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4月下旬之方程与不等式—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．《算法统宗》书中原文为：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问甜、苦果各有几个？设甜果x个，苦果y个，列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
2．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；弧生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢 瓜、瓠各长几何 大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的胡芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少 (注：1尺=10寸)设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，则下列方程组正确的是(　　)
A． B．
C． D．
3． 《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，问木长多少？”设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
4．古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降.某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米.设从开始到水深变为20厘米共经过t小时，则下列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
5．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步 ”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步 ”设长为x步，则下列方程正确的是（　　）
A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864
C．x（12-x）=864 D．2（x+x+12）=864
6．我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念.在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼.已知每卷彩纸可制作福袋40个或灯笼25个，且每卷彩纸只能做其中的一种.现有36卷彩纸，完成后打算将2个福袋和1个灯笼配成一套礼物送给父母.最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套.设做福袋用了x卷彩纸，做灯笼用了y卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售(不计分割损耗).已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克.若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为(　　)
A．25% B．30% C．35% D．40%
8．已知实数a，b满足a-b-1=0，0A．-1 B．-4 C．-5 D．-9
9．研究15、12、10这三个数的倒数发现：我们称15、12、10这三个数为一组调和数.现有一组调和数：x、8、5（x>8），则x的值是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
10．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题，其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少 设共有m人， n辆车，下列四个方程： ①3(n-2)=2n+9； ②3(n+2)=2n-9； 其中符合题意的是(　　)
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
二、填空题
11． 若∠A为锐角，且满足，则∠A的度数为　 　.
12．若一个两位数十位上的数字是m，个位上的数字是n，则这个两位数可记作 即 已知 则两位数 的数值是　 　.
13．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是 则方程 =0是“邻根方程”.若关于x的方程 是“邻根方程”，令 则 t的最大值是　 　．
14．《九章算术》中有这样一个问题：今有共买金，人出两百，盈二千四百；人出一百，盈五百.问人数，金价各几何 其大意是：假设合伙买金，每人出200钱，则多出2400 钱；每人出 100钱，则多出500钱.则合伙买金人共有　 　人.
15．若x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，且 （k是整数)，则称方程 =0为“偶根方程”.若 是“偶根方程”，则常数m可以是　 　.（写出一个符合条件的值即可)
三、解答题
16．如果一元一次不等式组无解，求m的取值范围.
17． 解方程：
小江同学：
解一元二次方程 时，小江同学的解法如图所示：
（1）你认为 是原方程的解吗 请检验(写出检验过程)：
（2）请选择合适的方法解原方程．
18．在用配方法解方程时，小颖的解法如图：
第一步：移项，得． 第二步：配方，得， 即 ． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以，
请回答：
（1）小颖的解答过程从第　 　步开始出现错误；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
19． 【阅读理解】同学们，我们来探索利用不等式的基本性质来确定代数式的取值范围的方法.例如，解答“已知a-b=6， a>5， b<3，试确定a+b的范围”.
小明的解题过程如图所示.
【尝试探究】参考小明的方法，解答下面的问题：
（1）已知x-y=5， x>2， y<0，求x+y的取值范围.
（2）已知x+y=8， x≥5， y>1，求x-y的取值范围.
20．先阅读下面的解题过程，然后解题．
已知，试比较与的大小．
解：∵，
∴．第一步
故．第二步
（1）上述解题过程中，从第　 　步开始出现错误，错误的原因是　 　．
（2）请写出正确的解题过程．
21．【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法.以解方程 为例：将原方程整理可得：x(x+2)=35，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形，此时大正方形的面积是(x+x+2)2，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得： 得正整数解为x=5．
【应用体验】小明用此方法解关于x的方程 已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为　 　．
22．为迎接第16届体艺文化节，重庆外国语学校在广告公司制作一批吉祥物，该公司由甲乙两组共同完成制作任务，乙组每天完成的件数是甲组的1.5倍，甲组完成2400个吉祥物比乙组完成2160个吉祥物多用2天．
（1）甲、乙两组每天各完成多少个吉祥物？
（2）学校两校区共需要制作13296个吉祥物．为加快进度，甲组每天完成的个数比（1）中多完成20m个，乙组每天完成的个数也比（1）中增加了，因考虑运送等问题，该广告公司完成任务的时间不超过8天，则m的值至少为多少？
23．每年3月1日至6月30日为我国个人所得税综合所得年度汇算清缴期.开展个税汇算，有利于纳税人准确计算全年实际应纳个人所得税，通过专项附加扣除（子女教育、赡养老人、住房贷款利息等）依法享受税收优惠，多退少补，切实维护纳税人合法权益，促进税负公平.
