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广东广州市南武实验学校 2025-2026学年九年级下学期3月综评数学试题
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可得到的立体图形是（　　）
A． B．\
C． D．
3．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知方程，在中添加个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是（　　）
A．1 B． C．0 D．
5．某地区上半年每月的平均气温依次是，，，，，．为了表示气温变化的情况，可以把上述数据绘制成（　　）
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图
6．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线l：，对于直线l，下列判断正确的是（　　）
A．点在直线l上 B．直线l不经过第四象限
C．直线l与轴交于点 D．当时，的最大值为
7．若函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增小，则m的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
8．如图，菱形的面积为6，E，F，G，H分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（　　）
A．3 B．3.5 C．5 D．5.5
9．如图，菱形的周长为16，，为的中点，为上任意一点，则的最小值为（　　）
A． B． C．4 D．
10．抛物线经过四点，且，若存在正数，使得当时，总有成立，则正数的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
11．如图，直线a，b所成的角跑到画板外面了．已知，则直线a，b所形成的锐角的度数为　 　．
12．如图，在中，点D，E分别在边，上，且，若，，的面积是2，则的面积是　 　．
13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　．
14．如图，在中，，平分，于点，，点在上，连接，，延长交于，，下列结论中：（1）；（2）；（3）；（4）若，则．以上结论正确的序号　 　 ．
15．若直线与二次函数的图象交于、两点，且线段，则　 　．
16．如图，是线段上两点，分别是、、的直径，这三个圆的半径都等于10，设切于G，且交于，则弦的长为　 　．
17．解不等式组：并把它的解集表示在数轴上．
18．如图，在和中，与交于点O，，请你再添加—个条件：______，使得，并说明理由．
19．先化简，再求值：，其中．
20．在学校举行的一次广播操比赛中，八年级三个班的各项得分（单位：分）如表．
班别 服装统一 动作整齐 动作标准
八（1）班 80 84 85
八（2）班 97 78 80
八（3）班 90 77 85
（1）根据表中信息，三个班得分的平均数分别是________ 、________、________．
（2）如果服装统一、动作整齐、动作标准三方面的重要性分别占，，，求这三个班的成绩排名顺序．
（3）在（2）的条件下，你对三个班级中排名最后的班级有何建议？
21．已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，点A的坐标为．
（1）求m，k的值；
（2）求B点坐标；
（3）当时，结合图像比较与的大小．
22．某水果店老板用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的重量是第一次购进水果的重量的倍，设第一次购进水果的重量为千克，
（1）用含的式子表示：第一次购进水果的单价为 元/千克，第二次购进水果的重量为 千克；
（2）该水果店老板两次购进水果各多少千克
23．综合与实践
某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程：
如图1，和是共顶点的等腰直角三角形，．
问题初探
（1）如图2，当点D在直线上时，
①求证：．
②推断：与的比值．
问题深入
（2）当点D不在直线上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图1说明理由．
问题解决
（3）如图3，点O是正方形的中心，点E在直线上运动，连接，过点E作，且，连接，．
①正方形的边上是否存在一点M，使恒成立？若存在，直接写出点M的位置；若不存在，说明理由．
②连接，若正方形的边长为4，设，，当x为何值时，y的值最小，最小值为多少？
24．综合与实践
为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分．
（1）求a的值．
（2）若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？
（3）若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？
（提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移）
25．折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
（1）操作判断：
在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图，当为中点时，是______三角形．
（2）迁移探究：
如图，若，且，求正方形的边长．
（3）拓展应用：
如图，若，直接写出的值为______．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，A不符合题意；
B、=2是分数，属于有理数，B不符合题意；
C、=-3是整数，属于有理数，C不符合题意；
D、是无理数，D不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据有理数、无理数的定义及无理数的常见形式进行求解即可.
2．【答案】B
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：将一个直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周，所形成的几何体是圆锥，
故答案为：B．
【分析】根据将一个直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周所形成的几何体是圆锥即可得答案.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故A错误.
B．，故B错误.
C．，故C错误.
D．，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据二次根式的加减，二次根式的化简，同底数幂的乘法，积的乘方分别计算各选项如下
，，，即可得答案.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：设在中添加的数字为，方程化为：，
∴，
方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，
可添加的数字为．
故答案为：B．
【分析】设在中添加的数字为，方程变为，再计算，根据方程有两个不相等的实数根，得，解出即可得的范围.
