资源简介 4月下旬之二次函数—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递一、选择题1．已知二次函数 当x=3m 和2n 时，其函数值相等，则 的值为 ( )A．0 B．18 C．36 D．542． 已知抛物线 （a， c 为常数且a≠0) ，当x≥1 时 若抛物线 与y轴的交点位于最高位置时，则y2的图像可能正确的是（ )。A． B．C． D．3．已知二次函数 是实数，a>0)，A(1-m，n)，B(1+m，n)是函数图象上两个不同的点，下列说法中正确的是( )A．若m<1，则(-1-m)n>0 B．若 m>1，则(1+m)n<0C．若m>1，则(1+m)n>0 D．若 m<1，则(-1-m)n<04．已知二次函数过点A（x1，y1），B（x1+t，y2），C（x1+2t，y3）三点.记m=y2-y1，n=y3-y2，下列命题正确的是（ ）A．若n-m>2，则t<-1 B．若n-m<2，则t>-1C．若t>1，则n-m>2 D．若t<1，则n-m<25．已知二次函数 的图象顶点为 M，图象上有一点 P (x1，y1)满足 若Q (x2， y2)是函数图象(PM段)上的一点(不与 P， M重合)，令 则t的范围是( )A．t<3 B．t>9 C．06．某学习小组分到如图1所示农耕地△ABC用于劳动课种植果蔬，已知 小明(点D)从点A 出发，同时小红(点E)从点B 出发，以相同的速度按逆时针方向沿△ABC的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺(DE)保持笔直.当小明到达点B时，小红刚好到达点C；当小明到达点C时，小红到点A还差m米.在小明从点B到点 C的过程中，设BD为x米，四边形ABDE的面积为y平方米，如图2，y关于x的函数图象与y轴的交点为(0，48)，最低点的纵坐标为n.下列结论正确的是( )A．m=3B．n=38C．△ABC的面积为49平方米D．当四边形ABDE为梯形时， y=277． 有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时刻观测到了一座灯塔，12分钟后测得灯塔位于船的北偏东方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里．经过持续测量船只与灯塔之间距离（海里），发现与船行路程（海里）之间满足二次函数的数量关系（如图2），其中最低点为点，以下说法正确的是（ ）A．B．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时C．船行速度为24海里/小时D．点在函数图象上8．如图1，直线l⊥直线m，垂足为点O，点A和点 B分别是直线l和直线m上两定点，点P从点A 出发，以每秒1个单位长度，沿直线l水平向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度，沿直线m竖直向上运动，设运动时间为x(s)，△PQO面积为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，图象与x轴只有一个交点D，且经过G(1，9)和E(n，q)，点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是( )A．点D坐标为(3， 0) B．当y=9时， x=1或7C．q=32 D．点(10， 34)在该函数图象上9．如图1，点O为△ABC的重心，当动点P从点A 出发沿△ABC的边逆时针运动一周，设点P的运动路程为x，OP2为y，y关于x函数的部分图象如图2所示，则下列说法中正确的是( )A．n=3 B．m=50C． D．△ABC的面积为3010．如图1，在等腰直角三角形ABC中， P是斜边AB上一点，过点 P分别作 PD⊥AC， PE⊥BC，垂足分别为点 D， E，设PD=x， PD·PE=y.若y关于x的函数图象如图2所示，点(m， t)和(n， t)在函数图象上， m+n=8，则下列选项正确的是( )A．AB=8B．当m=1时， t=8C．点(4，16)在该函数图象上D．该函数图象的最高点的纵坐标为811．冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）.一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点B所在水平直线为x轴、起跳点A所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：AB的长为25米，∠ABO=37°，tan37°≈0.75.】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点B处，设抛物线的函数表达式为平行于y轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点C，D，则下列所作技术分析正确的是（ ）A．着陆坡的水平宽度OB=18.75米B．点A的坐标为（0，12）C．D．当CD的最大值为10米时，12．如图，函数y=ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x=1：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③9a-3b+c=0；④5a+b+c=0；⑤若点A（a+1，y1），B（a+2，y2）在抛物线上，则y1＞y2；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有（ ）个.A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题13．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于A（-1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 ．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 三、解答题15．定义：对于y关于x的函数，在a≤x≤b (a（1）对于一次函数y=2x+1，在0≤x≤3的范围内，分别求出M和m的值.（2）对于二次函数 甲、乙两位同学有以下说法：甲同学说： “在0≤x≤3的范围内， M=0， m=-3.” 乙同学说：“在0≤x≤t的范围内， 若M-m=4， 则M=0， m=-4.”甲、乙两位同学的说法正确吗 请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由.16．已知抛物线 点 A(1，0)在此抛物线上．（1）求b的值；（2）若点在该抛物线上，且 求m的取值范围；（3）将此抛物线向左平移n(n>0)个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D(0，d)，令d的最大值和最小值分别为若 求n的值．17． 在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）当时，求抛物线与轴的交点坐标；（2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的的取值范围；（3）已知和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围．18．已知抛物线b为常数）经过点（-1，-4），当x=-2时，函数值为p，当x=1时，函数值为q，p+q=-7.（1）求函数表达式。（2）若过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B恰为线段AC的中点，求t的值。（3）有一条直线向下平移9个单位长度得到直线l2。设m<2夹在两条直线直线l1，l2之间，求n-m的最大值。19．已知抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）.（1）若抛物线的对称轴是直线x=2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0）.①求抛物线的表达式；②若点A的坐标为（3，3），动点P在直线OA下方的抛物线上，连接PA，PO，试判断△AOP的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；（2）若b=-6a，抛物线过点B（-2，0），与y轴交于点C，将点B绕点N（0，n）（n＜0）顺时针旋转（旋转角小于180°）得到点B'，当点B'恰好落在抛物线上，且满足∠BNB'+∠BCB'=180°时，求n的值.20．已知抛物线y=ax2-4ax+12（a为常数，a≠0）.（1）求该抛物线的对称轴.（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，B（点A在原点O的左侧），OB=3OA.①求a的值；②设m＜2＜n，抛物线的一段y=ax2-4ax+12（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间.若直线l1，l2之间的距离为9，求n-m的最大值.21．我们不妨约定：如果一个函数的图象上存在不同两点关于y轴对称，那么我们称这样的对称点为”欣妮对”，这样的函数为”BY对称函数”.（1）判断函数y=kx+b（k，b为常数）是否为”BY对称函数”，并说明理由.（2）若关于x的函数是“BY对称函数”，且仅有一组“欣妮对”，求a的取值范围。（3）已知“BY对称函数”y=x2+bx+c经过点A（0，-4），且与经过原点O的直线交于B，C两点，过点F（0，f）（其中f＜0）作x轴的平行线，分别交直线AB，AC于点D，E，是否存在常数f，使OE⊥OD恒成立？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由.22．我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离.已知点A (m，n)为平面直角坐标系内一点.（1）若将点A (m，n)先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A'，求点A 的平移距离AA'的长度；（2）将直线l： y=x+1平移得直线l'，设直线l上任意一点A (m， n)平移后的对应点为A'.若直线l的平移距离 且直线AA'平行于第二、四象限的角平分线，求直线l'的函数表达式；（3）将抛物线 沿着射线y=2x(x≥0)方向平移得到抛物线 当0≤x≤4时，抛物线 上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y1的平移距离d的取值范围.23．已知二次函数 (其中a为常数)，（1）将二次函数 化为顶点式，并写出它的最小值．（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B(点A 在点B左侧)，与y轴交于点C，当△ABC 的面积为3时，求a的值．（3）当a=2时，是否存在实数t，使得t≤x≤t+2时二次函数 最大值与最小值的差为8 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．24．已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），且，图象顶点的横坐标为4．（1）求两点的坐标．（2）求方程的解．（3）若，将此二次函数在轴下方的图象沿轴翻折得到新的函数图象，若直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，当时，求的值．25．定义：在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.请根据以上信息，解答以下问题：（1）如图，矩形OABC是某一次函数的关联矩形，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，试求出该一次函数的表达式.