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广西壮族自治区柳州市2026年九年级第一次模拟联合考数学试卷
1．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A错误.
B、不是中心对称图形，故B错误.
C、是中心对称图形，故C正确.
D、不是中心对称图形，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形的定义和A、B、C、D各选项图案的特点，分别判断即可得答案.
2．下列事件中，是必然事件的是 （　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．平面内画一个三角形，内角和为180°
C．挑选30名同学，有人生日在1月
D．打开电视，它正在播放广告
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，这是随机事件，故A不符合题意；
B.任意画一个三角形，其内角和是180°，这是必然事件，故B符合题意；
C.挑选30名同学，有人生日在1月，这是随机事件，故C不符合题意；
D.打开电视机，正在播放广告，这是随机事件，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】必然事件是指在一定条件下，必然会发生的事件，即事件发生的可能性为100%.
3．已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（　　）
A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径，点P到圆心O的距离，
∴，
∴点P在内.
故答案为：A．
【分析】根据点与圆的位置关系，结合的半径，点P到圆心O的距离，即可判断点P与的位置关系.
4．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，故A错误.
B．含有根号，不是整式方程，不是一元二次方程，故B错误.
C．最高次数为1，不是一元二次方程，故C错误.
D.只含一个未知数，最高次数为2，且为整式方程，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的定义分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
5．若是一元二次方程的一个根，则（　　）
A． B．4 C． D．2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，解得：．
故答案为：D．
【分析】根据是一元二次方程的一个根，列方程，解出即可得答案.
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第三象限内作的位似图形，相似比为，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵与是位似图形，相似比为，点的坐标为，且点在第三象限，
∴点的坐标为，即，
故答案为：B．
【分析】根据与是位似图形，相似比为，结合，进一步根据位似图形坐标关系即可得答案.
7．关于抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：对于抛物线 ：
A、二次项系数，抛物线开口向下，A不符合题意；
B、抛物线对称轴为直线，B不符合题意；
C、抛物线的顶点坐标为，C符合题意；
D、开口向下，对称轴为，因此当时，随的增大而减小，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据的符号判断抛物线的开口方向；由顶点式直接得出对称轴与顶点坐标；结合开口方向和对称轴，判断函数的增减性。
8．如图，A为反比例函数 的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为6，则k的值为（　　）
A．3 B．-3 C．6 D．-6
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，
设A点坐标为，
∵轴，轴，
∴，
∴
∴，
∵反比例函数的图象在第四象限，
∴．
故答案为：D．
【分析】设A点坐标为，则，根据反比例函数系数k的几何意义得，求解即可得答案.
9．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
方程为：．
故答案为：A．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据即可列方程.
10．如图，在中，，动点P从点A开始沿向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则的面积S与出发时间t的函数关系图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴，
∵，
∴，
∴的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，且开口向下．
故答案为：C．
【分析】根据已知条件可得，进一步得，根据的面积公式即可得S与t的关系式，根据函数关系，结合A、B、C、D图像即可得答案.
11．如图，正六边形内接于，半径为，若G为的中点，连接，则的长度为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接正多边形；正多边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
连接，
正六边形内接于，
∴为的直径．
又，
是等边三角形，
．
∵是的直径，
∴，，
∴在中，，
是的中点，
，
在中，
．
故答案为：B．
【分析】连接，根据正六边形的性质可得等于，再根据相等，可证明是等边三角形，即可得，再根据勾股定理得，根据中点性质得等于，再根据勾股定理得即可.
12．如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（　　）
A． B．5 C． D．8
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；切线的性质；二次函数y=ax²的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
取点，连接，
抛物线与轴的一个交点为，
，解得：，
抛物线解析式为：，
抛物线过原点与点，
对称轴为，
当时，．
顶点，
与轴相切，
的半径为4，
点为的中点，
，
最大时，有最大值，
当过点时，有最大值，
的最大值为，
的最大值为.
故答案为：A．
【分析】取点，连接，根据在抛物线上，可得解析式，对称轴，进而得顶点，根据与轴相切，得，当过点时，有最大值，即可得的最大值为.
13．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，解得，
故答案为：.
【分析】根据反比例函数的图象在第一、三象限，可得，解出即可.
14．如图，已知中，点D在上，点E在上，．，，，则　 　．
【答案】10
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
，
，
∴，解得：.