5．【答案】B
【知识点】扇形统计图；条形统计图；折线统计图；统计图的选择
【解析】【解答】解：∵要求直观表示出气温变化的情况，折线统计图的特点就是直观的反映变化规律，
∴应选择折线统计图．
故答案为：B．
【分析】根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点即可得答案.
6．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向上平移3个单位长度后得到直线l：，
直线l的解析式为，
当时，，因此点不在直线l上，故A选项错误；
，，
直线l经过第一、二、四象限，故B选项错误；
当时，，因此直线l与轴交于点，故C选项错误；
，
y随x的增大而减小，
当时，的最大值为，故D选项正确；
故答案为：D．
【分析】先利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减求出平移后的解析式，再利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：已知反比例函数 的图象在每个象限内， 随 的增大而减小，
根据反比例函数的性质，可得比例系数满足：
，
解得：，
故答案为：A。
【分析】根据反比例函数 （）的性质，当 时，函数在每个象限内 随 增大而减小，据此列不等式求解 的取值范围。
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
连接交于O，
∵四边形是菱形，
，
∵点、、、分别是边、、和的中点，
，，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
，
∴，
∵，，
，
，
∴四边形是矩形，
∴菱形的面积，
，
，
∴四边形的面积为3．
故答案为：A.
【分析】连接交于O，菱形性质得，再根据三角形中位线定理得互相平行，互相平行，等于，等于，进一步结合已知即可证明四边形是矩形，进而根据菱形的面积公式得，即可得，进一步得四边形的面积为3．
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解： 连接交于，连接，，
菱形的对角线互相垂直平分，因此点关于对角线的对称点为点，可得。
因此，当、、三点共线时，取得最小值，即线段的长度。
菱形中，且，因此为等边三角形。
又因为，即为中点，根据等边三角形“三线合一”的性质，可得。
在中，，，由勾股定理：
因此的最小值为，
故答案为：B。
【分析】利用菱形的轴对称性，将EM+MD转化为线段EB，再通过等边三角形和勾股定理计算出EB的长度，即为EM+MD的最小值。
10．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵点和纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线在与部分是对称的
∴若在此范围内，则可能与相等，
∴为避免，需使完全不在内，
∴或，
∴的取值范围为或，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线经过点和得对称轴为直线，根据抛物线在与部分是对称的，得在此范围内，则可能与相等，即可列表达式组，解出即可得的取值范围为或.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
延长，相交于点，与边框的交点分别为，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】延长，相交于点，与边框的交点分别为，，根据等于，等于，进一步得，，再根据三角形的内角和定理得即可.
12．【答案】12.5
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
，
∴，即，
∴．
故答案为：12.5．
【分析】由DE∥BC判定△ADE∽△ABC，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，代入已知面积与线段长度，计算得出S△ABC 的值。
13．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
且，
解得：且，
实数x的取值范围是且．
故答案为：且．
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数及分式的分母不能为零列出关于字母x的不等式组，再解该不等式组即可求出x的取值范围.
14．【答案】（1）（2）
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
连接，设，则，
，点在延长线上，
，
，
，
，
，
，故（1）正确.
，
，
，，
，
，
即，故（2）正确.
，，点在延长线上，
是线段的垂直平分线，
，
为等腰三角形，，
，，
，
，
设，则，，，，
，故（3）错误.
为等腰三角形，，
，
，
，
，且，
，
，
即，
，
，
，平分，
，
，，
，
，解得，
，故（4）错误.
故答案为：（1）（2）．
【分析】连接，设等于，则等于，根据垂线定义得等于，进一步得，根据角的和差，结合等于，得，即可得等于，可判断（1），根据等于，得，根据相等，相等，即可得，进一步得，可判断（2）正确，线段垂直平分线的性质得为等腰三角形，，即可得，设，则，，，，即，可判断（3）错误，根据等腰三角形的性质得，即可得，进一步推理得，解得，根据勾股定理即可得即可判断（4）错误.
15．【答案】2
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：依题意
消去y得， 设A B的横坐标为，则
所以
即
解得 m=2
故答案为：2.
【分析】设A，B的横坐标为，根据题意联立直线与二次函数解析式，得到一元二次方程，利用根与系数的关系可得，进而根据勾股定理，，建立方程解方程即可求解.