（2）若二次函数.的图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，求a与m的值.26．【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线.【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离x(单位：m)和竖直高度y(单位：m)的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图.设抛物线的表达式为x …… 0.8 2.3 3.8 5.3 6.8 ……y …… 2.7 3.375 3.6 3.375 2.7 ……（1）【建立模型】求出抛物线的函数表达式.（2）【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离.（3）【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为 a，顶点为(m-0.1， k-0.1)，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米.27．综合与实践【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有．（1）【猜想验证】请证明上述结论．（2）【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________．（3）【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标．28．定义：在平面直角坐标系中，我们把经过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的平割线．（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的平割线与这条抛物线的交点坐标为 ；（2）经过点A（﹣2，0）和B（x，0）（x＞﹣2）的抛物线与y轴交于点C，它的平割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线EF垂直平分OC，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F．①当∠CDF＝45°时，求点P的坐标；②若直线EF与直线MN关于平割线对称，是否存在使点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．29．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱.自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（1≤x≤28，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：第x天 1 2 3 4 5 6 7 …销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤28，且x为整数）成一次函数关系且满足z=-2x+100.已知该纪念品成本价为20元/件.（1）求y关于x的函数表达式；（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来的函数关系，问：①当第x天（20≤x≤28，且x为整数）的销售利润取到最大值，此时x的值为多少？②若①中销售利润的最大值是20250元，求此时a的值.30．综合与实践．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：刹车后行驶的时间 0 1 2 3刹车后行驶的距离y 0 27 48 63发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：（1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；（3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．31．问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示.外形参数；如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成.抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边长AB=8cm，BC=6cm，抛物线L2的高度为4cm.在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上.问题解决：如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务：（1）直接写出B，C，D三点的坐标；（2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2函数表达式.答案解析部分1．【答案】C【知识点】求代数式的值-整体代入求值；二次函数的对称性及应用；因式分解-平方差公式【解析】【解答】解：∵ x=3m 和2n 时，其函数值相等，∴对称轴为x=，即3m+2n=6，∴，故答案为：C .【分析】先根据抛物线的对称性得到3m+2n=6，然后整体代入计算即可.2．【答案】A【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质【解析】【解答】解：∵，又∵当时．∴∵，抛物线与轴的交点位于最高位置，∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下，故答案为：A .【分析】将两个抛物线的解析式化为顶点式，根据时即可得到，借进而得到抛物线的开口及最高点坐标解答即可.3．【答案】C【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；分类讨论【解析】【解答】解：∵和纵坐标相等，∴ 两点关于二次函数对称轴对称，二次函数对称轴为直线，∵ 二次函数的对称轴为，∴，得，∴ 二次函数解析式为，将代入得：，∵，当时，∵，，，∴，故B错误，C正确；当时，若，则，若，则，故A，D错误．故选：A.【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数的对称轴为x=1，即可得到b=-2a，即可得到二次函数为，将B点坐标代入求出n的值，然后分为或两种情况计算判断解答即可．4．【答案】C【知识点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：由题意可得：∴，若，则，∴或，故A是假命题；若，则，∴，故B是假命题；若，则，故C为真命题；若，则，即，故D为假命题，故答案为：C．【分析】根据题意代入x1，x2，x3的值，求出y1，y2，y3，即可求出m和n，再计算，然后根据题意逐项计算判断即可．5．【答案】D【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质【解析】【解答】由解析式为 可得顶点 M 的坐标为(m，k)。已将点 P的坐标代入得 ，即 ，又∵，∴，解得： ，∴点 P 的横坐标为∵点 是函数图象上 PM段之间的一点，并且点Q不与点 P、点M重合，∴即 ，点 代入函数解析式的 ，即 ，将 代入可得 ，∵，∴，即0故答案选：D.【分析】将点P的坐标代入解析式得，再根据得到，然后将Q点在PM段得到，在将点Q坐标代入解析式，借助即可得到，即可得到t的取值范围解答即可.6．【答案】B【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）【解析】【解答】解：根据题意，当时，，∴的面积为平方米，故C错误；由题意可知，，，，如图，作于点，作于点，∵，，∴，，在中，，∴，由勾股定理可得，，∴，∵，∴，解得，∴，，∴，故A错误；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，，，∴是关于的二次函数，图象开口向下，顶点坐标为，∴，故B正确；对于D：∵的最小值为，故D错误．【分析】根据x=0时y=48，可得的面积为平方米，判断C选项；由题意可知，，，作于点，根据正切的定义和三线合一可得，，然后根据的面积求出AB长，求出a的值判断A选项；作于点，根据平行得到，求出，即可得到，得到最低点坐标判断B选项，D选项解答即可．7．【答案】D【知识点】二次函数-动态几何问题；方位角；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题【解析】【解答】解：∵在该函数图象上，∴当时，，即或（舍去）；∴当时，这艘船与灯塔的距离为20海里，即这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，∵二次函数的最低点B的坐标为，∴这艘船航行距离为m海里时，该船与灯塔的距离最近，且为海里，∴当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，如图所示，设灯塔的位置用点E表示，船的初始位置用点O表示，过点E作船行进路线所在的直线的垂线，垂足为H，则海里，海里，∴由勾股定理得，即，故A说法错误；当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里，∴海里，∴，∴点在函数图象上，故D说法正确；设12分钟后这艘船的位置用G点表示，连接，则，∴是等腰直角三角形，∴海里，∴海里，∴船行速度为海里/小时，故C说法错误；由点B的坐标可知，对称轴为直线，∴由对称性可知点在函数图象上，∴这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，∴船只可以观测到灯塔的持续时间可达小时，故B说法错误．故答案为：D.【分析】由点A和点B的坐标可得这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，根据勾股定理求出m的值判断A选项；当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，即可求出海里，根据勾股定理求出判断D选项；根据航行12分钟时这艘船的路程判断C选项；利用对称性得到这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，据此判断B选项解答即可．8．【答案】B【知识点】三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数的对称性及应用【解析】【解答】解：设OA长a，OB=b，∵图象与x轴只有一个交点D，∵函数经过G(1， 9)，解得：a=4(取正值)，当y=0时，x=4，∴点D的坐标为(4， 0)，故A选项错误，不符合题意；当y=9时，解得：∴当y=9时，x=1或7，故B选项正确，符合题意；当x=0时，y=16，∵点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，故C选项错误，不符合题意；当x=10时，y=36，故D选项错误，不符合题意.故答案为：B.【分析】设OA长a，OB=b，则 得到y关于x的函数关系式，根据抛物线与x轴只有一个交点得到a和b的关系，进而把(1，9)代入抛物线解析式可得抛物线解析式，进而判断所给选项是否正确即可.9．【答案】C【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）【解析】【解答】解：∵函数图象过点(0，25)，此时点P与点A重合，当 时，OP最短，此时 最小，如图：∵函数最低点为(4， n)，∴AP=4，∴OP=3，故A选项错误，不符合题意；∵函数图象过点(10，m)，此时点P与点B重合，故B选项错误，不符合题意；延长CO交AB于点M，作CN⊥AB于点N，∴OP∥CN，∴△MOP∽△MCN，∴CN=9，∵AB=10，点M是AB的中点，∴AM=BM=5，∵AP=4，∴MP=AM-AP=1，∴MN=3，∴BN=BM+MN=8，故C选项正确，符合题意；故D选项错误，不符合题意.