材料一：全年应纳税所得额=全年税前综合收入（不包括三险一金，且后文中的提到税前综合收入均不包括三险一金）—60000元（基本减除费用）—专项附加扣除.应纳税额=全年应纳税所得额×适用税率一速算扣除数.
居民个人综合所得税率表（部分）
全年应纳税所得额 税率（%） 速算扣除数
不超过36000元的 3 0
超过36000元至144000元的 10 2520
超过144000元至300000元的 20 16920
居民全年一次性奖金税率表（部分）
全年一次性奖金 税率（%） 速算扣除数
不超过36000元的 3 0
超过36000元至.144000元的 10 210
超过144000元至300000元的 20 1410
材料二：根据财政部的政策，至2027年12月31日之前，居民个人取得的全年一次性奖金可以选择并入当年的综合收入，也可以选择单独计算纳税.如果单独计算纳税，全年一次性奖金的税额计算公式为：全年一次性奖金应纳税额=全年一次性奖金收入×适用税率一速算扣除数.
例如，小张全年税前综合收入为120000元，其中全年一次性奖金20000元，无专项附加扣除，若小张选择合并计税，则应纳税额=（120000-60000）×10%-2520=3480元；若小张选择单独计税，则应纳税额=（120000-60000-20000）×10%-2520+20000×3%=2080元.材料三：为兼顾不同家庭的实际负担，个税设置专项附加扣除，其中子女教育专项附加扣除额度为24000元，夫妻可协商分配扣除额度，选择各50%，或者一方100%扣除.
（1）小李全年税前综合收入为150000元，其中全年一次性奖金36000元，专项附加扣除有额度60000元，试通过计算，为小李选择纳税最少的计税方式.
（2）应届本科毕业生小王，无专项附加扣除.经过对比，小王发现自己最优全年纳税额为1500元.已知其全年一次性奖金不低于10000元但不超过36000元，试问小王的税前年综合收入范围是多少
（3）小陈、小丽夫妻有一女儿正在读初中，夫妻俩税前年综合收入均为12万元，小陈全年一次性奖金10000元，小丽全年一次性奖金30000元，除子女教育外均无其他专项附加扣除.小丽觉得大家收入都相同，应该平摊子女教育的额度，但是小陈反对，认为自己全部扣除更加合理.从家庭综合收入的角度考虑，请你通过计算说明谁的方式更合理.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甜果x个，苦果y个，则一个甜果为文，一个苦果为文，根据题意，
得.
故选：A.
【分析】 设甜果x个，苦果y个， 再根据“ 九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个 ”列方程组解答.
2．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： ∵1尺=10寸，
∴高9尺就是90寸，
所以
故选： D.
【分析】设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度90寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解.
3．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设木长x尺，绳长y尺，根据题意可列方程组，
故答案为：D.
【分析】设木长x尺，绳长y尺，根据“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺”列二元一次方程解答即可．
4．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设从开始到水深变为20厘米共经过t小时， 列方程为 ，
故答案为：D.
【分析】设从开始到水深变为20厘米共经过t小时，根据“ 水匀速滴出，水位均匀下降.某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米 ”列分式方程即可解答.
5．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可列方程为．
故答案为：A.
【分析】设长为步，则宽为步，利用矩形面积公式列方程解答即可．
6．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：B.
【分析】根据现有36卷彩纸，完成后打算将2个福袋和1个灯笼配成一套礼物送给父母，列出二元一次方程组即可.