16．【答案】16
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
连接，，，作于点L，则，
、、分别是、、的直径，这三个圆的半径都等于10，
，，
，，
切于G，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，，，作于点L，由、、的半径都等于10，得都相等，等于10，相等，等于20，则等于，等于，根据切线的性质得垂直，即可得相等，等于，根据等于，等于，等于，求得等于，等于，再根据勾股定理可求出的长为，再根据等腰三角形性质即可得.
17．【答案】解：解得：，
∴不等式的解集是：，
把不等式的解集表示在数轴上，如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后将解集在数轴上表示出来。
18．【答案】解：（答案不唯一）．
∵，，
∴若添加，利用“”可证明；
若添加，利用“”可证明；
若添加或，利用“”可证明。
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】已知∠1=∠2和公共边AB=BA，结合全等三角形的判定定理，添加一组对应边相等或一组对应角相等的条件，即可证明△ABC △BAD。
19．【答案】解：
；
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，最后再代入字母的值进行计算．
20．【答案】（1）83；85；84.
（2）解：八（1）班的加权成绩（分），八（2）班的加权成绩（分），
八（3）班的加权成绩（分），
，
∴八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名.
（3）解：根据数据发现，排名最后的班级的动作标准方面得分偏低，
∴加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础.
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
八（1）班的平均分为：83（分），
八（2）班的平均分为：85（分），
八（3）班的平均分为：84（分），
故答案为：83；85；84.
【分析】（1）根据算算术平均数的计算公式，代入表中数据进行计算得答案.
（2）根据加权平均数的公式结合表格数据计算出平均数，再比较大小即可得这三个班的成绩排名顺序.
（3）根据数据发现，排名最后的班级的动作标准方面得分偏低，加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础.
（1）解：八（1）班的平均分为：83（分），
八（2）班的平均分为：85（分），
八（3）班的平均分为：84（分），
故答案为：83，85，84；
（2）解：八（1）班的加权成绩（分），
八（2）班的加权成绩（分），
八（3）班的加权成绩（分），
，
∴八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名；
（3）解：加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础．
21．【答案】（1）解：把点A的坐标分别代入与，得：，，解得：.
∴m，k的值为-3，2.
（2）解：∵，
∴，，
当时，
∴，解得或2，
∴
∴.
（3）解：∵，
∴在第一象限内，随x的增大而增大，随x的增大而减小，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交，
∴当时，.
∴当时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把点A分别代入与，求解即可得m，k的值.
（2）根据，求出函数解析式，再联立一次函数解析式和反比例函数解析式，解得或2，即可求出，进一步得B点坐标.
（3）根据一次函数和反比例函数的性质得在第一象限内，随x的增大而增大，随x的增大而减小，再根据交点A，得当时，，即可得当时，．
（1）把点A的坐标分别代入与，得
，，
∴；
（2）∵，
∴，，
令，即，
解得或2，
此时，
∴；
（3）∵，
∴在第一象限内，随x的增大而增大，随x的增大而减小，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A点，
∴当时，，
∴当时，．
22．【答案】（1）；
（2）解：依题意得：
，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（千克），
答：第一次购进水果的重量为120千克，第二次购进水果的重量为180千克．
【知识点】分式方程的实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：设第一次购进水果的重量为千克，根据题意得：
第二次购进水果的重量为千克，
第一次购进水果的单价为元/千克，
故答案为：；．
【分析】（1）设第一次购进水果的重量为千克，根据题目情景即可得第二次购进水果的重量，第一次购进水果的单价.
（2）根据题目情景找出等量关系，根据等量关系列出方程，解出即可得答案.
（1）解：设第一次购进水果的重量为千克，
则第二次购进水果的重量为千克，第一次购进水果的单价为元/千克，
故答案为：；．
（2）依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（千克），
答：第一次购进水果的重量为120千克，第二次购进水果的重量为180千克．
23．【答案】解：（1）①证明：如图2，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴．
②的值为，理由如下：
∵，
∴，
∴的值为．
（2）（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立，理由如下：
如图1，
∵，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵点D不在直线上，
∴，
∴，
∴与不垂直，
∴（1）①中的结论不成立，
∵，
∴，
∴的值为，
∴（1）②中的结论成立．
（3）①存在，点M是的中点，恒成立 ，理由如下：
如图3，
连接、，作于点M，则，
∵点O是正方形的中心，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，且，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴边上存在使恒成立的点M，点M为的中点．
②如图3，
∵，
∴，
∴点F在经过点C且与垂直的直线上运动，
作交的延长线于点P，则，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点P与点F重合时，的值最小，此时y取得最小值，
如图4，点P与点F重合，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点E与点C重合，
∴，即，
∴当点E在点B的右侧，且时，y的值最小，最小值为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①根据相等，等于，相等，相等，得等于，等于，即可得相等，等于，即可得相等，等于减去，可证明相似，根据相似性质得相等，等于，即可证明垂直.