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例定理可证明相等，代入数据即可得答案.
15．不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆半径是，，则的长是　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
，分别与相切于点 A， B，
，
，
，
所对圆心角为，
该圆半径是，
的长是，
故答案为：．
【分析】根据切线的性质可得等于，根据等于，即可得等于，进而得所对圆心角为，根据弧长公式求解即可得答案.
16．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：如图，
∵在和图像上，
∴，，解得：，.
∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为.
点P是线段上一点，设，
∵在图像上，
∴，
，
，
，且，
当时，S有最大值，且最大值是2，
当或时，S有最小值，且最小值是，
∴S的取值范围为．
故答案为：．
【分析】根据在和即可得b、k的值，进而得解析式，设，结合在图像上，得，根据三角形面积公式得，当时，S有最大值，且最大值是2，当或时，S有最小值，且最小值是，综合即可得答案.
17．解方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，.
（2）解：，
，
或，
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法求解即可.
（2）把因式分解法得，解出即可.
（1）解：，
移项，得：，
直接开平方，得：，
解得：，；
（2）解：，
因式分解，得：，
解得：，．
18．电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．
（1）第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______；
（2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率．
【答案】（1）
（2）解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种，
∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为：，
∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：根据题目情境共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，则：
∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）根据题目情境共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，根据概率公式计算即可.
（2）任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图，根据树状图得共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种，代入概率公式即可得答案.
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，
∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为，
故答案为：；
（2）解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种，
∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为，
答：取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为．
19．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）与关于原点O对称，画出；
（2）将绕点A顺时针旋转，在网格中画出旋转后对应的，并求出此过程中线段扫过的面积．（结果保留）
【答案】（1）解：求出，，关于原点对称的点分别为：，，，描点、依次连接各点作出如下：
（2）解：根据旋转图形的画法，作如下：
根据勾股定理得：，
∴．
∴此过程中线段扫过的面积为.
【知识点】扇形面积的计算；关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）求出，，关于原点对称的点分别为：，，，描点、依次连接各点作出即可.
（2）先根据旋转方向与角度，画出旋转后的，根据勾股定理得，根据扫过的面积为扇形，根据扇形公式即可得此过程中线段扫过的面积为.
（1）如图，，，关于原点对称的点分别为：
，，，
所以即为所求
（2）如图，即为所求，
，
∴．
故答案为：．
20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点，点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，，
∴，解得，，
∴反比例函数的解析式为，，
∵过，，
∴解得
∴一次函数的解析式为.
（2）解：如图，
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据求出，即可得，把，代入，结合待定系数法可列方程组，解出即可得一次函数的解析式为.
（2）根据函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，即可得不等式的解集.
（1）解：把点代入，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴，
把，代入得
∴解得
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
21．如图，以的边为直径的交边于点，交边于点，连接，过点的切线交的延长线于点，．求证：
（1）为等腰三角形；
（2）．
【答案】（1）证明：如图，
∵为的直径，
∴，
∴．
∵是的切线，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：如图：
连接，
∵为等腰三角形，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据为的直径，得等于，即可得和为，根据是的切线，得和为，结合相等，即可得相等，根据等角对等边即可得相等，即可得为等腰三角形．
（2）连接，根据为等腰三角形，相等，垂直，即可得相等，进而得相等，即可得相等，根据相似三角形判定定理证明相似，根据相似性质得相等，即可得.
（1）证明：∵为的直径，
∴，
∴．
∵是的切线，
∴．
又∵，
∴，
∴，
即为等腰三角形．
（2）解：如图：连接．
∵为等腰三角形，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
又∵，
∴，
∴，
即．
22．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现后使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图2，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
【答案】（1）解：如图2，
在矩形中，，
∵，垂直平分，
∴，
，，，，
设抛物线表达式为，根据题意得：
，解得．
抛物线表达式为．
（2）解：如图3，
设，则，
，解得（负值舍去），
．
∴正方形装置的间距的长为.
（3）解：如图4，
设最右侧光线与抛物线的交点为，则，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
设的解析式为，
，整理得，
与抛物线有且只有一个交点，
，解得，
直线的解析式为，
令，得，解得，
．
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据矩形性质，结合已知得，，，，设函数解析式为，代入坐标，列方程组解出即可得抛物线表达式.
（2）设，则，根据已知得方程，解出即可.