7．【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
8．【答案】B
【知识点】不等式的性质；利用不等式的性质解简单不等式；一元一次不等式的含参问题
9．【答案】D
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：由题意，，
解得 ，
经检验，是原方程的解，符合题意，
因此x的值为20.
故答案为：20.
【分析】根据数定义的运算法则列方程求出x的值解答即可.
10．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有人，辆车．
对于“每3人坐一辆车，有2辆空车”：实际使用的车辆数为，因此人数；
对于“每2人坐一辆车，有9人步行”：实际乘车人数为，因此车辆数，即，
所以，故①正确，②错误．
“每3人坐一辆车，有2辆空车”：总车数；“每2人坐一辆车，有9人步行”：总车数，
所以，故③正确，④错误．
综上，符合题意的是①③，
故答案为：A .
【分析】根据两种乘车方式下车数与人数的关系，从而建立方程解答即可．
11．【答案】30°
【知识点】因式分解法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：将原等式移项得：，
方程两边同乘得：，
因式分解得：，
解得或．
因为为锐角，满足，当时，，不符合锐角定义，舍去．
当时，
∴．
故答案为：30° .
【分析】解关于sinA的一元二次方程，然后根据正弦的取值范围得到，即可根据特殊角的三角函数值解答即可.
12．【答案】63
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，即a-b=3，
又∵2a+b=15，
解得a=6，b=3，
∴ 两位数 的数值是63，
故答案为：63.
【分析】根据两位数的表示方法得到a-b=3，然后解关于a，b的二元一次方程组求出a，b的值解答即可.
13．【答案】9
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值
【解析】【解答】解：设、是方程的两根，
解得，，
∵原方程是“邻根方程”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为9．
故答案为：9．
【分析】根据“邻根方程”的定义可得，代入，得到t关于a的二次函数，配方得到顶点式求出最大值解答．
14．【答案】19
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设合伙买金人数共有x人，由题意可得：
，
解得，
即合伙买金人数共有19人．
故答案为：19 .
【分析】设合伙买金人数共有x人，根据“ 每人出200钱，则多出2400 钱；每人出 100钱，则多出500钱 ”列方程，求出x的值解答即可．
15．【答案】(答案不唯一)
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
16．【答案】解：由，得：，
∵一元一次不等式组无解，
∴．
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】解第一个不等式求出解集，再根据不等式组无解得到关于m的不等式解答即可.
17．【答案】（1）解：不是原方程的解，
当x=1时，左边=1× (1-2) =-1；
右边=3
∵左边≠右边
∴x=1 不是原方程的解
（2）解：
x-1=2或x-1=-2
【知识点】配方法解一元二次方程；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【分析】(1)根据题意，将x=1代入方程进行计算即可；
(2)先添加一次项系数一半的平方，然后左边写成完全平方式，再利用直接开平方法解答即可.
18．【答案】（1）二
（2）解：
或
∴，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据解答过程逐步检验解答即可；
（2）先移项，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式，再开平方解方程即可．
19．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
②，
得，；
（2）解：，
，
，
，
，
，
①，
，
，
②，
得，．
【知识点】解二元一次方程；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）利用题目中的关系式求出x和y的取值范围，然后相加解答即可；
（2）利用题目中的关系式求出x和-y的取值范围，然后相加解答即可.
20．【答案】（1）一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变
（2）解：∵a>b，
∴-2026a<-2026b
∴-2026a+1<-2026b+1.
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变
故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变.
【分析】(1)由题意a>b，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断；
(2)正确的运用不等式的性质解题即可得到答案.
21．【答案】2
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：
如图，
由题意得：
解得：
即该方程的正整数解为2，
故答案为：2.
【分析】构造图形，根据大正方形的面积为81，列出一元二次方程，解方程即可.
