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4月下旬之三角形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AE=DE B．AF∥DE C．DE⊥AB D．AE=AF
2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB，AC分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E．作射线AE与边BC交于点D．若∠C＝38°，则∠ADC的度数为（　　）
A．116° B．120° C．128° D．142°
3． 如图，在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有圆弧的半径均相等)。若AD=2，则BC=（　　)。
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，以下结论错误的是（　　）
A．AD是∠BAC的平分线 B．∠ADC=60°
C．点D在线段AB的垂直平分线上 D．S△ABD：S△ABC=1：2
5．小红借助两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB 与△ODC 都是顶角为锐角的等腰三角形，且它们关于直线l对称，点 E，F 分别是底边AB，CD 的中点，OE⊥OF，90°<∠AOD<180°.设∠AOF=α，则∠BOC 的大小为 （　　)
A．2a-180° B．α-90° C．180°-α D．270°-2α
6．如图，Rt△ABC中，∠A=30°，∠ABC=90°，将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B， C的对应点分别为点D， E， DE的延长线与边BC相交于点F，连接CE.若AC=4， CF=2，则线段CE的长为(　　)
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，BE⊥AC，∠EBC=45°，在BC上取一点D，使得AB=AD，求CD和AE的数量关系是（　　）
A． B．CD=2AE C． D．CD=1.5AE
9．下图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线 MP 分别交正方形ABCD 的两边于点E，F，若MN=1，EM=MP=PF，则AB= （　　)
A． B． C．2 D．
10．如图，在△ABC中，∠BAC与∠EBC的平分线相交于点H，BE=BC，点D在AC的延长线上，HG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CH，下列结论：①∠ACB=2∠AHB；②S△HAC：S△HAB=AC：AB；③BH垂直平分CE；④∠HCF=∠CHF；⑤GF+FC=GA，其中正确的有（　　）
A．①②④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
二、填空题
11．如图， ∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心， OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点 C，连接OC，则∠OAC的大小为　 　．
12．如图，D是△ABC中AC边上的一点，将△ABD沿着BD对折，点A的对应点E恰好落在BC上，连结AE，若AE=BD=6，CE=2BE，则AD的长为　 　.
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，直角顶点 B，D 都在x轴上，连结CE，交y轴于点M.若OB=OD=1，点A(m，n)，M为线段CE 的中点，则点C的坐标为　 　(用含m，n的代数式表示)，点M 的坐标为　 　.
14． 如图，已知，，，，点D在所在直线上运动，以为边作等边三角形，则　 　．在点D运动过程中，的最小值　 　．
15．如图，在 △ABC中， ∠ABC的平分线BD交AC边于点D，BC边上的高AE与BD交于点 F，已知∠ABC =60°，∠C =45°. CE =3 则BF的长为　 　.
16．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB=8，BC=6，则EF的长是　 　.
17．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F.其中结论正确的是　 　 .（填序号）
①∠AFC=120°；②若AB=2AE，则CE⊥AB；③CD+AE=AC；④S△AEF：S△FDC=AF：FC.
18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=9，点D是BC边上的一点，且BD=3，点E是AB边上一个动点，连接DE.现以DE为一边在右侧作等边△EFD，连接CF.
⑴当点E与点B重合时，CF=　 　.
⑵在点E运动过程中，线段CF的最小值为　 　.
三、解答题
19．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD.
（1）求证：△ACD是等腰三角形；
（2）若BC=16，AD=10，求△ABC的面积.
20．如图， BC是由CA绕点C顺时针旋转90°得到的，即AC=BC，且∠ACB=∠BDC=∠AED=90°.
（1）求证： CE=BD.
（2）若 求BD的长.
21．如图1，点E为△ABC边BC的中点，D为线段EC上动点（点D不与点E，C重合），连接AD，DG平分∠ADB，交AB于点G.
（1）若∠ADC=120°，求∠BDG的度数；
（2）若DM⊥DG交AC于点M.