（3）设最右侧光线与抛物线的交点为，则，设直线的解析式为，根据、坐标列方程组，解出即可得直线的解析式为，根据，可设的解析式为，联立、的解析式得，根据与抛物线有且只有一个交点，得，即可得，令，解得，即可计算，进一步得即可.
（1）解：在矩形中，，
∵，垂直平分，
∴，
，，，，
设抛物线表达式为，
将、、三点坐标代入表达式，得，
解得．
抛物线表达式为．
（2）解：设，则，
，
解得（负值舍去），
．
（3）解：设最右侧光线与抛物线的交点为，如图4，则，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
设的解析式为，
，
整理得，
与抛物线有且只有一个交点，
，
解得，
直线的解析式为，
令，得，
解得，
．
．
23．【综合与探究】问题情境：将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E．
猜想证明：
（1）猜想与的数量关系，并证明；
（2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形；
问题解决：
（3）在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请直接写出的值．
【答案】解：（1），理由如下：
如图①，
连接，
四边形与四边形都是矩形，
，
，
∴，
根据旋转性质得：，
在和中，
，
，
.
（2）证明：如图2，
连接，
根据旋转的性质可得：，
四边形是矩形，
，，，
∴，
又，
，
，
，，
四边形是平行四边形.
（3）的值 为或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】（3）如图3，当点，在的同一侧时，
根据旋转的性质可得：，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
如图4：当点，在的异侧时，
根据旋转的性质可得：，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
综上所述，的值为或．
【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出都等于，推得相等，根据旋转的性质得出相等，根据全等三角形的判定定理，可证明全等，根据全等性质即可得相等.
（2）连接，根据旋转性质得相等，再根据矩形的性质得平行，相等，等于，根据三线合一得相等，推得相等，根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形.
（3）当点，在的同一侧时，根据旋转的性质得都等于，都等于，都等于，即可得等于，勾股定理得：，根据勾股定理得，进一步得，同理得当点，在的异侧时，，综上所述即可得的值为或．
1 / 1广西壮族自治区柳州市2026年九年级第一次模拟联合考数学试卷
1．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是 （　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．平面内画一个三角形，内角和为180°
C．挑选30名同学，有人生日在1月
D．打开电视，它正在播放广告
3．已知的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（　　）
A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定
4．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
5．若是一元二次方程的一个根，则（　　）
A． B．4 C． D．2
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第三象限内作的位似图形，相似比为，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．关于抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大
8．如图，A为反比例函数 的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为6，则k的值为（　　）
A．3 B．-3 C．6 D．-6
9．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，动点P从点A开始沿向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则的面积S与出发时间t的函数关系图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，正六边形内接于，半径为，若G为的中点，连接，则的长度为（　　）．
A． B． C． D．
12．如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（　　）
A． B．5 C． D．8
13．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为　 　．
14．如图，已知中，点D在上，点E在上，．，，，则　 　．
15．不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆半径是，，则的长是　 　．（结果保留）
16．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的取值范围是　 　．
17．解方程．
（1）；
（2）．
18．电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．
（1）第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______；
（2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率．
19．如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）与关于原点O对称，画出；
（2）将绕点A顺时针旋转，在网格中画出旋转后对应的，并求出此过程中线段扫过的面积．（结果保留）
20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点，点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集．
21．如图，以的边为直径的交边于点，交边于点，连接，过点的切线交的延长线于点，．求证：
（1）为等腰三角形；
（2）．
22．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现后使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图2，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
23．【综合与探究】问题情境：将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E．
猜想证明：
（1）猜想与的数量关系，并证明；
（2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形；
问题解决：
（3）在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A错误.
B、不是中心对称图形，故B错误.
C、是中心对称图形，故C正确.
D、不是中心对称图形，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形的定义和A、B、C、D各选项图案的特点，分别判断即可得答案.
2．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，这是随机事件，故A不符合题意；
B.任意画一个三角形，其内角和是180°，这是必然事件，故B符合题意；
C.挑选30名同学，有人生日在1月，这是随机事件，故C不符合题意；
D.打开电视机，正在播放广告，这是随机事件，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】必然事件是指在一定条件下，必然会发生的事件，即事件发生的可能性为100%.
3．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径，点P到圆心O的距离，
∴，
∴点P在内.