22．【答案】（1）解：设甲组每天完成x个吉祥物，则乙组每天完成1.5x个吉祥物，
由题意得：2，
解得：x＝480，
经检验，x＝480是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×480＝720，
答：甲组每天完成480个吉祥物，乙组每天完成720个吉祥物；
（2）解：由题意得：（480+20m）×8+720（1m%）×8≥13296，
解得：m≥15，
∴m的最小值为15，
答：m的值至少为15．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
23．【答案】（1）解：分别计算两种计税方式的总应纳税额，再比较大小，
合并计税：全年应纳税所得额（元），
∵，
∴适用税率，速算扣除数，则应纳税额（元），
单独计税：综合部分应纳税所得额（元），综合部分应纳税额为，全年一次性奖金元，适用税率，速算扣除数，奖金应纳税额（元），
总应纳税额（元），
因为，
所以合并计税纳税更少，
答：选择合并计税方式；
（2）解：设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为，
单独计税时，奖金应纳税额为，综合部分应纳税所得额为，
当时，，
总应纳税额满足：，
整理得，代入的范围得，
当时，，
总应纳税额满足：，
整理得，解得，
综上，小王税前年综合收入满足，
答：小王的税前年综合收入不低于元，不高于元；
（3）解：子女教育总扣除额度为元，分别计算两种扣除方式的家庭总纳税额：
第一种：平摊扣除，两人各扣除元，
计算小陈税额：小陈总收入元，奖金元，工资部分元，综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小陈总税额（元），
计算小丽税额：小丽总收入元，奖金元，工资部分元，
综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小丽总税额（元），
家庭总税额（元）；
第二种：小陈全额扣除元，小丽不扣除，
计算小陈税额：
综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小陈总税额（元），
计算小丽税额：综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小丽总税额（元），
家庭总税额（元），
因为，
所以小陈的方式下家庭总纳税额更少，
答：小陈的方式更合理．
【知识点】一元一次不等式的应用；有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】
（）根据纳税额计算公式，计算两种方案的总纳税额，比较大小解答即可；
（）设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为，求出不同方案的总纳税额， 从而计算满足条件的收入取值范围解答即可；
（）根据纳税额计算公式，分别求出不同方案的总纳税额，比较大小解答即可．
1 / 14月下旬之方程与不等式—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．《算法统宗》书中原文为：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问甜、苦果各有几个？设甜果x个，苦果y个，列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甜果x个，苦果y个，则一个甜果为文，一个苦果为文，根据题意，
得.
故选：A.
【分析】 设甜果x个，苦果y个， 再根据“ 九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个 ”列方程组解答.
2．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；弧生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢 瓜、瓠各长几何 大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的胡芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少 (注：1尺=10寸)设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，则下列方程组正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： ∵1尺=10寸，
∴高9尺就是90寸，
所以
故选： D.
【分析】设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度90寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解.
3． 《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，问木长多少？”设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设木长x尺，绳长y尺，根据题意可列方程组，
故答案为：D.
【分析】设木长x尺，绳长y尺，根据“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺”列二元一次方程解答即可．
4．古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降.某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米.设从开始到水深变为20厘米共经过t小时，则下列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设从开始到水深变为20厘米共经过t小时， 列方程为 ，
故答案为：D.
【分析】设从开始到水深变为20厘米共经过t小时，根据“ 水匀速滴出，水位均匀下降.某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米 ”列分式方程即可解答.
5．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步 ”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步 ”设长为x步，则下列方程正确的是（　　）
A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864
C．x（12-x）=864 D．2（x+x+12）=864
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可列方程为．
故答案为：A.
【分析】设长为步，则宽为步，利用矩形面积公式列方程解答即可．
6．我校开设多种形式的劳动教育课程，提高同学们的基本劳动能力，帮助同学们树立“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”的观念.在某次劳动课上，同学们学习制作福袋和灯笼.已知每卷彩纸可制作福袋40个或灯笼25个，且每卷彩纸只能做其中的一种.现有36卷彩纸，完成后打算将2个福袋和1个灯笼配成一套礼物送给父母.最后彩纸没有剩余，礼物也刚好成套.设做福袋用了x卷彩纸，做灯笼用了y卷彩纸，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：B.
【分析】根据现有36卷彩纸，完成后打算将2个福袋和1个灯笼配成一套礼物送给父母，列出二元一次方程组即可.