故选： C.【分析】根据函数图象中的关键点判断出n，m的值，进而延长CO交AB于点M，作 于点N，构造 分别求得CN，BN的长度即可求得BC的长度，即可求出 的面积.10．【答案】C【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题【解析】【解答】解：∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴为等腰直角三角形，四边形为矩形，∴，设，则，，∴，即y是关于x的二次函数，且对称轴为直线，∵点和在函数图象上，，∴，即，∴，，即y关于x的函数解析式为，故A选项错误，不符合题意；当时，，故B选项错误，不符合题意；当时，，则点在该函数图象上，故C选项正确，符合题意；∵，，∴该函数图象的最高点的纵坐标为16，故D选项错误，不符合题意；故答案为：C.【分析】根据题意即可得到为等腰直角三角形，四边形为矩形，设，即可得哦大，得到抛物线的对称轴为直线，再根据求出，得到二次函数的解析式解答即可.11．【答案】C【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-抛球问题；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式【解析】【解答】解：，，故，解得，，在中，，，，米，故A错误；在中，，，米，故，故B错误；抛物线的函数表达式为，将代入，故，化简得，，故C正确；设设着陆坡所在直线的表达式为，将代入，，解得，，，，则，，对于二次函数，其对称轴为，当时，有最大值，将代入，即，∵的最大值为10米，即，解得，故D错误；故答案为：C.【分析】根据解直角三角形的计算求出判断选项A和选项B；根据待定系数法可得，整理判断选项C；利用待定系数法求出一次函数解析式，求出，求出对称轴为直线，根据最值得到，求出a的值判断选项D解答即可．12．【答案】B【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用【解析】【解答】解：①∵抛物线与轴有两个交点，，，故①符合题意；②∵抛物线开口向上，，∵抛物线对称轴在轴右侧，∴与异号，即，∵抛物线与轴交点在轴下方，，故②不符合题意；③∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，∴抛物线与轴的另一个交点为，∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，∴当时，，，故③不符合题意；④∵抛物线与轴的一个交点为，，∵抛物线对称轴为，，，，故④符合题意；∵，∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，故⑤不符合题意；⑥抛物线对称轴为，抛物线开口向上，时，有最小值，（为任意实数），故⑥符合题意；综上所述，①④⑥符合题意，共有个；故答案为：B .【分析】根据图象与轴有两个交点得到即可判断①；根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点位置得到a，b，c的取值范围判断②；根据图象的对称轴，利用抛物线的对称性得到另一个交点为，代入抛物线解析式判断③；根据图象抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴可得，将代入，判断④；根据，即可得出，根据二次函数增减性即可判断⑤；根据二次函数的最值判断⑥解答即可．13．【答案】x＞3或x＜-1【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的对称变换【解析】【解答】解：∵抛物线与直线交于，两点，∴，，∴抛物线与直线交于，两点，观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，∴不等式的解集为或．故答案为或．【分析】不等式变形为，判断抛物线与直线关系，而直线PQ：与直线AB：关于y轴对称，求出抛物线与直线交于，两点，然后借助图象得到抛物线在直线下方时的自变量的取值范围解答即可．14．【答案】或【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用【解析】【解答】解：∵ax2-mx-n+c≤0，∴ax2+c≤mx+n.∴不等式ax2-mx-n+c≤0的解集可以看作是二次函数y=ax2+c的图象在一次函数y=mx+n的图象下方的部分对应的自变量的取值范围∵A(2， p)，B(-4， q)∴结合图象，不等式ax2-mx-n+c≤0的解集为x≤-4或x≥2故答案为：x≤-4或x≥2.【分析】依据题意，由图象中直线在抛物线上方的x的取值范围，进而判断得解.15．【答案】（1）解：因为一次函数y=2x+1的函数值y随自变量x的增大而增大，所以当x=3时， M=2×3+1=7；当x=0时， m=2×0+1=1.（2）解：甲同学说法错误；乙同学说法正确.对“甲同学说法”的判断理由如下：因为x=1在0≤x≤3的范围内，所以当x=1时， m=-4.所以当x=1时， m=-4.即甲同学说法错误.【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质【解析】【分析】(1)根据一次函数的增减性得到最值即可；(2)先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲同学的推断即可.16．【答案】（1）解：将A (1，0)代入 中，得-1+b-5=0解得b=6（2）解：由(1)知，抛物线表达式为∴对称轴为直线∴B (5， y1)关于直线x=3对称点B'坐标为(1，y1)，∴1（3）解：抛物线 ，∴ 顶点坐标为(3，4)，与y轴交于点(0，-5)∴向左平移过程中，与y轴交点最大值抛物线向左平移n个单位的表达式为将(0，-8)代入y2中，得化简得解得 (舍)故n的值为.【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式【解析】【分析】(1)将点A坐标代入二次函数解析式求出b的值即可；(2)根据(1)中的计算得出抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答即可；(3)求出抛物线的顶点坐标和抛物线与y轴交点坐标，根据平移可得与y轴交点纵坐标的最大值为4，即可得到纵坐标的最小值为-8，设抛物线向左平移n个单位的表达式为 ，代入(0，-8)求出n的值即可，.17．【答案】（1）解：当时，，当，∴抛物线与轴的交点坐标为；（2）解：∵点在的图象上，∴，解得：或（舍），∴解析式为：，则向上平移3个单位长度后的函数解析式为：，对称轴为直线：，∵，∴当时，，当时，，当时，，∴，∴当时，求新的二次函数的的取值范围：． （3）解：由题意得，，在上恒成立，问题转化为：在上恒成立，当时，，令，当时，，要满足时，，则，如图：∴；当时，，令，当时，，要满足时，，则，如图：∴综上所述：对于，都有，则的取值范围为或．【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换；分类讨论【解析】【分析】（1）先得到抛物线的解析式，令，求出y的值即可得到与y轴的交点坐标；（2）把点A的坐标代入求出m的值，即可得到抛物线的解析式，进而求出平移后的解析式，根据二次函数的增减性解答即可；（3）由题意得， 根据题意可得在上恒成立，然后分为 ，两种情况画图解答即可．18．【答案】（1）解：解得（2）解：设B（m，t），∵点B恰为线段AC中点，∴C（2m，t）解得当时，（3）解：当直线l1与抛物线相切，即只有一个交点时，解得：t=2∵直线l1：y=2x+2向下平移9个单位长度得到直线l2，∴l2：y=2x-7解得：∵m<2∴当m=-2，n=4时，∴（m-n）max=4-（-2）=6【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题【解析】【分析】(1)将已知点代入抛物线方程，结合p+q=-7列方程组，求解a、b得到函数表达式；(2)根据直线与抛物线交点及中点坐标关系，利用对称轴性质求交点横坐标，代入抛物线求t；(3)先求直线l1与抛物线相切时的t值，确定l2方程，联立l2与抛物线求交点，结合m<219．【答案】（1）解：①由题意，得，解得抛物线的表达式为．②存在，的面积的最大值为．如图1，作直线，过点P作轴交于点Q．设．，，直线的表达式为，，，，当时，的面积有最大值．（2）解：将点代入，得．把代入，解得，，抛物线的表达式为，．如图2，过点N作于点F，过点N作交的延长线于点G，则，设与x轴的交点为K，由旋转可得．，，．，，，平分．，，．，直线的表达式为，当时，解得，，．，，，解得，即n的值为．【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形全等的判定-AAS；二次函数-面积问题【解析】【分析】（1）①根据待定系数法求出二次函数的解析式即可；②作直线，过点P作轴交于点Q．设，利用待定系数法求出的解析式，因此，根据得到，利用顶点坐标求出最值即可；（2）把点的坐标与代入求出抛物线的表达式为，即可得到．过点N作于点F，过点N作交的延长线于点G，设与x轴的交点为K，根据AAS得到，即可得到到，再根据角平分线的性质可得到，进而得到，求出直线的解析式为，令，求出点B的坐标．根据，利用两点间的距离公式求出n的值即可．20．【答案】（1）解：∵∴抛物线的对称轴为直线x=2（2）解：①令y=0， 则y=ax2-4ax+12=0设该方程的两根为x1，x2(x1∵点A在原点O的左侧，OB=3OA，∴x2=-3x1，∵，∴x1+x2=4， 即x1+(-3x1)=4，∴x1=-2，x2=6，把x1=-2代入y=ax2-4ax+12=0，得a(-2)2-4×(-2)a+12=0，解得a=-1；②∵a=-1，∴该函数表达式为y=-x2+4x+12=-(x-2)2+16∴该抛物线的顶点坐标为(2，16)，∵该抛物线的一段y=-x2+4x+12(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1和l2之间，且m<2如图，上方的平行线不能在顶点(2，16)下方，∵直线l1和l2之间的距离为9，∴要使n-m最大，则直线l经过顶点(2，16)，此时直线l2为y=16-9=7，∴当y=-(x-2)2+16=7时解得x1=-1，x2=5，∴n-m的最大值为5-(-1)=6【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用【解析】【分析】(1)由对称轴公式直接求解即可；(2)①易得x2=-3x1，再根据对称轴求得，可得x1=-2，x2=6，代入抛物线求解即可；②易得抛物线的顶点坐标为(2，16)，要使n-m最大，则直线l1经过顶点(2，16)，此时直线l2为y=16-9=7，据此求解即可.21．【答案】（1）解：当时，函数（，为常数）是“对称函数”，当时，函数（，为常数）不是“对称函数”，理由如下：当时，，此时函数图象上存在关于轴对称的点，故此时函数（，为常数）是“对称函数”，当时，不存在关于轴对称的点，若存在，设其中一点，则关于轴的对称点为，∵，∴不在函数图象上，故当时，函数（，为常数）不是“对称函数”；（2）解：∵关于的函数是“对称函数”，∴设，，， 且点，关于轴对称，∴，，∴，∴，∵仅有一组“欣妮对”，∴，∴；（3）解：存在常数，使恒成立，∵“对称函数”经过点，∴，∴，∵是“对称函数”，∴函数的对称轴是轴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，∵直线经过点，∴，∴直线的解析式为，联立，解得：，，∴，∵直线与直线的交点为，∴，∴，∴，设直线的解析式为，∵直线经过点，∴，∴直线的解析式为，联立，解得：，，∴，∵直线与直线的交点为，∴，设经过原点O的直线的解析式为，将，代入解析式可得：，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，整理可得：，∴，解得，，∵，∴，∴存在常数，使恒成立．