故答案为：A．
【分析】根据点与圆的位置关系，结合的半径，点P到圆心O的距离，即可判断点P与的位置关系.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，故A错误.
B．含有根号，不是整式方程，不是一元二次方程，故B错误.
C．最高次数为1，不是一元二次方程，故C错误.
D.只含一个未知数，最高次数为2，且为整式方程，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的定义分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，解得：．
故答案为：D．
【分析】根据是一元二次方程的一个根，列方程，解出即可得答案.
6．【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵与是位似图形，相似比为，点的坐标为，且点在第三象限，
∴点的坐标为，即，
故答案为：B．
【分析】根据与是位似图形，相似比为，结合，进一步根据位似图形坐标关系即可得答案.
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：对于抛物线 ：
A、二次项系数，抛物线开口向下，A不符合题意；
B、抛物线对称轴为直线，B不符合题意；
C、抛物线的顶点坐标为，C符合题意；
D、开口向下，对称轴为，因此当时，随的增大而减小，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据的符号判断抛物线的开口方向；由顶点式直接得出对称轴与顶点坐标；结合开口方向和对称轴，判断函数的增减性。
8．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，
设A点坐标为，
∵轴，轴，
∴，
∴
∴，
∵反比例函数的图象在第四象限，
∴．
故答案为：D．
【分析】设A点坐标为，则，根据反比例函数系数k的几何意义得，求解即可得答案.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
方程为：．
故答案为：A．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据即可列方程.
10．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴，
∵，
∴，
∴的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，且开口向下．
故答案为：C．
【分析】根据已知条件可得，进一步得，根据的面积公式即可得S与t的关系式，根据函数关系，结合A、B、C、D图像即可得答案.
11．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接正多边形；正多边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
连接，
正六边形内接于，
∴为的直径．
又，
是等边三角形，
．
∵是的直径，
∴，，
∴在中，，
是的中点，
，
在中，
．
故答案为：B．
【分析】连接，根据正六边形的性质可得等于，再根据相等，可证明是等边三角形，即可得，再根据勾股定理得，根据中点性质得等于，再根据勾股定理得即可.
12．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；切线的性质；二次函数y=ax²的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
取点，连接，
抛物线与轴的一个交点为，
，解得：，
抛物线解析式为：，
抛物线过原点与点，
对称轴为，
当时，．
顶点，
与轴相切，
的半径为4，
点为的中点，
，
最大时，有最大值，
当过点时，有最大值，
的最大值为，
的最大值为.
故答案为：A．
【分析】取点，连接，根据在抛物线上，可得解析式，对称轴，进而得顶点，根据与轴相切，得，当过点时，有最大值，即可得的最大值为.
13．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，解得，
故答案为：.
【分析】根据反比例函数的图象在第一、三象限，可得，解出即可.
14．【答案】10
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
，
，
∴，解得：.
故答案为：．
【分析】根据平行线分线段成比例定理可证明相等，代入数据即可得答案.
15．【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
，分别与相切于点 A， B，
，
，
，
所对圆心角为，
该圆半径是，
的长是，
故答案为：．
【分析】根据切线的性质可得等于，根据等于，即可得等于，进而得所对圆心角为，根据弧长公式求解即可得答案.
16．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：如图，
∵在和图像上，
∴，，解得：，.
∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为.
点P是线段上一点，设，
∵在图像上，
∴，
，
，
，且，
当时，S有最大值，且最大值是2，
当或时，S有最小值，且最小值是，
∴S的取值范围为．
故答案为：．
【分析】根据在和即可得b、k的值，进而得解析式，设，结合在图像上，得，根据三角形面积公式得，当时，S有最大值，且最大值是2，当或时，S有最小值，且最小值是，综合即可得答案.
17．【答案】（1）解：，
，
，
，.
（2）解：，
，
或，
，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法求解即可.
（2）把因式分解法得，解出即可.
（1）解：，
移项，得：，
直接开平方，得：，
解得：，；
（2）解：，
因式分解，得：，
解得：，．
18．【答案】（1）
（2）解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种，
∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为：，
∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：根据题目情境共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，则：
∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）根据题目情境共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，根据概率公式计算即可.
（2）任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图，根据树状图得共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种，代入概率公式即可得答案.