①求证：DM平分∠ADC；
②如图2，DF⊥AB交AB于点F，连接EF，PF⊥EF交AD于点P，∠DFP+∠B=2∠ADM，请判断AF与PF的大小关系，并说明理由.
22．新定义：两个内角度数之差等于 的三角形称为“类直角三角形”.
（1）【判定】如图 1， 中， 求证： 是“类直角三角形”.
（2）【性质】如图2， 是“类直角三角形”， 求AB 的长度.
23．小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；②作直线CD，则直线CD就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）小明进一步探究：以点D为圆心，适当长为半径画弧分别交DA、DC于P、Q两点，再分别以点P、Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧在∠ADC内交于点M，直线DM交AC于点E，则AE＝CE ▲ （填写理由），使用尺规作图在图中补全作图痕迹
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：如图，
根据尺规作图痕迹可得：是的角平分线，是的垂直平分线，
∴，故A正确；，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故D正确；
根据条件无法判断C；
故答案为：C．
【分析】根据尺规作图可得是的角平分线，是的垂直平分线，从而可以得到AE=DE，利用等边对等角可得判断A选项；，即可得到 AF∥DE 判断B选项；根据ASA得到，即可得到AE=AF判断D，无法得到DE⊥AB判断C选项解答即可．
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
3．【答案】B
【知识点】尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图可得是线段的垂直平分线，
∴为的中点，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据作图可知是线段的垂直平分线，根据直角三角形中斜边上的中线性质解答即可．
4．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
【分析】根据作图可知是的角平分线判断A选项；根据角平分线的定义得到，则进而求出的度数判断B选项；利用等角对等边得到，再根据线段垂直平分线的判定得到点在的垂直平分线上判断C选项；根据角所对的直角三角形的性质得到，即可得到，判断D选项解答即可．
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由旋转得：，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∴由勾股定理得，，
∴，
∵与同高，
∴与的面积之比为．
故选：D．
【分析】根据旋转可得，，即可得到是等边三角形，进而得到，设，根据勾股定理求出，，然后根据同高的两三角形的面积比等于相似比解答即可．
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接交于G，如图所示：
根据旋转可得：，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】连接，根据旋转可得，，再在中根据勾股定理求出AF长，利用HL得到，即可得到，然后得到垂直平分，进而可得，根据三角形面积公式求出求出CG长，根据三线合一解答即可．
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，∠EBC=45°
∴∠C=90°-45°=45°
过点D作DG⊥AC于点G
∴∠DGC=90°
在Rt△DGC中，
∵∠C=45°
∴△DGC是等腰直角三角形
∴CD=DG
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（AAS）
∴AE=DG
∴CD=AE
故答案为：C
【分析】通过作辅助线（垂线）构造等腰直角三角形△DGC，得到线段CD，DG的关系，再利用AAS判定证明△ABE≌△ADG，由全等三角形的性质可证明AE=DG，从而得到CD与AE的长度关系。
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：，
故①正确；
∵平分，
∴H到，的距离相等，
∴，故②正确；
∵，平分，
∴垂直平分（三线合一），故③正确；
∵与的平分线相交于点H，
∴点H到，的距离相等，点H到，的距离相等，
∴点H到，的距离相等，
∴点H也位于的平分线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，故④正确；
由④得：，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
，故⑤正确；
综上可知，①②③④⑤正确．
故答案为：D .
【分析】利用角平分线的定义和三角形外角得到 ∠ACB=2∠AHB 判断①；根据角平分线的性质和三角形的面积公式求出比值判断②；根据三线合一判断③；④根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到 ∠HCF=∠CHF 判断④；由④的结论得，根据角平分线的定义与平行线的性质可得判断⑤解答即可．
11．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AC， BC，
由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB，
∴OC垂直平分线段AB， 为等边三角形，
故答案为：
【分析】连接AC， BC，根据作图可得OC垂直平分线段AB， 为等边三角形，求出∠AOC=50°，∠ACB=60°，即可求出∠ACO=30°，再根据三角形的内角和定理解答即可.