②根据相似性质，结合相似得即可.
（2）据相等，等于，相等，相等，得等于，等于，即可得相等，等于，即可得相等，等于减去，可证明相似，根据相似性质得相等，因为，所以，则与不垂直，可知（1）①中的结论不成立，因为等于，所以（1）②中的结论成立.
（3）①连接、，作垂直于点M，可证明相等，等于，即可得相等，则等于，等于，根据相等，等于，可得等于，等于，即可得等于，相等，可证明相似，根据相似性质得等于，则等于，即可得边上存在使等于恒成立的点M，点M为的中点．
②根据等于，作垂直交的延长线于点P，求得相等，可求出等于，等于，当点P与点F重合时，的值最小，此时y取得最小值，由点E与点C重合，得，所以当点E在点B的右侧，且时，y的值最小，最小值为．
24．【答案】（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上，
∴，解得：，
∴a的值为.
（2）解：不能，理由如下：
∵
∴抛物线解析式为：，
∵该楼距离地面21米处出现一个起火点，
∴代入抛物线中，得：，解得：，
∴，，
∴消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点.
（3）解：∵伸缩臂与水平方向的夹角为，且，设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米．则长伸缩臂后新抛物线的解析式为：，
当时， ，即，
解得：，
当时，，伸缩臂长为米，
∵，符合题意．
当时，，伸缩臂长为米，
∵>10， 不符合题意，舍去．
∴伸缩臂应伸长米．
【知识点】解直角三角形；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据喷水口在抛物线上，列方程，解出即可得a的值．
（2）根据该楼距离地面21米处出现一个起火点，得，解出，即可得消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点.
（3）伸缩臂与水平方向的夹角为，且，设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米，可得伸缩臂后新抛物线的解析式为：，当时， ，解得
，当时，，伸缩臂长为米，当时，，伸缩臂长为米，即可得答案.
（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上，
代入中得，
，
解得：；
（2）解：不能，理由如下：
∵
∴抛物线解析式为：
∵该楼距离地面21米处出现一个起火点，
∴代入抛物线中，
得：，
整理：
解得：，
∴，
∴消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点；
（3）解：∵伸缩臂与水平方向的夹角为，且，
设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米．
则长伸缩臂后新抛物线的解析式为：，
根据题意得：
当时， ，即，
解得：，
当时，，伸缩臂长为米，
∵，符合题意．
当时，，伸缩臂长为米，
∵>10， 不符合题意，舍去．
故伸缩臂应伸长米．
25．【答案】（1）等边
（2）解：四边形为正方形，
，，
根据折叠的性质可得，，，
，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
在中，，
，
，
，即正方形的边长为；
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：四边形为正方形，
，，
根据折叠的性质可得，，，
，
，
，
，
，
为的中点，，
为的中点，，
，
，
为等边三角形；
故答案为：等边；
（3）解：设，
若，
，
，，
设，则，
，
，
，
整理得：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】（1）利用正方形与折叠的性质，结合平行线的性质证明三角形三边相等，判定△PMN 为等边三角形；
（2）通过折叠性质和 HL 全等证明 MQ=CQ，再利用相似三角形和勾股定理求出线段长度，进而得到正方形边长；
（3）设参数表示相关线段，利用面积法建立方程，整理化简后得到 CQ 与 BC 的比值。
（1）解：四边形为正方形，
，，
根据折叠的性质可得，，，
，
，
，
，
，
为的中点，，
为的中点，，
，
，
为等边三角形；
故答案为：等边；
（2）解：四边形为正方形，
，，
根据折叠的性质可得，，，
，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
在中，，
，
，
，即正方形的边长为；
（3）解：设，
若，
，
，，
设，则，
，
，
，
整理得：，
，
，
．
故答案为：．
1 / 1广东广州市南武实验学校 2025-2026学年九年级下学期3月综评数学试题
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数，A不符合题意；
B、=2是分数，属于有理数，B不符合题意；
C、=-3是整数，属于有理数，C不符合题意；
D、是无理数，D不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据有理数、无理数的定义及无理数的常见形式进行求解即可.