【知识点】待定系数法求一次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象上点的坐标特征；根据一元二次方程的根的情况求参数【解析】【分析】（1）分析和两种情况，根据“对称函数”的定义判断解答即可；（2）设，，， 将两点分别代入解析式可得，，从而得出，利用根情况可得判别式，求出a的值解答即可；（3）先求出函数解析式为，然后根据待定系数法求出直线、的解析式，再分别与抛物线解析式联立，求出交点、的坐标，利用勾股定理解答即可．22．【答案】（1）解：由题意可知，（2）解：如图，∵AA"平行于二四象限角平分线，当直线l向左上方平移时，则平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位，当直线l向右下方平移时，则平移距离为向右平移3个单位，向下3个单位，综上，直线l'的函数表达式为y=x+7或y=x-5（3）解：设抛物线向右平移a个单位，则向上平移2a个单位，得∴对称轴为直线x=2+a，平移距离当 时，抛物线上横坐标为0的点离x轴距离最大，此时 由题意，解得 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象的平移变换；二次函数图象的平移变换【解析】【分析】(1)直接根据勾股定理求解即可；(2)平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位或向右3个单位，向下3个单位，据此即可得解；(3)得到平移后的抛物线的解析式为 则平移距离为 再据此求解即可.23．【答案】（1）解：即二次函数化为顶点式，∵抛物线开口向上，∴当时，它的最小值为．（2）解：当时，，∴，解得∵点A在点B左侧，∴∴，当时，，∴，∵的面积为3，∴，则或（不合题意，舍去）解得或；（3）解：当时，，∴抛物线的对称轴为直线，当即时，在上，随着的增大而减小，∴当时，有最大值，当时，有最小值，∵二次函数最大值与最小值的差为8，∴，解得，当时，在上，随着的增大而增大，∴当时，有最小值，当时，有最大值，∵二次函数最大值与最小值的差为8，∴，解得，当即时，当时有最小值，比较与值求最大值，当时，即时，时，有最大值，∵二次函数最大值与最小值的差为8，∴解得，∵，∴不合题意，舍去，当时，即时，时，有最大值，∵二次函数最大值与最小值的差为8，∴解得，∵，∴不合题意，舍去，∴存在的值，或．【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题；分类讨论【解析】【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，根据顶点坐标得到最值解答即可；（2）令y=0，解方程求出点A，B的横坐标的值，求出的长；令x=0求出y的值得到点的坐标，然后利用三角形面积公式求出a的值解答即可；（3）当a=2时求出抛物线的对称轴为直线x=2，然后分为，，三种情况，根据二次函数的增减性求出最大值和最小值，列方程求出t的值解答即可．24．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，图象顶点的横坐标为4．∴二次函数对称轴为直线，且两点关于对称，∵，在的左侧，∴两点到的距离为，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴方程化简为：，∴，解得：；（3）解：，翻折后，如图，直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，，对称轴为直线，设，则，分别代入对应解析式，得：，，即，解得：，．【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的对称变换；利用交点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用【解析】【分析】（1）先确定二次函数对称轴为直线，根据抛物线的对称性可得两点关于对称，再结合AB=10，得到A、B两点到x=4的距离为，从而结合x轴上点的坐标特点得出点A、B的坐标；（2）利用交点式结合A、B两点坐标得到，代入方程，利用因式分解法求解即可；（3）先求出抛物线解析式为，翻折后，再画出图形；设，由抛物线的对称性得，分别代入对应解析式，结合，得到，即可求解．（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，图象顶点的横坐标为4．∴二次函数对称轴为直线，且两点关于对称，∵，在的左侧，∴两点到的距离为，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴方程化简为：，∴，解得：；（3）解：，翻折后，如图，直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，，对称轴为直线，设，则，分别代入对应解析式，得：，，即，解得：，．25．【答案】（1）解：设y=kx+b（k≠0），由题意可知当一次函数图象经过点C（0，4），A（3，0）时，有解得∴y=x+4当一次函数图象经过点O（0，0），B（3，4）时，有解得，∴y=x，综上，该一次函数的表达式为或。（2）∴其对称轴为直线x=2.∵二次函数的图象的关联矩形是矩形OABC，∴当a>0时，图象经过点（0，4），（2，0），则解得当a<0时，图象经过点(0，0)，(2，4），则解得∴a=1，m=0或a=-1，m=4【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）根据关联矩形的定义，一次函数图象需完全落在矩形OABC(0≤x≤3，0≤y≤4)内，因此一次函数的图象需经过矩形的顶点，分两种情况：过A(3，0)和C(0，4)，或过O(0，0)和B(3，4)，分别用待定系数法求解析式；（2）先将二次函数配方，确定其对称轴，再根据关联矩形OABC的范围0≤x≤3，0≤y≤4，分a>0(开口向上)和a<0(开口向下)两种情况，结合函数在区间上的最值，列方程求解a和m。26．【答案】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等，∴抛物线的对称轴为直线，结合表格可知，顶点坐标为，∴，，，将点代入，得，，解得，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点，将代入，得，，解得，（负值，舍去），∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米；（3）解：根据题意，改进后，，将代入，得，，解得，（负值，舍去）．∵，又∵，∴，∴．答：改进后投掷实心球的距离能超过10米．【知识点】无理数的估值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用【解析】【分析】（1）根据表格中数据和求出对称轴和顶点坐标，然后根据待定系数法求函数解析式即可；（2）由（1）可得最高点坐标，令，求出x的值解答即可；（3）先得到新的函数表达式，再令，求出x的值，利用无理数的估算比较解答即可．27．【答案】（1）证明：如图1，连接，∵，，∴∽，∴，即；（2）（0，2）（3）解：设，，则OA=-x1，OB=x2，令 中的x=0得出y=c，∴C(0，c)，∴OC=-c，令 中的y=0得出由韦达定理可得，，∵，∴，，∴．【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】（2）解：∵，∴，，，由（1）知，，∴，解得，∴；故答案为：（0，2）；【分析】（1）连接AC、BD，由同弧所对的圆周角相等得出∠C=∠B，∠A=∠D，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得出△APC∽△DPB，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；（2）由A、B、C三点坐标得出OA=1，OB=3，OC=1.5，结合（1）的结论可求出OD=2，从而即可得到点D的坐标；（3）设A(x1，0)，B(x2，0)，则OA=-x1，OB=x2，根据抛物线与y轴交点的坐标特点求出点C的坐标，得出OC=-c；令抛物线解析式中的y=0可得，根据一元二次方程根与系数的关系得出，结合（1）的结论即可求出OD的长，从而即可得到点D的坐标.（1）证明：如图1，连接，∵，，∴∽，∴，即；（2）解：由（1）知，，∵，∴，，，∴，解得，∴；（3）解：设，，∵，即，当时，由韦达定理可得，，，则．28．【答案】（1）（0，﹣3）和（2，﹣3）（2）解：∵抛物线经过点A（﹣2，0），∴，∴n＝m+1，∵，∴对称轴为直线x＝m，∵与y轴交点为（0，n），∴点D的坐标为（2m，m+1）．（3）解：①设CD与对称轴交于点G，如图1，若∠CDF＝45°，则DG＝GF，∴，∴m＝1或，当m＝1时，，点P的坐标为，当时，，点P的坐标为，∴点P的坐标为或；②或．【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题29．【答案】（1）解：由表格信息可设，将表格中的数据代入得，，解得：，关于的函数表达式为；（2）解：设总利润为元，则，当时，取得最大值，最大值为25000，答：第天利润最大，最大利润为元；（3）解：①由题意得，第天开始每件商品的单价为元，每件商品的利润为：元，设此时利润为元，则，，且，随的增大而减小，当时，利润取到最大值；②当时，利润取到最大值，，解得：．【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）设总利润为元，根据“销售利润销售量(单件售价单件成本)”列关于的二次函数，化为顶点式求出最值即可；（3）①分析第天起单价下调元后的利润函数，根据二次函数的开口方向与对称轴位置，根据二次函数的性质求出x的值即可；②将①中求得的代入函数关系式，结合已知的最大利润值，得到关于的方程解答即可．30．【答案】（1）解：设y=at2+bt+c，将(0，0)，(1，27)，(2，48)代入，得，解得，∴y关于t的函数解析式为：（2）解：当t=4时，y=-3×42+30×4=72，答：汽车刹车4s后，行驶了72m.（3）解：不会，理由如下：∵y=-3t2+30t=-3(t-5)2+75，∴当t=5时，汽车停下，行驶了75m，∵75<80∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-行程问题【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式；(2)将t=4代入(1)中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离；(3)求出(1)中函数的最大值，与80m比较，即可解决问题.31．【答案】（1）解：B（8，0），C（8，6），D（0，6）（2）解：抛物线L1和L2的顶点坐标分别为（4，14），（4，-4）；分别设抛物线和的表达式为，，将代入，得，解得，则抛物线的表达式为；将代入，得，解得；则抛物线的表达式为．【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的对称性及应用【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边长，，∴，，，，∴，，；故答案为：，，；（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，如图，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P，结合矩形和抛物线的对称性，可得是抛物线和的对称轴，，，∴四边形是矩形，∴，∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，∴，，∴抛物线和的顶点坐标分别为，，故答案为：，；【分析】（1）由矩形的性质即可得到点B，C，D的坐标；（2）根据抛物线的对称性得到是抛物线对称轴公式，然后根据图中数据得出抛物线和的顶点坐标然后根据顶点式，利用待定系数法求出解析式即可．