7．一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售(不计分割损耗).已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克.若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为(　　)
A．25% B．30% C．35% D．40%
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
8．已知实数a，b满足a-b-1=0，0A．-1 B．-4 C．-5 D．-9
【答案】B
【知识点】不等式的性质；利用不等式的性质解简单不等式；一元一次不等式的含参问题
9．研究15、12、10这三个数的倒数发现：我们称15、12、10这三个数为一组调和数.现有一组调和数：x、8、5（x>8），则x的值是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】D
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：由题意，，
解得 ，
经检验，是原方程的解，符合题意，
因此x的值为20.
故答案为：20.
【分析】根据数定义的运算法则列方程求出x的值解答即可.
10．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题，其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少 设共有m人， n辆车，下列四个方程： ①3(n-2)=2n+9； ②3(n+2)=2n-9； 其中符合题意的是(　　)
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有人，辆车．
对于“每3人坐一辆车，有2辆空车”：实际使用的车辆数为，因此人数；
对于“每2人坐一辆车，有9人步行”：实际乘车人数为，因此车辆数，即，
所以，故①正确，②错误．
“每3人坐一辆车，有2辆空车”：总车数；“每2人坐一辆车，有9人步行”：总车数，
所以，故③正确，④错误．
综上，符合题意的是①③，
故答案为：A .
【分析】根据两种乘车方式下车数与人数的关系，从而建立方程解答即可．
二、填空题
11． 若∠A为锐角，且满足，则∠A的度数为　 　.
【答案】30°
【知识点】因式分解法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：将原等式移项得：，
方程两边同乘得：，
因式分解得：，
解得或．
因为为锐角，满足，当时，，不符合锐角定义，舍去．
当时，
∴．
故答案为：30° .
【分析】解关于sinA的一元二次方程，然后根据正弦的取值范围得到，即可根据特殊角的三角函数值解答即可.
12．若一个两位数十位上的数字是m，个位上的数字是n，则这个两位数可记作 即 已知 则两位数 的数值是　 　.
【答案】63
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，即a-b=3，
又∵2a+b=15，
解得a=6，b=3，
∴ 两位数 的数值是63，
故答案为：63.
【分析】根据两位数的表示方法得到a-b=3，然后解关于a，b的二元一次方程组求出a，b的值解答即可.
13．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程 的两个根是 则方程 =0是“邻根方程”.若关于x的方程 是“邻根方程”，令 则 t的最大值是　 　．
【答案】9
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值
【解析】【解答】解：设、是方程的两根，
解得，，
∵原方程是“邻根方程”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为9．
故答案为：9．
【分析】根据“邻根方程”的定义可得，代入，得到t关于a的二次函数，配方得到顶点式求出最大值解答．
14．《九章算术》中有这样一个问题：今有共买金，人出两百，盈二千四百；人出一百，盈五百.问人数，金价各几何 其大意是：假设合伙买金，每人出200钱，则多出2400 钱；每人出 100钱，则多出500钱.则合伙买金人共有　 　人.
【答案】19
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设合伙买金人数共有x人，由题意可得：
，
解得，
即合伙买金人数共有19人．
故答案为：19 .
【分析】设合伙买金人数共有x人，根据“ 每人出200钱，则多出2400 钱；每人出 100钱，则多出500钱 ”列方程，求出x的值解答即可．
15．若x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，且 （k是整数)，则称方程 =0为“偶根方程”.若 是“偶根方程”，则常数m可以是　 　.（写出一个符合条件的值即可)
【答案】(答案不唯一)
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
三、解答题
16．如果一元一次不等式组无解，求m的取值范围.
【答案】解：由，得：，
∵一元一次不等式组无解，
∴．
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】解第一个不等式求出解集，再根据不等式组无解得到关于m的不等式解答即可.