2．将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可得到的立体图形是（　　）
A． B．\
C． D．
【答案】B
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：将一个直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周，所形成的几何体是圆锥，
故答案为：B．
【分析】根据将一个直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周所形成的几何体是圆锥即可得答案.
3．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故A错误.
B．，故B错误.
C．，故C错误.
D．，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据二次根式的加减，二次根式的化简，同底数幂的乘法，积的乘方分别计算各选项如下
，，，即可得答案.
4．已知方程，在中添加个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是（　　）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：设在中添加的数字为，方程化为：，
∴，
方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，
可添加的数字为．
故答案为：B．
【分析】设在中添加的数字为，方程变为，再计算，根据方程有两个不相等的实数根，得，解出即可得的范围.
5．某地区上半年每月的平均气温依次是，，，，，．为了表示气温变化的情况，可以把上述数据绘制成（　　）
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图
【答案】B
【知识点】扇形统计图；条形统计图；折线统计图；统计图的选择
【解析】【解答】解：∵要求直观表示出气温变化的情况，折线统计图的特点就是直观的反映变化规律，
∴应选择折线统计图．
故答案为：B．
【分析】根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点即可得答案.
6．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后得到直线l：，对于直线l，下列判断正确的是（　　）
A．点在直线l上 B．直线l不经过第四象限
C．直线l与轴交于点 D．当时，的最大值为
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向上平移3个单位长度后得到直线l：，
直线l的解析式为，
当时，，因此点不在直线l上，故A选项错误；
，，
直线l经过第一、二、四象限，故B选项错误；
当时，，因此直线l与轴交于点，故C选项错误；
，
y随x的增大而减小，
当时，的最大值为，故D选项正确；
故答案为：D．
【分析】先利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减求出平移后的解析式，再利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
7．若函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增小，则m的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：已知反比例函数 的图象在每个象限内， 随 的增大而减小，
根据反比例函数的性质，可得比例系数满足：
，
解得：，
故答案为：A。
【分析】根据反比例函数 （）的性质，当 时，函数在每个象限内 随 增大而减小，据此列不等式求解 的取值范围。
8．如图，菱形的面积为6，E，F，G，H分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（　　）
A．3 B．3.5 C．5 D．5.5
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
连接交于O，
∵四边形是菱形，
，
∵点、、、分别是边、、和的中点，
，，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
，
∴，
∵，，
，
，
∴四边形是矩形，
∴菱形的面积，
，
，
∴四边形的面积为3．
故答案为：A.
【分析】连接交于O，菱形性质得，再根据三角形中位线定理得互相平行，互相平行，等于，等于，进一步结合已知即可证明四边形是矩形，进而根据菱形的面积公式得，即可得，进一步得四边形的面积为3．
9．如图，菱形的周长为16，，为的中点，为上任意一点，则的最小值为（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解： 连接交于，连接，，
菱形的对角线互相垂直平分，因此点关于对角线的对称点为点，可得。
因此，当、、三点共线时，取得最小值，即线段的长度。
菱形中，且，因此为等边三角形。
又因为，即为中点，根据等边三角形“三线合一”的性质，可得。
在中，，，由勾股定理：
因此的最小值为，
故答案为：B。
【分析】利用菱形的轴对称性，将EM+MD转化为线段EB，再通过等边三角形和勾股定理计算出EB的长度，即为EM+MD的最小值。
10．抛物线经过四点，且，若存在正数，使得当时，总有成立，则正数的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵点和纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线在与部分是对称的
∴若在此范围内，则可能与相等，
∴为避免，需使完全不在内，
∴或，
∴的取值范围为或，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线经过点和得对称轴为直线，根据抛物线在与部分是对称的，得在此范围内，则可能与相等，即可列表达式组，解出即可得的取值范围为或.
11．如图，直线a，b所成的角跑到画板外面了．已知，则直线a，b所形成的锐角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
延长，相交于点，与边框的交点分别为，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】延长，相交于点，与边框的交点分别为，，根据等于，等于，进一步得，，再根据三角形的内角和定理得即可.
12．如图，在中，点D，E分别在边，上，且，若，，的面积是2，则的面积是　 　．
【答案】12.5
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
，
∴，即，
∴．
故答案为：12.5．
【分析】由DE∥BC判定△ADE∽△ABC，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，代入已知面积与线段长度，计算得出S△ABC 的值。
13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
且，
解得：且，
实数x的取值范围是且．
故答案为：且．
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数及分式的分母不能为零列出关于字母x的不等式组，再解该不等式组即可求出x的取值范围.