1 / 14月下旬之二次函数—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递一、选择题1．已知二次函数 当x=3m 和2n 时，其函数值相等，则 的值为 ( )A．0 B．18 C．36 D．54【答案】C【知识点】求代数式的值-整体代入求值；二次函数的对称性及应用；因式分解-平方差公式【解析】【解答】解：∵ x=3m 和2n 时，其函数值相等，∴对称轴为x=，即3m+2n=6，∴，故答案为：C .【分析】先根据抛物线的对称性得到3m+2n=6，然后整体代入计算即可.2． 已知抛物线 （a， c 为常数且a≠0) ，当x≥1 时 若抛物线 与y轴的交点位于最高位置时，则y2的图像可能正确的是（ )。A． B．C． D．【答案】A【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质【解析】【解答】解：∵，又∵当时．∴∵，抛物线与轴的交点位于最高位置，∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下，故答案为：A .【分析】将两个抛物线的解析式化为顶点式，根据时即可得到，借进而得到抛物线的开口及最高点坐标解答即可.3．已知二次函数 是实数，a>0)，A(1-m，n)，B(1+m，n)是函数图象上两个不同的点，下列说法中正确的是( )A．若m<1，则(-1-m)n>0 B．若 m>1，则(1+m)n<0C．若m>1，则(1+m)n>0 D．若 m<1，则(-1-m)n<0【答案】C【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；分类讨论【解析】【解答】解：∵和纵坐标相等，∴ 两点关于二次函数对称轴对称，二次函数对称轴为直线，∵ 二次函数的对称轴为，∴，得，∴ 二次函数解析式为，将代入得：，∵，当时，∵，，，∴，故B错误，C正确；当时，若，则，若，则，故A，D错误．故选：A.【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数的对称轴为x=1，即可得到b=-2a，即可得到二次函数为，将B点坐标代入求出n的值，然后分为或两种情况计算判断解答即可．4．已知二次函数过点A（x1，y1），B（x1+t，y2），C（x1+2t，y3）三点.记m=y2-y1，n=y3-y2，下列命题正确的是（ ）A．若n-m>2，则t<-1 B．若n-m<2，则t>-1C．若t>1，则n-m>2 D．若t<1，则n-m<2【答案】C【知识点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：由题意可得：∴，若，则，∴或，故A是假命题；若，则，∴，故B是假命题；若，则，故C为真命题；若，则，即，故D为假命题，故答案为：C．【分析】根据题意代入x1，x2，x3的值，求出y1，y2，y3，即可求出m和n，再计算，然后根据题意逐项计算判断即可．5．已知二次函数 的图象顶点为 M，图象上有一点 P (x1，y1)满足 若Q (x2， y2)是函数图象(PM段)上的一点(不与 P， M重合)，令 则t的范围是( )A．t<3 B．t>9 C．0【答案】D【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质【解析】【解答】由解析式为 可得顶点 M 的坐标为(m，k)。已将点 P的坐标代入得 ，即 ，又∵，∴，解得： ，∴点 P 的横坐标为∵点 是函数图象上 PM段之间的一点，并且点Q不与点 P、点M重合，∴即 ，点 代入函数解析式的 ，即 ，将 代入可得 ，∵，∴，即0故答案选：D.【分析】将点P的坐标代入解析式得，再根据得到，然后将Q点在PM段得到，在将点Q坐标代入解析式，借助即可得到，即可得到t的取值范围解答即可.6．某学习小组分到如图1所示农耕地△ABC用于劳动课种植果蔬，已知 小明(点D)从点A 出发，同时小红(点E)从点B 出发，以相同的速度按逆时针方向沿△ABC的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺(DE)保持笔直.当小明到达点B时，小红刚好到达点C；当小明到达点C时，小红到点A还差m米.在小明从点B到点 C的过程中，设BD为x米，四边形ABDE的面积为y平方米，如图2，y关于x的函数图象与y轴的交点为(0，48)，最低点的纵坐标为n.下列结论正确的是( )A．m=3B．n=38C．△ABC的面积为49平方米D．当四边形ABDE为梯形时， y=27【答案】B【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）【解析】【解答】解：根据题意，当时，，∴的面积为平方米，故C错误；由题意可知，，，，如图，作于点，作于点，∵，，∴，，在中，，∴，由勾股定理可得，，∴，∵，∴，解得，∴，，∴，故A错误；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，，，∴是关于的二次函数，图象开口向下，顶点坐标为，∴，故B正确；对于D：∵的最小值为，故D错误．【分析】根据x=0时y=48，可得的面积为平方米，判断C选项；由题意可知，，，作于点，根据正切的定义和三线合一可得，，然后根据的面积求出AB长，求出a的值判断A选项；作于点，根据平行得到，求出，即可得到，得到最低点坐标判断B选项，D选项解答即可．7． 有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时刻观测到了一座灯塔，12分钟后测得灯塔位于船的北偏东方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里．经过持续测量船只与灯塔之间距离（海里），发现与船行路程（海里）之间满足二次函数的数量关系（如图2），其中最低点为点，以下说法正确的是（ ）A．B．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时C．船行速度为24海里/小时D．点在函数图象上【答案】D【知识点】二次函数-动态几何问题；方位角；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题【解析】【解答】解：∵在该函数图象上，∴当时，，即或（舍去）；∴当时，这艘船与灯塔的距离为20海里，即这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，∵二次函数的最低点B的坐标为，∴这艘船航行距离为m海里时，该船与灯塔的距离最近，且为海里，∴当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，如图所示，设灯塔的位置用点E表示，船的初始位置用点O表示，过点E作船行进路线所在的直线的垂线，垂足为H，则海里，海里，∴由勾股定理得，即，故A说法错误；当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里，∴海里，∴，∴点在函数图象上，故D说法正确；设12分钟后这艘船的位置用G点表示，连接，则，∴是等腰直角三角形，∴海里，∴海里，∴船行速度为海里/小时，故C说法错误；由点B的坐标可知，对称轴为直线，∴由对称性可知点在函数图象上，∴这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，∴船只可以观测到灯塔的持续时间可达小时，故B说法错误．故答案为：D.【分析】由点A和点B的坐标可得这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，根据勾股定理求出m的值判断A选项；当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，即可求出海里，根据勾股定理求出判断D选项；根据航行12分钟时这艘船的路程判断C选项；利用对称性得到这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，据此判断B选项解答即可．8．如图1，直线l⊥直线m，垂足为点O，点A和点 B分别是直线l和直线m上两定点，点P从点A 出发，以每秒1个单位长度，沿直线l水平向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度，沿直线m竖直向上运动，设运动时间为x(s)，△PQO面积为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，图象与x轴只有一个交点D，且经过G(1，9)和E(n，q)，点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，下列选项正确的是( )A．点D坐标为(3， 0) B．当y=9时， x=1或7C．q=32 D．点(10， 34)在该函数图象上【答案】B【知识点】三角形的面积；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数的对称性及应用【解析】【解答】解：设OA长a，OB=b，∵图象与x轴只有一个交点D，∵函数经过G(1， 9)，解得：a=4(取正值)，当y=0时，x=4，∴点D的坐标为(4， 0)，故A选项错误，不符合题意；当y=9时，解得：∴当y=9时，x=1或7，故B选项正确，符合题意；当x=0时，y=16，∵点C和点E是关于抛物线的对称轴对称的两点，故C选项错误，不符合题意；当x=10时，y=36，故D选项错误，不符合题意.故答案为：B.【分析】设OA长a，OB=b，则 得到y关于x的函数关系式，根据抛物线与x轴只有一个交点得到a和b的关系，进而把(1，9)代入抛物线解析式可得抛物线解析式，进而判断所给选项是否正确即可.9．如图1，点O为△ABC的重心，当动点P从点A 出发沿△ABC的边逆时针运动一周，设点P的运动路程为x，OP2为y，y关于x函数的部分图象如图2所示，则下列说法中正确的是( )A．n=3 B．m=50C． D．△ABC的面积为30【答案】C【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）【解析】【解答】解：∵函数图象过点(0，25)，此时点P与点A重合，当 时，OP最短，此时 最小，如图：∵函数最低点为(4， n)，∴AP=4，∴OP=3，故A选项错误，不符合题意；∵函数图象过点(10，m)，此时点P与点B重合，故B选项错误，不符合题意；延长CO交AB于点M，作CN⊥AB于点N，∴OP∥CN，∴△MOP∽△MCN，∴CN=9，∵AB=10，点M是AB的中点，∴AM=BM=5，∵AP=4，∴MP=AM-AP=1，∴MN=3，∴BN=BM+MN=8，故C选项正确，符合题意；故D选项错误，不符合题意.故选： C.【分析】根据函数图象中的关键点判断出n，m的值，进而延长CO交AB于点M，作 于点N，构造 分别求得CN，BN的长度即可求得BC的长度，即可求出 的面积.10．如图1，在等腰直角三角形ABC中， P是斜边AB上一点，过点 P分别作 PD⊥AC， PE⊥BC，垂足分别为点 D， E，设PD=x， PD·PE=y.若y关于x的函数图象如图2所示，点(m， t)和(n， t)在函数图象上， m+n=8，则下列选项正确的是( )A．AB=8B．当m=1时， t=8C．点(4，16)在该函数图象上D．该函数图象的最高点的纵坐标为8【答案】C【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题【解析】【解答】解：∵为等腰直角三角形，∴，∵，∴为等腰直角三角形，四边形为矩形，∴，设，则，，∴，即y是关于x的二次函数，且对称轴为直线，∵点和在函数图象上，，∴，即，∴，，即y关于x的函数解析式为，故A选项错误，不符合题意；当时，，故B选项错误，不符合题意；当时，，则点在该函数图象上，故C选项正确，符合题意；∵，，∴该函数图象的最高点的纵坐标为16，故D选项错误，不符合题意；故答案为：C.