17． 解方程：
小江同学：
解一元二次方程 时，小江同学的解法如图所示：
（1）你认为 是原方程的解吗 请检验(写出检验过程)：
（2）请选择合适的方法解原方程．
【答案】（1）解：不是原方程的解，
当x=1时，左边=1× (1-2) =-1；
右边=3
∵左边≠右边
∴x=1 不是原方程的解
（2）解：
x-1=2或x-1=-2
【知识点】配方法解一元二次方程；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【分析】(1)根据题意，将x=1代入方程进行计算即可；
(2)先添加一次项系数一半的平方，然后左边写成完全平方式，再利用直接开平方法解答即可.
18．在用配方法解方程时，小颖的解法如图：
第一步：移项，得． 第二步：配方，得， 即 ． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以，
请回答：
（1）小颖的解答过程从第　 　步开始出现错误；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
【答案】（1）二
（2）解：
或
∴，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据解答过程逐步检验解答即可；
（2）先移项，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式，再开平方解方程即可．
19． 【阅读理解】同学们，我们来探索利用不等式的基本性质来确定代数式的取值范围的方法.例如，解答“已知a-b=6， a>5， b<3，试确定a+b的范围”.
小明的解题过程如图所示.
【尝试探究】参考小明的方法，解答下面的问题：
（1）已知x-y=5， x>2， y<0，求x+y的取值范围.
（2）已知x+y=8， x≥5， y>1，求x-y的取值范围.
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
②，
得，；
（2）解：，
，
，
，
，
，
①，
，
，
②，
得，．
【知识点】解二元一次方程；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）利用题目中的关系式求出x和y的取值范围，然后相加解答即可；
（2）利用题目中的关系式求出x和-y的取值范围，然后相加解答即可.
20．先阅读下面的解题过程，然后解题．
已知，试比较与的大小．
解：∵，
∴．第一步
故．第二步
（1）上述解题过程中，从第　 　步开始出现错误，错误的原因是　 　．
（2）请写出正确的解题过程．
【答案】（1）一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变
（2）解：∵a>b，
∴-2026a<-2026b
∴-2026a+1<-2026b+1.
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变
故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变.
【分析】(1)由题意a>b，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断；
(2)正确的运用不等式的性质解题即可得到答案.
21．【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法.以解方程 为例：将原方程整理可得：x(x+2)=35，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形，此时大正方形的面积是(x+x+2)2，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得： 得正整数解为x=5．
【应用体验】小明用此方法解关于x的方程 已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为　 　．
【答案】2
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：
如图，
由题意得：
解得：
即该方程的正整数解为2，
故答案为：2.
【分析】构造图形，根据大正方形的面积为81，列出一元二次方程，解方程即可.
22．为迎接第16届体艺文化节，重庆外国语学校在广告公司制作一批吉祥物，该公司由甲乙两组共同完成制作任务，乙组每天完成的件数是甲组的1.5倍，甲组完成2400个吉祥物比乙组完成2160个吉祥物多用2天．
（1）甲、乙两组每天各完成多少个吉祥物？
（2）学校两校区共需要制作13296个吉祥物．为加快进度，甲组每天完成的个数比（1）中多完成20m个，乙组每天完成的个数也比（1）中增加了，因考虑运送等问题，该广告公司完成任务的时间不超过8天，则m的值至少为多少？
【答案】（1）解：设甲组每天完成x个吉祥物，则乙组每天完成1.5x个吉祥物，
由题意得：2，
解得：x＝480，
经检验，x＝480是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×480＝720，
答：甲组每天完成480个吉祥物，乙组每天完成720个吉祥物；
（2）解：由题意得：（480+20m）×8+720（1m%）×8≥13296，
解得：m≥15，
∴m的最小值为15，
答：m的值至少为15．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
23．每年3月1日至6月30日为我国个人所得税综合所得年度汇算清缴期.开展个税汇算，有利于纳税人准确计算全年实际应纳个人所得税，通过专项附加扣除（子女教育、赡养老人、住房贷款利息等）依法享受税收优惠，多退少补，切实维护纳税人合法权益，促进税负公平.