12．【答案】.
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设与交于点，
∵将沿着对折，点的对应点恰好落在上，，，
∴，
∴，
∴点，在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，
∴是中边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，且与等高，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即的长为．
故答案为：.
【分析】设与交于点，根据折叠的性质可得AE⊥BD，根据三角形面积公式求出△ABD的面积为27，再根据求出，即可求出的长，再在中利用勾股定理求出的长解答即可．
13．【答案】(-n-1，m+1)；(0，1)
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AH⊥x轴于点H，过点E作EK⊥x轴于点K，
则BH=m+1，AH=n，DH=m-1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠CGB=∠AHB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=∠ABH+∠CBG=90°，
∴∠GCB=∠ABH，
∴△CBG≌△BAH(AAS)，
∴CG=BH=m+1，BG=AH=n，
∴OG=BG+OB=n+1，
∴点C的坐标为(-n-1，m+1)，
同理可得EK=AH=m-1，DK=AK=n，
∴OK=OD+DK=1+n，
∴点E的坐标为(1+n，-m+1)
∵点M是CE的中点，
∴点M的坐标为(0，1）；
故答案为：(-n-1，m+1)； (0，1）.
【分析】过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AH⊥x轴于点H，过点E作EK⊥x轴于点K，根据AAS得到△CBG≌△BAH，即可得到CG=BH=m+1，BG=AH=n，进而求出点C的坐标。同理得到点E的坐标，再根据中点坐标公式计算点M的坐标即可.
14．【答案】2；
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：以为边作等边，并作，垂足为点H，连接，如图：
，，，，
∴，
∴，，即，
∴，，
∵都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴最小即是最小，
∴当时，最小，此时，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：2，．
【分析】以为边作等边，作于点H，连接，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出，，再根据“”得到，即可得到，进而可知最小即是最小，此时，解答即可．
15．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：∵是高，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，．
故答案为： .
【分析】先得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长，再在中，根据正切的定义求出的长，利用角平分线定义求出，最后根据余弦的定义求出的长解答即可．
16．【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解 ∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是 的中位线.
∵BF平分
故答案为：1.
【分析】利用中位线定理，得到 根据平行线的性质，可得 再利用角平分线的定义得到 由此得到DF=DB，进而求出DF的长，即可求得 EF的长度.
17．【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①在中，，
，
∵平分，平分，
，，
，故①正确；
②如图，延长至G，使，连接，
，
，
，
，
，，
为角平分线，
，
，
，
，
，故②正确；
③如图，作作的平分线交于点G，
由①得：，
，
，
，
，，
，，
，，
，故③正确；
④过G作，于点G，H，
由④知，为的角平分线，
，
，
，，
，故④正确．
综上所述：正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠AFC判断①；延长至G，使，连接，根据SAS得到，即可得到，利用三线合一判断②；作的平分线交于点G，可得，根据ASA得到，，即可得到，判断③；过G作，于点G，H，由③知，为的角平分线，即可得到，进而得到，根据，判断④解答即可．
18．【答案】；6
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】
解：（1）如图，当点E与点B重合时，为等边三角形，，作，交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
（2）如图，以为边在上方作等边三角形，连接，过点作于点，于点，
∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
由垂线段最短可得，当点与点重合时，最小，即最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：6.
