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上海市松江区2025-2026学年九年级总复习阶段模拟练习数学
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
2.下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，是的反比例函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知数据：，，，的平均数是，方差是，那么数据，，，的平均数和方差分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.已知命题：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦的直径垂直于这条弦下列对这两个命题的判断，正确的是( )
A. 是真命题，是假命题 B. 是假命题，是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是假命题
6.如图，已知 中， ， ，半径为的 经过点 ，且在边 、 上截得的弦长相等，点 在边 上，如果以 为半径的 与 相交，那么 的长可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.不等式组的解集是 ．
8.分解因式： ．
9.函数的定义域是 ．
10.统计数据显示，截至年月日，电影飞驰人生的票房总收入约为亿元如果该电影的平均票价是每张元，那么售出的电影票大约 张用科学记数法表示
11.如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么 ．
12.现有三张卡片，上面分别写着、、，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是 ．
13.如图，已知点 是 的重心，如果 ， ，那么 结果含 、 的式子表示
14.小明准备去距离学校千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快千米小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米小时，可列方程为 ．
15.为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图每组数据含最小值，不含最大值如果该年级有名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于小时的学生约有 名
16.一个水池的容积是，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，小时后水池的水量是，小时后水池的水量是，那么小时后水池的水量是 ．
17.已知 中， ， ， ，点 、 分别在边 、 上，如果 是以 为腰的等腰三角形，且 ，那么 的长是 ．
18.联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
19.计算：．
20.解方程组：
四、解答题：本题共5小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
如图，在中，，．
试用无刻度直尺和圆规，在直线上作出点，使，点、、的对应点分别是点、、不必写作法，保留作图痕迹
在的基础上，求线段的长．
22.本小题分
【问题提出】把一个长、宽分别为、的长方形如图，剪拼成一个正方形拼接的时候无缝隙、不重叠，裁剪的损耗忽略不计
【方案设计】某学习小组提出以下设计思考：
根据剪拼前后图形面积不变，可知剪拼后正方形的边长为 用含、的代数式表示
如图，延长至点，使，以为直径作半圆延长交于点，联结、，可得后续说理如需用到这一结论，可直接使用，他们认为：“就是所求正方形的边长”；
如图，以为边，在左侧作正方形，分别与、交于点、，沿虚线、裁剪，、可以通过适当的图形运动分别与、叠合，拼成正方形．
【论证说明】如图，该学习小组认为：“是所求正方形的边长”，试说明理由；
【论证说明】可以通过怎样的图形运动与叠合，并说明它们能够叠合的理由．
23.本小题分
已知是半圆的直径，弦、交于点，与交于点，满足．
求证：；
如图，是的中点，与交于点，求证：四边形是菱形．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点不与点重合，且，抛物线经过、两点．
求抛物线的表达式；
点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积；
点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标．
25.本小题分
已知正方形，点在边上，点在的延长线上，与交于点．
如图，如果，求证：；
如图，如果，且，求的正切值；
以点为圆心为半径画圆，与以为直径的的另一个交点记为点，如果，，，求的长．
参考答案
1.
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4.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17. 或
18.
19.解：原式



20.解：由得，，
或，
原方程组可化为或
解第一个方程组得；
解第二个方程组得
原方程组的解为或．

21.【小题】
解：如图所示，作，与延长线交于点，即为所求；
，，
；
【小题】
解：如图所示，过点作于，
，
，
设，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
即，
解得或负值，舍去，
即，
，
，
，即，
解得，
．

22.【小题】
解：由题意得，矩形的面积为，
根据剪拼前后图形面积不变，
可知剪拼后正方形的边长为；
【小题】
解：如图，过点作，则
经过圆心，
，
，
矩形中，
，
，
解得舍负，
是所求正方形的边长；
【小题】
解：可以通过平移运动与叠合，理由如下：
矩形，正方形，
，，，
，，
，
，
解得，
，
，
可以通过平移运动与叠合．

23.【小题】
证明：，，
，
，，
是半圆的直径，
，
，
，
，，
，
，
经过圆心，
；
【小题】
证明：是的中点，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
由知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，即，
四边形是菱形．

24.【小题】
解：由题可知，一次函数与轴交于点，与轴交于点，
则点，，
是直线上一点，且，
点是线段的中点，
设点，
点，
，，
点，
将点，点代入抛物线
得
解得：
则抛物线的表达式为：，
【小题】
解：由题可得图，
四边形是梯形，
，
为原点，
则的直线解析式为：，
则联立函数得
解得或
点在抛物线上，且位于第一象限，
，
过点作轴，过点作轴，
，
【小题】
解：由题可得，过点作，过点作
当，与相似，且边与边对应
则，
抛物线，
，
，，
，
，
则抛物线的对称轴为：，
设点，点
，，
，，
则，，
解得：或，
点、都在第三象限，
，
，
．
由题可得，抛物线的对称轴为，
过点作交对称轴于，过点作交对称轴于，
当，与相似，且边与边对应
则，
抛物线，
，
，，
，
，
则抛物线的对称轴为：，
设点，
，，
，。
解得：或舍去，
则．
综上所述，，．

25.【小题】
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小题】
解：连接，
设正方形的边长为，，
由题意得，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
整理得，，
解得，舍去，
；
【小题】
解：如图，设以为直径的圆记为，连接交于点，过点作于点，
由题意得可设，则，
，
正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
与相交于点
，，
，
，
解得或舍
．

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