材料一：全年应纳税所得额=全年税前综合收入（不包括三险一金，且后文中的提到税前综合收入均不包括三险一金）—60000元（基本减除费用）—专项附加扣除.应纳税额=全年应纳税所得额×适用税率一速算扣除数.
居民个人综合所得税率表（部分）
全年应纳税所得额 税率（%） 速算扣除数
不超过36000元的 3 0
超过36000元至144000元的 10 2520
超过144000元至300000元的 20 16920
居民全年一次性奖金税率表（部分）
全年一次性奖金 税率（%） 速算扣除数
不超过36000元的 3 0
超过36000元至.144000元的 10 210
超过144000元至300000元的 20 1410
材料二：根据财政部的政策，至2027年12月31日之前，居民个人取得的全年一次性奖金可以选择并入当年的综合收入，也可以选择单独计算纳税.如果单独计算纳税，全年一次性奖金的税额计算公式为：全年一次性奖金应纳税额=全年一次性奖金收入×适用税率一速算扣除数.
例如，小张全年税前综合收入为120000元，其中全年一次性奖金20000元，无专项附加扣除，若小张选择合并计税，则应纳税额=（120000-60000）×10%-2520=3480元；若小张选择单独计税，则应纳税额=（120000-60000-20000）×10%-2520+20000×3%=2080元.材料三：为兼顾不同家庭的实际负担，个税设置专项附加扣除，其中子女教育专项附加扣除额度为24000元，夫妻可协商分配扣除额度，选择各50%，或者一方100%扣除.
（1）小李全年税前综合收入为150000元，其中全年一次性奖金36000元，专项附加扣除有额度60000元，试通过计算，为小李选择纳税最少的计税方式.
（2）应届本科毕业生小王，无专项附加扣除.经过对比，小王发现自己最优全年纳税额为1500元.已知其全年一次性奖金不低于10000元但不超过36000元，试问小王的税前年综合收入范围是多少
（3）小陈、小丽夫妻有一女儿正在读初中，夫妻俩税前年综合收入均为12万元，小陈全年一次性奖金10000元，小丽全年一次性奖金30000元，除子女教育外均无其他专项附加扣除.小丽觉得大家收入都相同，应该平摊子女教育的额度，但是小陈反对，认为自己全部扣除更加合理.从家庭综合收入的角度考虑，请你通过计算说明谁的方式更合理.
【答案】（1）解：分别计算两种计税方式的总应纳税额，再比较大小，
合并计税：全年应纳税所得额（元），
∵，
∴适用税率，速算扣除数，则应纳税额（元），
单独计税：综合部分应纳税所得额（元），综合部分应纳税额为，全年一次性奖金元，适用税率，速算扣除数，奖金应纳税额（元），
总应纳税额（元），
因为，
所以合并计税纳税更少，
答：选择合并计税方式；
（2）解：设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为，
单独计税时，奖金应纳税额为，综合部分应纳税所得额为，
当时，，
总应纳税额满足：，
整理得，代入的范围得，
当时，，
总应纳税额满足：，
整理得，解得，
综上，小王税前年综合收入满足，
答：小王的税前年综合收入不低于元，不高于元；
（3）解：子女教育总扣除额度为元，分别计算两种扣除方式的家庭总纳税额：
第一种：平摊扣除，两人各扣除元，
计算小陈税额：小陈总收入元，奖金元，工资部分元，综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小陈总税额（元），
计算小丽税额：小丽总收入元，奖金元，工资部分元，
综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小丽总税额（元），
家庭总税额（元）；
第二种：小陈全额扣除元，小丽不扣除，
计算小陈税额：
综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小陈总税额（元），
计算小丽税额：综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小丽总税额（元），
家庭总税额（元），
因为，
所以小陈的方式下家庭总纳税额更少，
答：小陈的方式更合理．
【知识点】一元一次不等式的应用；有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】
（）根据纳税额计算公式，计算两种方案的总纳税额，比较大小解答即可；
（）设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为，求出不同方案的总纳税额， 从而计算满足条件的收入取值范围解答即可；
（）根据纳税额计算公式，分别求出不同方案的总纳税额，比较大小解答即可．
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