14．如图，在中，，平分，于点，，点在上，连接，，延长交于，，下列结论中：（1）；（2）；（3）；（4）若，则．以上结论正确的序号　 　 ．
【答案】（1）（2）
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
连接，设，则，
，点在延长线上，
，
，
，
，
，
，故（1）正确.
，
，
，，
，
，
即，故（2）正确.
，，点在延长线上，
是线段的垂直平分线，
，
为等腰三角形，，
，，
，
，
设，则，，，，
，故（3）错误.
为等腰三角形，，
，
，
，
，且，
，
，
即，
，
，
，平分，
，
，，
，
，解得，
，故（4）错误.
故答案为：（1）（2）．
【分析】连接，设等于，则等于，根据垂线定义得等于，进一步得，根据角的和差，结合等于，得，即可得等于，可判断（1），根据等于，得，根据相等，相等，即可得，进一步得，可判断（2）正确，线段垂直平分线的性质得为等腰三角形，，即可得，设，则，，，，即，可判断（3）错误，根据等腰三角形的性质得，即可得，进一步推理得，解得，根据勾股定理即可得即可判断（4）错误.
15．若直线与二次函数的图象交于、两点，且线段，则　 　．
【答案】2
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：依题意
消去y得， 设A B的横坐标为，则
所以
即
解得 m=2
故答案为：2.
【分析】设A，B的横坐标为，根据题意联立直线与二次函数解析式，得到一元二次方程，利用根与系数的关系可得，进而根据勾股定理，，建立方程解方程即可求解.
16．如图，是线段上两点，分别是、、的直径，这三个圆的半径都等于10，设切于G，且交于，则弦的长为　 　．
【答案】16
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
连接，，，作于点L，则，
、、分别是、、的直径，这三个圆的半径都等于10，
，，
，，
切于G，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，，，作于点L，由、、的半径都等于10，得都相等，等于10，相等，等于20，则等于，等于，根据切线的性质得垂直，即可得相等，等于，根据等于，等于，等于，求得等于，等于，再根据勾股定理可求出的长为，再根据等腰三角形性质即可得.
17．解不等式组：并把它的解集表示在数轴上．
【答案】解：解得：，
∴不等式的解集是：，
把不等式的解集表示在数轴上，如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后将解集在数轴上表示出来。
18．如图，在和中，与交于点O，，请你再添加—个条件：______，使得，并说明理由．
【答案】解：（答案不唯一）．
∵，，
∴若添加，利用“”可证明；
若添加，利用“”可证明；
若添加或，利用“”可证明。
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】已知∠1=∠2和公共边AB=BA，结合全等三角形的判定定理，添加一组对应边相等或一组对应角相等的条件，即可证明△ABC △BAD。
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，最后再代入字母的值进行计算．
20．在学校举行的一次广播操比赛中，八年级三个班的各项得分（单位：分）如表．
班别 服装统一 动作整齐 动作标准
八（1）班 80 84 85
八（2）班 97 78 80
八（3）班 90 77 85
（1）根据表中信息，三个班得分的平均数分别是________ 、________、________．
（2）如果服装统一、动作整齐、动作标准三方面的重要性分别占，，，求这三个班的成绩排名顺序．
（3）在（2）的条件下，你对三个班级中排名最后的班级有何建议？
【答案】（1）83；85；84.
（2）解：八（1）班的加权成绩（分），八（2）班的加权成绩（分），
八（3）班的加权成绩（分），
，
∴八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名.
（3）解：根据数据发现，排名最后的班级的动作标准方面得分偏低，
∴加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础.
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
八（1）班的平均分为：83（分），
八（2）班的平均分为：85（分），
八（3）班的平均分为：84（分），
故答案为：83；85；84.
【分析】（1）根据算算术平均数的计算公式，代入表中数据进行计算得答案.
（2）根据加权平均数的公式结合表格数据计算出平均数，再比较大小即可得这三个班的成绩排名顺序.
（3）根据数据发现，排名最后的班级的动作标准方面得分偏低，加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础.
