以 后所得的商式是 x-1，余式为-1，
故
故答案为：1.
【分析】适当变形得 则 将 作为主元，将原式化为t的形式，然后计算，将会使计算简化.
4．【答案】72°，90°，108°，126°，132°
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【解答】解：解：①原三角形是锐角三角形，最大角是' 的情况：
如图 BD=BC，则最大角是
，
②原三角形是直角三角形，最大角是 的情况：如图 D， ；
A
③原三角形是钝角三角形，最大角是 的情况：如图 AD=DC，
④原三角形是钝角三角形，最大角是 的情况：如图 BC，
⑤原三角形是钝角三角形，最大角是 的情况：如图 CD=CB，
故答案为： 或 或 或 或
【分析】分为以下情况：①原三角形是锐角三角形，最大角是' 的情况；②原三角形是直角三角形，最大角是 的情况；③原三角形是钝角三角形，最大角是 的情况；④原三角形是钝角三角形，最大角是： 的情况；⑤原三角形是钝角三角形，最大角是 的情况，作图计算即可.
5．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；有理数的巧算；分式条件求值
【解析】【解答】解：解：由题意可知
∴原式
故答案为：.
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性求出a，b的值，然后代入代数式，利用裂项相消解答即可.
6．【答案】26
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；放缩法
【解析】【解答】解： ，
∴原式
设 ，由于 是一个非常小的正数(因为 且指数很大)，x非常接近0，
∴，
∴最大整数是26.
答案是： 26.
【分析】原式化为，设 ，且x非常接近0，即可得到，然后得到最大整数值解答即可.
7．【答案】2500
【知识点】化简含绝对值有理数；对称式和轮换对称式
【解析】【解答】解：因为将1，2，3， ，100任意分成两组，一组由小到大排列为 另一组由大到小排列为
所以对于任意的i(1≤i≤50)，都有 ，
所以 ，
所以 )
=5050-2550
=2500
故答案为：2500.
【分析】解题的关键在于分析 与 的大小关系，从而去掉绝对值符号，进而求出式子的值.
8．【答案】265
【知识点】数的整除性；不等式奥数类应用问题；取整函数
【解析】【解答】解：由 是整数知，7|k或7|x.
若为前者，由于
故知k只能为7.
此时，
解得： 因此x=1， 2， 3，但一一验证知均不成立，
若为后者，设x =7y，其中y是正整数.
则
故k=11或k=12.
因此所求答案为112+122 =265.
故答案为：265.
【分析】首先根据题意得出7|k或7|x，进而分别分析得出x的取值范围，利用x，y的关系得出k的值.
9．【答案】无
【知识点】数的整除性；二元二次方程的解
【解析】【解答】解：已知方程 因为 和9都是3的倍数，所以 也必须是3的倍数。
由于2与3互质，根据互质性质，若 是3的倍数，则 是3的倍数，进而x是3的倍数。
设x=3m(m为整数)，
则 即 ，
因为 是3的倍数，所以 也是3的倍数，同理可得y是3的倍数。
设y=3n(n为整数)，将x=3m，y=3n代入原方程 得到 ，
因为 是3的倍数，所以 模3余1。
又因为2模3余2，那么 模3余2。
但一个整数的平方模3只能余0或1 ) ，
所以 模3余2是不可能的，
因此，不定方程 无整数解.
故答案为：无.
【分析】利用模运算的性质，对原方程进行变形，观察等式两边余数是否矛盾.
10．【答案】3
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数；因式分解（奥数）
【解析】【解答】解：
，
，
，
，
设x-y=t，则
解得
因为x，-y可看作关于m的一元二次方程的两个根，
所以 ，即
，
∵，
∴，
所以，x-y的最大值为 3.
故答案为：3.
【分析】先利用立方差公式对已知等式进行变形，然后通过换元法将其转化为关于新变量的方程，再根据一元二次方程根的判别式来确定x-y的最大值解答即可.
1 / 12025年全国科学创新实践活动（原华数杯）三级组（初中七、八、九年级）数学竞赛试题
一、填空题（共十题，每题10分，共100分）
1． 化简：　 　
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；有理数的巧算
【解析】【解答】解：设 令a=
则x=a+b， ， ，
根据立方和公式：
，
整理方程： ，
即，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】设 令a= 即可得到x=a+b，求出a3+b3，ab的值，然后根据立方和公式代入解方程求出x的值解答即可.
2．A、B、C三人各有豆若干粒，进行如下相互赠送：先由A给B、C，所给的豆粒等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有的豆数，互送后每人恰好各有64粒，则A、B、C三人原来分别各有　 　粒豆.
【答案】104，56，和32
【知识点】三元一次方程组的应用；三元一次不定方程
【解析】【解答】解：设A，B，C三人原来各有x，y，z粒糖，依题意可列出下表：
A B C
原有 x y z
第一次赠送后 2y 2z
第二次赠送后 4z
第三次赠送后
由此可得：
解得
故答案为：104，56，和32.