【分析】根据题意即可得到为等腰直角三角形，四边形为矩形，设，即可得哦大，得到抛物线的对称轴为直线，再根据求出，得到二次函数的解析式解答即可.11．冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）.一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点B所在水平直线为x轴、起跳点A所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：AB的长为25米，∠ABO=37°，tan37°≈0.75.】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点B处，设抛物线的函数表达式为平行于y轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点C，D，则下列所作技术分析正确的是（ ）A．着陆坡的水平宽度OB=18.75米B．点A的坐标为（0，12）C．D．当CD的最大值为10米时，【答案】C【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-抛球问题；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式【解析】【解答】解：，，故，解得，，在中，，，，米，故A错误；在中，，，米，故，故B错误；抛物线的函数表达式为，将代入，故，化简得，，故C正确；设设着陆坡所在直线的表达式为，将代入，，解得，，，，则，，对于二次函数，其对称轴为，当时，有最大值，将代入，即，∵的最大值为10米，即，解得，故D错误；故答案为：C.【分析】根据解直角三角形的计算求出判断选项A和选项B；根据待定系数法可得，整理判断选项C；利用待定系数法求出一次函数解析式，求出，求出对称轴为直线，根据最值得到，求出a的值判断选项D解答即可．12．如图，函数y=ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x=1：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③9a-3b+c=0；④5a+b+c=0；⑤若点A（a+1，y1），B（a+2，y2）在抛物线上，则y1＞y2；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有（ ）个.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用【解析】【解答】解：①∵抛物线与轴有两个交点，，，故①符合题意；②∵抛物线开口向上，，∵抛物线对称轴在轴右侧，∴与异号，即，∵抛物线与轴交点在轴下方，，故②不符合题意；③∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，∴抛物线与轴的另一个交点为，∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，∴当时，，，故③不符合题意；④∵抛物线与轴的一个交点为，，∵抛物线对称轴为，，，，故④符合题意；∵，∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，故⑤不符合题意；⑥抛物线对称轴为，抛物线开口向上，时，有最小值，（为任意实数），故⑥符合题意；综上所述，①④⑥符合题意，共有个；故答案为：B .【分析】根据图象与轴有两个交点得到即可判断①；根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点位置得到a，b，c的取值范围判断②；根据图象的对称轴，利用抛物线的对称性得到另一个交点为，代入抛物线解析式判断③；根据图象抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴可得，将代入，判断④；根据，即可得出，根据二次函数增减性即可判断⑤；根据二次函数的最值判断⑥解答即可．二、填空题13．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于A（-1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 ．【答案】x＞3或x＜-1【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的对称变换【解析】【解答】解：∵抛物线与直线交于，两点，∴，，∴抛物线与直线交于，两点，观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，∴不等式的解集为或．故答案为或．【分析】不等式变形为，判断抛物线与直线关系，而直线PQ：与直线AB：关于y轴对称，求出抛物线与直线交于，两点，然后借助图象得到抛物线在直线下方时的自变量的取值范围解答即可．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 【答案】或【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用【解析】【解答】解：∵ax2-mx-n+c≤0，∴ax2+c≤mx+n.∴不等式ax2-mx-n+c≤0的解集可以看作是二次函数y=ax2+c的图象在一次函数y=mx+n的图象下方的部分对应的自变量的取值范围∵A(2， p)，B(-4， q)∴结合图象，不等式ax2-mx-n+c≤0的解集为x≤-4或x≥2故答案为：x≤-4或x≥2.【分析】依据题意，由图象中直线在抛物线上方的x的取值范围，进而判断得解.三、解答题15．定义：对于y关于x的函数，在a≤x≤b (a（1）对于一次函数y=2x+1，在0≤x≤3的范围内，分别求出M和m的值.（2）对于二次函数 甲、乙两位同学有以下说法：甲同学说： “在0≤x≤3的范围内， M=0， m=-3.” 乙同学说：“在0≤x≤t的范围内， 若M-m=4， 则M=0， m=-4.”甲、乙两位同学的说法正确吗 请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由.【答案】（1）解：因为一次函数y=2x+1的函数值y随自变量x的增大而增大，所以当x=3时， M=2×3+1=7；当x=0时， m=2×0+1=1.（2）解：甲同学说法错误；乙同学说法正确.对“甲同学说法”的判断理由如下：因为x=1在0≤x≤3的范围内，所以当x=1时， m=-4.所以当x=1时， m=-4.即甲同学说法错误.【知识点】二次函数的最值；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质【解析】【分析】(1)根据一次函数的增减性得到最值即可；(2)先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲同学的推断即可.16．已知抛物线 点 A(1，0)在此抛物线上．（1）求b的值；（2）若点在该抛物线上，且 求m的取值范围；（3）将此抛物线向左平移n(n>0)个单位，设平移中抛物线与y轴的交点为D(0，d)，令d的最大值和最小值分别为若 求n的值．【答案】（1）解：将A (1，0)代入 中，得-1+b-5=0解得b=6（2）解：由(1)知，抛物线表达式为∴对称轴为直线∴B (5， y1)关于直线x=3对称点B'坐标为(1，y1)，∴1（3）解：抛物线 ，∴ 顶点坐标为(3，4)，与y轴交于点(0，-5)∴向左平移过程中，与y轴交点最大值抛物线向左平移n个单位的表达式为将(0，-8)代入y2中，得化简得解得 (舍)故n的值为.【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式【解析】【分析】(1)将点A坐标代入二次函数解析式求出b的值即可；(2)根据(1)中的计算得出抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性解答即可；(3)求出抛物线的顶点坐标和抛物线与y轴交点坐标，根据平移可得与y轴交点纵坐标的最大值为4，即可得到纵坐标的最小值为-8，设抛物线向左平移n个单位的表达式为 ，代入(0，-8)求出n的值即可，.17． 在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）当时，求抛物线与轴的交点坐标；（2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的的取值范围；（3）已知和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围．【答案】（1）解：当时，，当，∴抛物线与轴的交点坐标为；（2）解：∵点在的图象上，∴，解得：或（舍），∴解析式为：，则向上平移3个单位长度后的函数解析式为：，对称轴为直线：，∵，∴当时，，当时，，当时，，∴，∴当时，求新的二次函数的的取值范围：． （3）解：由题意得，，在上恒成立，问题转化为：在上恒成立，当时，，令，当时，，要满足时，，则，如图：∴；当时，，令，当时，，要满足时，，则，如图：∴综上所述：对于，都有，则的取值范围为或．【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换；分类讨论【解析】【分析】（1）先得到抛物线的解析式，令，求出y的值即可得到与y轴的交点坐标；（2）把点A的坐标代入求出m的值，即可得到抛物线的解析式，进而求出平移后的解析式，根据二次函数的增减性解答即可；（3）由题意得， 根据题意可得在上恒成立，然后分为 ，两种情况画图解答即可．18．已知抛物线b为常数）经过点（-1，-4），当x=-2时，函数值为p，当x=1时，函数值为q，p+q=-7.（1）求函数表达式。（2）若过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B恰为线段AC的中点，求t的值。（3）有一条直线向下平移9个单位长度得到直线l2。设m<2夹在两条直线直线l1，l2之间，求n-m的最大值。【答案】（1）解：解得（2）解：设B（m，t），∵点B恰为线段AC中点，∴C（2m，t）解得当时，（3）解：当直线l1与抛物线相切，即只有一个交点时，解得：t=2∵直线l1：y=2x+2向下平移9个单位长度得到直线l2，∴l2：y=2x-7解得：∵m<2∴当m=-2，n=4时，∴（m-n）max=4-（-2）=6【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题【解析】【分析】(1)将已知点代入抛物线方程，结合p+q=-7列方程组，求解a、b得到函数表达式；(2)根据直线与抛物线交点及中点坐标关系，利用对称轴性质求交点横坐标，代入抛物线求t；(3)先求直线l1与抛物线相切时的t值，确定l2方程，联立l2与抛物线求交点，结合m<219．已知抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）.（1）若抛物线的对称轴是直线x=2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0）.①求抛物线的表达式；②若点A的坐标为（3，3），动点P在直线OA下方的抛物线上，连接PA，PO，试判断△AOP的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；（2）若b=-6a，抛物线过点B（-2，0），与y轴交于点C，将点B绕点N（0，n）（n＜0）顺时针旋转（旋转角小于180°）得到点B'，当点B'恰好落在抛物线上，且满足∠BNB'+∠BCB'=180°时，求n的值.【答案】（1）解：①由题意，得，解得抛物线的表达式为．②存在，的面积的最大值为．如图1，作直线，过点P作轴交于点Q．设．，，直线的表达式为，，，，当时，的面积有最大值．（2）解：将点代入，得．把代入，解得，，抛物线的表达式为，．