（1）解：八（1）班的平均分为：83（分），
八（2）班的平均分为：85（分），
八（3）班的平均分为：84（分），
故答案为：83，85，84；
（2）解：八（1）班的加权成绩（分），
八（2）班的加权成绩（分），
八（3）班的加权成绩（分），
，
∴八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名；
（3）解：加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础．
21．已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，点A的坐标为．
（1）求m，k的值；
（2）求B点坐标；
（3）当时，结合图像比较与的大小．
【答案】（1）解：把点A的坐标分别代入与，得：，，解得：.
∴m，k的值为-3，2.
（2）解：∵，
∴，，
当时，
∴，解得或2，
∴
∴.
（3）解：∵，
∴在第一象限内，随x的增大而增大，随x的增大而减小，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交，
∴当时，.
∴当时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把点A分别代入与，求解即可得m，k的值.
（2）根据，求出函数解析式，再联立一次函数解析式和反比例函数解析式，解得或2，即可求出，进一步得B点坐标.
（3）根据一次函数和反比例函数的性质得在第一象限内，随x的增大而增大，随x的增大而减小，再根据交点A，得当时，，即可得当时，．
（1）把点A的坐标分别代入与，得
，，
∴；
（2）∵，
∴，，
令，即，
解得或2，
此时，
∴；
（3）∵，
∴在第一象限内，随x的增大而增大，随x的增大而减小，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A点，
∴当时，，
∴当时，．
22．某水果店老板用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的重量是第一次购进水果的重量的倍，设第一次购进水果的重量为千克，
（1）用含的式子表示：第一次购进水果的单价为 元/千克，第二次购进水果的重量为 千克；
（2）该水果店老板两次购进水果各多少千克
【答案】（1）；
（2）解：依题意得：
，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（千克），
答：第一次购进水果的重量为120千克，第二次购进水果的重量为180千克．
【知识点】分式方程的实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：设第一次购进水果的重量为千克，根据题意得：
第二次购进水果的重量为千克，
第一次购进水果的单价为元/千克，
故答案为：；．
【分析】（1）设第一次购进水果的重量为千克，根据题目情景即可得第二次购进水果的重量，第一次购进水果的单价.
（2）根据题目情景找出等量关系，根据等量关系列出方程，解出即可得答案.
（1）解：设第一次购进水果的重量为千克，
则第二次购进水果的重量为千克，第一次购进水果的单价为元/千克，
故答案为：；．
（2）依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（千克），
答：第一次购进水果的重量为120千克，第二次购进水果的重量为180千克．
23．综合与实践
某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程：
如图1，和是共顶点的等腰直角三角形，．
问题初探
（1）如图2，当点D在直线上时，
①求证：．
②推断：与的比值．
问题深入
（2）当点D不在直线上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图1说明理由．
问题解决
（3）如图3，点O是正方形的中心，点E在直线上运动，连接，过点E作，且，连接，．
①正方形的边上是否存在一点M，使恒成立？若存在，直接写出点M的位置；若不存在，说明理由．
②连接，若正方形的边长为4，设，，当x为何值时，y的值最小，最小值为多少？
【答案】解：（1）①证明：如图2，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴．
②的值为，理由如下：
∵，
∴，
∴的值为．
（2）（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立，理由如下：
如图1，
∵，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵点D不在直线上，
∴，
∴，
∴与不垂直，
∴（1）①中的结论不成立，
∵，
∴，
∴的值为，
∴（1）②中的结论成立．
（3）①存在，点M是的中点，恒成立 ，理由如下：
如图3，
连接、，作于点M，则，
∵点O是正方形的中心，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，且，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴边上存在使恒成立的点M，点M为的中点．
②如图3，
∵，
∴，
∴点F在经过点C且与垂直的直线上运动，
作交的延长线于点P，则，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点P与点F重合时，的值最小，此时y取得最小值，
如图4，点P与点F重合，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点E与点C重合，
∴，即，
∴当点E在点B的右侧，且时，y的值最小，最小值为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①根据相等，等于，相等，相等，得等于，等于，即可得相等，等于，即可得相等，等于减去，可证明相似，根据相似性质得相等，等于，即可证明垂直.
②根据相似性质，结合相似得即可.
（2）据相等，等于，相等，相等，得等于，等于，即可得相等，等于，即可得相等，等于减去，可证明相似，根据相似性质得相等，因为，所以，则与不垂直，可知（1）①中的结论不成立，因为等于，所以（1）②中的结论成立.