【分析】列出一个表来揭示相互间的等量关系，这是一个转化实际问题的基本方式.在大胆设元A，B，C三人各有糖x，y，z粒之下，仔细列表正确表示出变化过程中的量的关系.
3． 函数 ，当 时的函数值为　 　.
【答案】1
【知识点】整式条件求值
【解析】【解答】解：解：因为
故
而 除以 后所得的商式是 x-1，余式为-1，
故
故答案为：1.
【分析】适当变形得 则 将 作为主元，将原式化为t的形式，然后计算，将会使计算简化.
4．一个三角形可被一条线段分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角36°，则原三角形最大内角的所有可能值为　 　.
【答案】72°，90°，108°，126°，132°
【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角；分类讨论
【解析】【解答】解：解：①原三角形是锐角三角形，最大角是' 的情况：
如图 BD=BC，则最大角是
，
②原三角形是直角三角形，最大角是 的情况：如图 D， ；
A
③原三角形是钝角三角形，最大角是 的情况：如图 AD=DC，
④原三角形是钝角三角形，最大角是 的情况：如图 BC，
⑤原三角形是钝角三角形，最大角是 的情况：如图 CD=CB，
故答案为： 或 或 或 或
【分析】分为以下情况：①原三角形是锐角三角形，最大角是' 的情况；②原三角形是直角三角形，最大角是 的情况；③原三角形是钝角三角形，最大角是 的情况；④原三角形是钝角三角形，最大角是： 的情况；⑤原三角形是钝角三角形，最大角是 的情况，作图计算即可.
5． 设 a、b 为实数，满足 ，则
的值为　 　
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；有理数的巧算；分式条件求值
【解析】【解答】解：解：由题意可知
∴原式
故答案为：.
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性求出a，b的值，然后代入代数式，利用裂项相消解答即可.
6． 小于或等于的最大整数是　 　
【答案】26
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；放缩法
【解析】【解答】解： ，
∴原式
设 ，由于 是一个非常小的正数(因为 且指数很大)，x非常接近0，
∴，
∴最大整数是26.
答案是： 26.
【分析】原式化为，设 ，且x非常接近0，即可得到，然后得到最大整数值解答即可.
7． 将 100 个数 1～100 任意分成两组（每组 50 个），将一组从小到大的排列，设为 ，另一组从大到小的排列，设为 ，则代数式 的值为　 　.
【答案】2500
【知识点】化简含绝对值有理数；对称式和轮换对称式
【解析】【解答】解：因为将1，2，3， ，100任意分成两组，一组由小到大排列为 另一组由大到小排列为
所以对于任意的i(1≤i≤50)，都有 ，
所以 ，
所以 )
=5050-2550
=2500
故答案为：2500.
【分析】解题的关键在于分析 与 的大小关系，从而去掉绝对值符号，进而求出式子的值.
8． 如果关于x的方程有正整数解，那么正整数k的所有可能取值的平方和为　 　.(其中[a]为不超过a的最小整数)
【答案】265
【知识点】数的整除性；不等式奥数类应用问题；取整函数
【解析】【解答】解：由 是整数知，7|k或7|x.
若为前者，由于
故知k只能为7.
此时，
解得： 因此x=1， 2， 3，但一一验证知均不成立，
若为后者，设x =7y，其中y是正整数.
则
故k=11或k=12.
因此所求答案为112+122 =265.
故答案为：265.
【分析】首先根据题意得出7|k或7|x，进而分别分析得出x的取值范围，利用x，y的关系得出k的值.
9． 不定方程 有无整数解？　 　（如果有，请在横线上填写该整数解：如果没有，则填写“无”）.
【答案】无
【知识点】数的整除性；二元二次方程的解
【解析】【解答】解：已知方程 因为 和9都是3的倍数，所以 也必须是3的倍数。
由于2与3互质，根据互质性质，若 是3的倍数，则 是3的倍数，进而x是3的倍数。
设x=3m(m为整数)，
则 即 ，
因为 是3的倍数，所以 也是3的倍数，同理可得y是3的倍数。
设y=3n(n为整数)，将x=3m，y=3n代入原方程 得到 ，
因为 是3的倍数，所以 模3余1。
又因为2模3余2，那么 模3余2。
但一个整数的平方模3只能余0或1 ) ，
所以 模3余2是不可能的，
因此，不定方程 无整数解.
故答案为：无.
【分析】利用模运算的性质，对原方程进行变形，观察等式两边余数是否矛盾.
10． 实数x，y满足，则的最大值为　 　.
【答案】3
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数；因式分解（奥数）
【解析】【解答】解：
，
，
，
，
设x-y=t，则
解得
因为x，-y可看作关于m的一元二次方程的两个根，
所以 ，即
，
∵，
∴，
所以，x-y的最大值为 3.
故答案为：3.
【分析】先利用立方差公式对已知等式进行变形，然后通过换元法将其转化为关于新变量的方程，再根据一元二次方程根的判别式来确定x-y的最大值解答即可.
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