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，
∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为，
故答案为：；
（2）解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种，
∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为，
答：取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为．
19．【答案】（1）解：求出，，关于原点对称的点分别为：，，，描点、依次连接各点作出如下：
（2）解：根据旋转图形的画法，作如下：
根据勾股定理得：，
∴．
∴此过程中线段扫过的面积为.
【知识点】扇形面积的计算；关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）求出，，关于原点对称的点分别为：，，，描点、依次连接各点作出即可.
（2）先根据旋转方向与角度，画出旋转后的，根据勾股定理得，根据扫过的面积为扇形，根据扇形公式即可得此过程中线段扫过的面积为.
（1）如图，，，关于原点对称的点分别为：
，，，
所以即为所求
（2）如图，即为所求，
，
∴．
故答案为：．
20．【答案】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，，
∴，解得，，
∴反比例函数的解析式为，，
∵过，，
∴解得
∴一次函数的解析式为.
（2）解：如图，
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据求出，即可得，把，代入，结合待定系数法可列方程组，解出即可得一次函数的解析式为.
（2）根据函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，即可得不等式的解集.
（1）解：把点代入，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴，
把，代入得
∴解得
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
21．【答案】（1）证明：如图，
∵为的直径，
∴，
∴．
∵是的切线，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（2）解：如图：
连接，
∵为等腰三角形，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据为的直径，得等于，即可得和为，根据是的切线，得和为，结合相等，即可得相等，根据等角对等边即可得相等，即可得为等腰三角形．
（2）连接，根据为等腰三角形，相等，垂直，即可得相等，进而得相等，即可得相等，根据相似三角形判定定理证明相似，根据相似性质得相等，即可得.
（1）证明：∵为的直径，
∴，
∴．
∵是的切线，
∴．
又∵，
∴，
∴，
即为等腰三角形．
（2）解：如图：连接．
∵为等腰三角形，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
又∵，
∴，
∴，
即．
22．【答案】（1）解：如图2，
在矩形中，，
∵，垂直平分，
∴，
，，，，
设抛物线表达式为，根据题意得：
，解得．
抛物线表达式为．
（2）解：如图3，
设，则，
，解得（负值舍去），
．
∴正方形装置的间距的长为.
（3）解：如图4，
设最右侧光线与抛物线的交点为，则，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
设的解析式为，
，整理得，
与抛物线有且只有一个交点，
，解得，
直线的解析式为，
令，得，解得，
．
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据矩形性质，结合已知得，，，，设函数解析式为，代入坐标，列方程组解出即可得抛物线表达式.
（2）设，则，根据已知得方程，解出即可.
（3）设最右侧光线与抛物线的交点为，则，设直线的解析式为，根据、坐标列方程组，解出即可得直线的解析式为，根据，可设的解析式为，联立、的解析式得，根据与抛物线有且只有一个交点，得，即可得，令，解得，即可计算，进一步得即可.
（1）解：在矩形中，，
∵，垂直平分，
∴，
，，，，
设抛物线表达式为，
将、、三点坐标代入表达式，得，
解得．
抛物线表达式为．
（2）解：设，则，
，
解得（负值舍去），
．
（3）解：设最右侧光线与抛物线的交点为，如图4，则，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
设的解析式为，
，
整理得，
与抛物线有且只有一个交点，
，
解得，
直线的解析式为，
令，得，
解得，
．
．
23．【答案】解：（1），理由如下：
如图①，
连接，
四边形与四边形都是矩形，
，
，
∴，
根据旋转性质得：，
在和中，
，
，
.
（2）证明：如图2，
连接，
根据旋转的性质可得：，
四边形是矩形，
，，，
∴，
又，
，
，
，，
四边形是平行四边形.
（3）的值 为或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】（3）如图3，当点，在的同一侧时，
根据旋转的性质可得：，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
如图4：当点，在的异侧时，
根据旋转的性质可得：，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
综上所述，的值为或．
【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出都等于，推得相等，根据旋转的性质得出相等，根据全等三角形的判定定理，可证明全等，根据全等性质即可得相等.
（2）连接，根据旋转性质得相等，再根据矩形的性质得平行，相等，等于，根据三线合一得相等，推得相等，根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形.
（3）当点，在的同一侧时，根据旋转的性质得都等于，都等于，都等于，即可得等于，勾股定理得：，根据勾股定理得，进一步得，同理得当点，在的异侧时，，综上所述即可得的值为或．
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