如图2，过点N作于点F，过点N作交的延长线于点G，则，设与x轴的交点为K，由旋转可得．，，．，，，平分．，，．，直线的表达式为，当时，解得，，．，，，解得，即n的值为．【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形全等的判定-AAS；二次函数-面积问题【解析】【分析】（1）①根据待定系数法求出二次函数的解析式即可；②作直线，过点P作轴交于点Q．设，利用待定系数法求出的解析式，因此，根据得到，利用顶点坐标求出最值即可；（2）把点的坐标与代入求出抛物线的表达式为，即可得到．过点N作于点F，过点N作交的延长线于点G，设与x轴的交点为K，根据AAS得到，即可得到到，再根据角平分线的性质可得到，进而得到，求出直线的解析式为，令，求出点B的坐标．根据，利用两点间的距离公式求出n的值即可．20．已知抛物线y=ax2-4ax+12（a为常数，a≠0）.（1）求该抛物线的对称轴.（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，B（点A在原点O的左侧），OB=3OA.①求a的值；②设m＜2＜n，抛物线的一段y=ax2-4ax+12（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间.若直线l1，l2之间的距离为9，求n-m的最大值.【答案】（1）解：∵∴抛物线的对称轴为直线x=2（2）解：①令y=0， 则y=ax2-4ax+12=0设该方程的两根为x1，x2(x1∵点A在原点O的左侧，OB=3OA，∴x2=-3x1，∵，∴x1+x2=4， 即x1+(-3x1)=4，∴x1=-2，x2=6，把x1=-2代入y=ax2-4ax+12=0，得a(-2)2-4×(-2)a+12=0，解得a=-1；②∵a=-1，∴该函数表达式为y=-x2+4x+12=-(x-2)2+16∴该抛物线的顶点坐标为(2，16)，∵该抛物线的一段y=-x2+4x+12(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1和l2之间，且m<2如图，上方的平行线不能在顶点(2，16)下方，∵直线l1和l2之间的距离为9，∴要使n-m最大，则直线l经过顶点(2，16)，此时直线l2为y=16-9=7，∴当y=-(x-2)2+16=7时解得x1=-1，x2=5，∴n-m的最大值为5-(-1)=6【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用【解析】【分析】(1)由对称轴公式直接求解即可；(2)①易得x2=-3x1，再根据对称轴求得，可得x1=-2，x2=6，代入抛物线求解即可；②易得抛物线的顶点坐标为(2，16)，要使n-m最大，则直线l1经过顶点(2，16)，此时直线l2为y=16-9=7，据此求解即可.21．我们不妨约定：如果一个函数的图象上存在不同两点关于y轴对称，那么我们称这样的对称点为”欣妮对”，这样的函数为”BY对称函数”.（1）判断函数y=kx+b（k，b为常数）是否为”BY对称函数”，并说明理由.（2）若关于x的函数是“BY对称函数”，且仅有一组“欣妮对”，求a的取值范围。（3）已知“BY对称函数”y=x2+bx+c经过点A（0，-4），且与经过原点O的直线交于B，C两点，过点F（0，f）（其中f＜0）作x轴的平行线，分别交直线AB，AC于点D，E，是否存在常数f，使OE⊥OD恒成立？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：当时，函数（，为常数）是“对称函数”，当时，函数（，为常数）不是“对称函数”，理由如下：当时，，此时函数图象上存在关于轴对称的点，故此时函数（，为常数）是“对称函数”，当时，不存在关于轴对称的点，若存在，设其中一点，则关于轴的对称点为，∵，∴不在函数图象上，故当时，函数（，为常数）不是“对称函数”；（2）解：∵关于的函数是“对称函数”，∴设，，， 且点，关于轴对称，∴，，∴，∴，∵仅有一组“欣妮对”，∴，∴；（3）解：存在常数，使恒成立，∵“对称函数”经过点，∴，∴，∵是“对称函数”，∴函数的对称轴是轴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，∵直线经过点，∴，∴直线的解析式为，联立，解得：，，∴，∵直线与直线的交点为，∴，∴，∴，设直线的解析式为，∵直线经过点，∴，∴直线的解析式为，联立，解得：，，∴，∵直线与直线的交点为，∴，设经过原点O的直线的解析式为，将，代入解析式可得：，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，整理可得：，∴，解得，，∵，∴，∴存在常数，使恒成立．【知识点】待定系数法求一次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象上点的坐标特征；根据一元二次方程的根的情况求参数【解析】【分析】（1）分析和两种情况，根据“对称函数”的定义判断解答即可；（2）设，，， 将两点分别代入解析式可得，，从而得出，利用根情况可得判别式，求出a的值解答即可；（3）先求出函数解析式为，然后根据待定系数法求出直线、的解析式，再分别与抛物线解析式联立，求出交点、的坐标，利用勾股定理解答即可．22．我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离.已知点A (m，n)为平面直角坐标系内一点.（1）若将点A (m，n)先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A'，求点A 的平移距离AA'的长度；（2）将直线l： y=x+1平移得直线l'，设直线l上任意一点A (m， n)平移后的对应点为A'.若直线l的平移距离 且直线AA'平行于第二、四象限的角平分线，求直线l'的函数表达式；（3）将抛物线 沿着射线y=2x(x≥0)方向平移得到抛物线 当0≤x≤4时，抛物线 上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y1的平移距离d的取值范围.【答案】（1）解：由题意可知，（2）解：如图，∵AA"平行于二四象限角平分线，当直线l向左上方平移时，则平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位，当直线l向右下方平移时，则平移距离为向右平移3个单位，向下3个单位，综上，直线l'的函数表达式为y=x+7或y=x-5（3）解：设抛物线向右平移a个单位，则向上平移2a个单位，得∴对称轴为直线x=2+a，平移距离当 时，抛物线上横坐标为0的点离x轴距离最大，此时 由题意，解得 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象的平移变换；二次函数图象的平移变换【解析】【分析】(1)直接根据勾股定理求解即可；(2)平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位或向右3个单位，向下3个单位，据此即可得解；(3)得到平移后的抛物线的解析式为 则平移距离为 再据此求解即可.23．已知二次函数 (其中a为常数)，（1）将二次函数 化为顶点式，并写出它的最小值．（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B(点A 在点B左侧)，与y轴交于点C，当△ABC 的面积为3时，求a的值．（3）当a=2时，是否存在实数t，使得t≤x≤t+2时二次函数 最大值与最小值的差为8 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：即二次函数化为顶点式，∵抛物线开口向上，∴当时，它的最小值为．（2）解：当时，，∴，解得∵点A在点B左侧，∴∴，当时，，∴，∵的面积为3，∴，则或（不合题意，舍去）解得或；（3）解：当时，，∴抛物线的对称轴为直线，当即时，在上，随着的增大而减小，∴当时，有最大值，当时，有最小值，∵二次函数最大值与最小值的差为8，∴，解得，当时，在上，随着的增大而增大，∴当时，有最小值，当时，有最大值，∵二次函数最大值与最小值的差为8，∴，解得，当即时，当时有最小值，比较与值求最大值，当时，即时，时，有最大值，∵二次函数最大值与最小值的差为8，∴解得，∵，∴不合题意，舍去，当时，即时，时，有最大值，∵二次函数最大值与最小值的差为8，∴解得，∵，∴不合题意，舍去，∴存在的值，或．【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题；分类讨论【解析】【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，根据顶点坐标得到最值解答即可；（2）令y=0，解方程求出点A，B的横坐标的值，求出的长；令x=0求出y的值得到点的坐标，然后利用三角形面积公式求出a的值解答即可；（3）当a=2时求出抛物线的对称轴为直线x=2，然后分为，，三种情况，根据二次函数的增减性求出最大值和最小值，列方程求出t的值解答即可．24．已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），且，图象顶点的横坐标为4．（1）求两点的坐标．（2）求方程的解．（3）若，将此二次函数在轴下方的图象沿轴翻折得到新的函数图象，若直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，当时，求的值．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，图象顶点的横坐标为4．∴二次函数对称轴为直线，且两点关于对称，∵，在的左侧，∴两点到的距离为，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴方程化简为：，∴，解得：；（3）解：，翻折后，如图，直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，，对称轴为直线，设，则，分别代入对应解析式，得：，，即，解得：，．【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的对称变换；利用交点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用【解析】【分析】（1）先确定二次函数对称轴为直线，根据抛物线的对称性可得两点关于对称，再结合AB=10，得到A、B两点到x=4的距离为，从而结合x轴上点的坐标特点得出点A、B的坐标；（2）利用交点式结合A、B两点坐标得到，代入方程，利用因式分解法求解即可；（3）先求出抛物线解析式为，翻折后，再画出图形；设，由抛物线的对称性得，分别代入对应解析式，结合，得到，即可求解．（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，图象顶点的横坐标为4．∴二次函数对称轴为直线，且两点关于对称，∵，在的左侧，∴两点到的距离为，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴方程化简为：，∴，解得：；（3）解：，翻折后，如图，直线与新图象有4个交点，从左至右依次为，，对称轴为直线，设，则，分别代入对应解析式，得：，，即，解得：，．25．定义：在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.请根据以上信息，解答以下问题：（1）如图，矩形OABC是某一次函数的关联矩形，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，试求出该一次函数的表达式.（2）若二次函数.的图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，求a与m的值.【答案】（1）解：设y=kx+b（k≠0），由题意可知当一次函数图象经过点C（0，4），A（3，0）时，有解得∴y=x+4当一次函数图象经过点O（0，0），B（3，4）时，有解得，∴y=x，综上，该一次函数的表达式为或。