（3）①连接、，作垂直于点M，可证明相等，等于，即可得相等，则等于，等于，根据相等，等于，可得等于，等于，即可得等于，相等，可证明相似，根据相似性质得等于，则等于，即可得边上存在使等于恒成立的点M，点M为的中点．
②根据等于，作垂直交的延长线于点P，求得相等，可求出等于，等于，当点P与点F重合时，的值最小，此时y取得最小值，由点E与点C重合，得，所以当点E在点B的右侧，且时，y的值最小，最小值为．
24．综合与实践
为了提升高楼火灾灭火技能，某消防大队选择了一个废弃的高楼进行演练；以大楼起火侧面所在直线为y轴，水平地面为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．已知消防车喷水口在距离大楼起火侧面16米、高4米的点G处，喷出的水流形状是抛物线的一部分．
（1）求a的值．
（2）若该楼距离地面21米处出现一个起火点，此时喷出的水流能否灭掉该起火点？
（3）若火势蔓延到距离地面36米处，于是消防车打算采用伸长伸缩臂的方法灭火，阻止火势进一步蔓延，已知伸缩臂与水平方向的夹角为，且，伸缩臂伸长不超过10米，且喷出的水流形状与原来一样，则伸缩臂应伸长多少米？
（提示：伸长伸缩臂相当于将喷水口先向左平移，再向上平移）
【答案】（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上，
∴，解得：，
∴a的值为.
（2）解：不能，理由如下：
∵
∴抛物线解析式为：，
∵该楼距离地面21米处出现一个起火点，
∴代入抛物线中，得：，解得：，
∴，，
∴消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点.
（3）解：∵伸缩臂与水平方向的夹角为，且，设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米．则长伸缩臂后新抛物线的解析式为：，
当时， ，即，
解得：，
当时，，伸缩臂长为米，
∵，符合题意．
当时，，伸缩臂长为米，
∵>10， 不符合题意，舍去．
∴伸缩臂应伸长米．
【知识点】解直角三角形；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据喷水口在抛物线上，列方程，解出即可得a的值．
（2）根据该楼距离地面21米处出现一个起火点，得，解出，即可得消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点.
（3）伸缩臂与水平方向的夹角为，且，设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米，可得伸缩臂后新抛物线的解析式为：，当时， ，解得
，当时，，伸缩臂长为米，当时，，伸缩臂长为米，即可得答案.
（1）解：根据题意得喷水口在抛物线上，
代入中得，
，
解得：；
（2）解：不能，理由如下：
∵
∴抛物线解析式为：
∵该楼距离地面21米处出现一个起火点，
∴代入抛物线中，
得：，
整理：
解得：，
∴，
∴消防车需要再向前行进米或米才能灭掉该起火点；
（3）解：∵伸缩臂与水平方向的夹角为，且，
设伸长伸缩臂后将出水口向左平移米，再向上平移米．
则长伸缩臂后新抛物线的解析式为：，
根据题意得：
当时， ，即，
解得：，
当时，，伸缩臂长为米，
∵，符合题意．
当时，，伸缩臂长为米，
∵>10， 不符合题意，舍去．
故伸缩臂应伸长米．
25．折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
（1）操作判断：
在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图，当为中点时，是______三角形．
（2）迁移探究：
如图，若，且，求正方形的边长．
（3）拓展应用：
如图，若，直接写出的值为______．
【答案】（1）等边
（2）解：四边形为正方形，
，，
根据折叠的性质可得，，，
，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
在中，，
，
，
，即正方形的边长为；
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：四边形为正方形，
，，
根据折叠的性质可得，，，
，
，
，
，
，
为的中点，，
为的中点，，
，
，
为等边三角形；
故答案为：等边；
（3）解：设，
若，
，
，，
设，则，
，
，
，
整理得：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】（1）利用正方形与折叠的性质，结合平行线的性质证明三角形三边相等，判定△PMN 为等边三角形；
（2）通过折叠性质和 HL 全等证明 MQ=CQ，再利用相似三角形和勾股定理求出线段长度，进而得到正方形边长；
（3）设参数表示相关线段，利用面积法建立方程，整理化简后得到 CQ 与 BC 的比值。
（1）解：四边形为正方形，
，，
根据折叠的性质可得，，，
，
，
，
，
，
为的中点，，
为的中点，，
，
，
为等边三角形；
故答案为：等边；
（2）解：四边形为正方形，
，，
根据折叠的性质可得，，，
，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
在中，，
，
，
，即正方形的边长为；
（3）解：设，
若，
，
，，
设，则，
，
，
，
整理得：，
，
，
．
故答案为：．
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