（2）∴其对称轴为直线x=2.∵二次函数的图象的关联矩形是矩形OABC，∴当a>0时，图象经过点（0，4），（2，0），则解得当a<0时，图象经过点(0，0)，(2，4），则解得∴a=1，m=0或a=-1，m=4【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）根据关联矩形的定义，一次函数图象需完全落在矩形OABC(0≤x≤3，0≤y≤4)内，因此一次函数的图象需经过矩形的顶点，分两种情况：过A(3，0)和C(0，4)，或过O(0，0)和B(3，4)，分别用待定系数法求解析式；（2）先将二次函数配方，确定其对称轴，再根据关联矩形OABC的范围0≤x≤3，0≤y≤4，分a>0(开口向上)和a<0(开口向下)两种情况，结合函数在区间上的最值，列方程求解a和m。26．【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线.【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离x(单位：m)和竖直高度y(单位：m)的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图.设抛物线的表达式为x …… 0.8 2.3 3.8 5.3 6.8 ……y …… 2.7 3.375 3.6 3.375 2.7 ……（1）【建立模型】求出抛物线的函数表达式.（2）【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离.（3）【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为 a，顶点为(m-0.1， k-0.1)，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米.【答案】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等，∴抛物线的对称轴为直线，结合表格可知，顶点坐标为，∴，，，将点代入，得，，解得，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点，将代入，得，，解得，（负值，舍去），∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米；（3）解：根据题意，改进后，，将代入，得，，解得，（负值，舍去）．∵，又∵，∴，∴．答：改进后投掷实心球的距离能超过10米．【知识点】无理数的估值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用【解析】【分析】（1）根据表格中数据和求出对称轴和顶点坐标，然后根据待定系数法求函数解析式即可；（2）由（1）可得最高点坐标，令，求出x的值解答即可；（3）先得到新的函数表达式，再令，求出x的值，利用无理数的估算比较解答即可．27．综合与实践【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有．（1）【猜想验证】请证明上述结论．（2）【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________．（3）【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标．【答案】（1）证明：如图1，连接，∵，，∴∽，∴，即；（2）（0，2）（3）解：设，，则OA=-x1，OB=x2，令 中的x=0得出y=c，∴C(0，c)，∴OC=-c，令 中的y=0得出由韦达定理可得，，∵，∴，，∴．【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】（2）解：∵，∴，，，由（1）知，，∴，解得，∴；故答案为：（0，2）；【分析】（1）连接AC、BD，由同弧所对的圆周角相等得出∠C=∠B，∠A=∠D，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得出△APC∽△DPB，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；（2）由A、B、C三点坐标得出OA=1，OB=3，OC=1.5，结合（1）的结论可求出OD=2，从而即可得到点D的坐标；（3）设A(x1，0)，B(x2，0)，则OA=-x1，OB=x2，根据抛物线与y轴交点的坐标特点求出点C的坐标，得出OC=-c；令抛物线解析式中的y=0可得，根据一元二次方程根与系数的关系得出，结合（1）的结论即可求出OD的长，从而即可得到点D的坐标.（1）证明：如图1，连接，∵，，∴∽，∴，即；（2）解：由（1）知，，∵，∴，，，∴，解得，∴；（3）解：设，，∵，即，当时，由韦达定理可得，，，则．28．定义：在平面直角坐标系中，我们把经过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的平割线．（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的平割线与这条抛物线的交点坐标为 ；（2）经过点A（﹣2，0）和B（x，0）（x＞﹣2）的抛物线与y轴交于点C，它的平割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线EF垂直平分OC，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F．①当∠CDF＝45°时，求点P的坐标；②若直线EF与直线MN关于平割线对称，是否存在使点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（0，﹣3）和（2，﹣3）（2）解：∵抛物线经过点A（﹣2，0），∴，∴n＝m+1，∵，∴对称轴为直线x＝m，∵与y轴交点为（0，n），∴点D的坐标为（2m，m+1）．（3）解：①设CD与对称轴交于点G，如图1，若∠CDF＝45°，则DG＝GF，∴，∴m＝1或，当m＝1时，，点P的坐标为，当时，，点P的坐标为，∴点P的坐标为或；②或．【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题29．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱.自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（1≤x≤28，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：第x天 1 2 3 4 5 6 7 …销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤28，且x为整数）成一次函数关系且满足z=-2x+100.已知该纪念品成本价为20元/件.（1）求y关于x的函数表达式；（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来的函数关系，问：①当第x天（20≤x≤28，且x为整数）的销售利润取到最大值，此时x的值为多少？②若①中销售利润的最大值是20250元，求此时a的值.【答案】（1）解：由表格信息可设，将表格中的数据代入得，，解得：，关于的函数表达式为；（2）解：设总利润为元，则，当时，取得最大值，最大值为25000，答：第天利润最大，最大利润为元；（3）解：①由题意得，第天开始每件商品的单价为元，每件商品的利润为：元，设此时利润为元，则，，且，随的增大而减小，当时，利润取到最大值；②当时，利润取到最大值，，解得：．【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）设总利润为元，根据“销售利润销售量(单件售价单件成本)”列关于的二次函数，化为顶点式求出最值即可；（3）①分析第天起单价下调元后的利润函数，根据二次函数的开口方向与对称轴位置，根据二次函数的性质求出x的值即可；②将①中求得的代入函数关系式，结合已知的最大利润值，得到关于的方程解答即可．30．综合与实践．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：刹车后行驶的时间 0 1 2 3刹车后行驶的距离y 0 27 48 63发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：（1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；（3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．【答案】（1）解：设y=at2+bt+c，将(0，0)，(1，27)，(2，48)代入，得，解得，∴y关于t的函数解析式为：（2）解：当t=4时，y=-3×42+30×4=72，答：汽车刹车4s后，行驶了72m.（3）解：不会，理由如下：∵y=-3t2+30t=-3(t-5)2+75，∴当t=5时，汽车停下，行驶了75m，∵75<80∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-行程问题【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式；(2)将t=4代入(1)中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离；(3)求出(1)中函数的最大值，与80m比较，即可解决问题.31．问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示.外形参数；如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成.抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边长AB=8cm，BC=6cm，抛物线L2的高度为4cm.在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上.问题解决：如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务：（1）直接写出B，C，D三点的坐标；（2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2函数表达式.【答案】（1）解：B（8，0），C（8，6），D（0，6）（2）解：抛物线L1和L2的顶点坐标分别为（4，14），（4，-4）；分别设抛物线和的表达式为，，将代入，得，解得，则抛物线的表达式为；将代入，得，解得；则抛物线的表达式为．【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的对称性及应用【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边长，，∴，，，，∴，，；故答案为：，，；（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，如图，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P，结合矩形和抛物线的对称性，可得是抛物线和的对称轴，，，∴四边形是矩形，∴，∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，∴，，∴抛物线和的顶点坐标分别为，，故答案为：，；【分析】（1）由矩形的性质即可得到点B，C，D的坐标；（2）根据抛物线的对称性得到是抛物线对称轴公式，然后根据图中数据得出抛物线和的顶点坐标然后根据顶点式，利用待定系数法求出解析式即可．1 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