【分析】（1）当点E与点B重合时，为等边三角形，作于点，根据等边三角形的性质可得，，然后根据勾股定理解答即可；
（2）以为边在上方作等边三角形，连接，过点作于点，于点，根据SAS得到，即可得到，当最小时，最小，根据垂线段最短得到，当点与点重合时，最小，即最小，然后推理得到四边形为矩形，即可得到结论．
19．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴△ACD为等腰三角形
（2）解：过点A作，垂足为H，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质得到，根据等角对等边得出即可得到，即可得到结论；
（2）过点A作，垂足为H，根据三线合一得到CH的值，再根据勾股定理求出AH的长，利用三角形面积公式解答即可．
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值不符合题意，舍去），
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据AAS得到，然后根据对应边相等得到结论即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得，再根据三线合一得到，再根据勾股定理解答即可．
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：①证明：∵DM⊥DG，
∴∠GDM=90°，
∴∠ADG+∠ADM=90°，∠BDG+∠CDM=90°，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG=∠ADG=ADB，
∴∠ADM=∠CDM，
∴DM平分∠ADC；
②解：AF与PF的大小关系为AF＞PF，理由：
由（2）①知：DM平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADM．
∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFE+∠DFE=90°．
∵PF⊥EF，
∴∠PFE=90°，
∴∠DFE+∠PFD=90°．
∴∠PFD=∠BFE，
∵∠DFP+∠B=2∠ADM，
∴∠BFE+∠B=2∠ADM=∠ADC，
∵∠FEC=∠BFE+∠B，
∴∠FEC=∠ADC，
∴FE∥AD，
∵PF⊥EF，
∴PF⊥AD，
∴∠APF=90°，
∵斜边大于直角边，
∴AF＞PF
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；余角；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义得到，然后根据角平分线的定义解答即可．
（2）①根据垂直的定义得到得出，然后根据等交的余角相等得到结论即可；
②根据垂直得出，然后利用外角得到，证出，即可证，即可得到，再根据垂线段最短证明即可．
22．【答案】（1）证明：因为∠A=120°，AB=AC，
所以∠B=∠C=30°，所以∠A-∠B=90°或∠A-∠C=90°，所以△ABC是“类直角三角形”.
（2）解：作AD⊥AC交BC 于点D，因为∠BAC-∠B=90°，所以∠B=∠BAD，所以DB=DA.
设DB=DA=x，则CD=8-x，
在直角三角形ADC中，根据勾股定理可得x2+42=(8-x)2，解得x=3.
作AH⊥BC交BC 于点 H，可求出
在直角三角形ABH 中，根据勾股定理可得
【知识点】勾股定理；直角三角形的判定
23．【答案】（1）解：如图，直线CD即为所求：
（2）解：图形如图所示：
由作图可知DE平分∠ADC，
∵DA＝DC，
∴AE＝CE（等腰三角形三线合一的性质），
故答案为：等腰三角形三线合一的性质．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
1 / 14月下旬之三角形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AE=DE B．AF∥DE C．DE⊥AB D．AE=AF
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：如图，
根据尺规作图痕迹可得：是的角平分线，是的垂直平分线，
∴，故A正确；，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故D正确；
根据条件无法判断C；
故答案为：C．
【分析】根据尺规作图可得是的角平分线，是的垂直平分线，从而可以得到AE=DE，利用等边对等角可得判断A选项；，即可得到 AF∥DE 判断B选项；根据ASA得到，即可得到AE=AF判断D，无法得到DE⊥AB判断C选项解答即可．
2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB，AC分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E．作射线AE与边BC交于点D．若∠C＝38°，则∠ADC的度数为（　　）
A．116° B．120° C．128° D．142°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
3． 如图，在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有圆弧的半径均相等)。若AD=2，则BC=（　　)。
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图可得是线段的垂直平分线，
∴为的中点，
∵，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据作图可知是线段的垂直平分线，根据直角三角形中斜边上的中线性质解答即可．
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，以下结论错误的是（　　）
A．AD是∠BAC的平分线 B．∠ADC=60°
C．点D在线段AB的垂直平分线上 D．S△ABD：S△ABC=1：2
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
【分析】根据作图可知是的角平分线判断A选项；根据角平分线的定义得到，则进而求出的度数判断B选项；利用等角对等边得到，再根据线段垂直平分线的判定得到点在的垂直平分线上判断C选项；根据角所对的直角三角形的性质得到，即可得到，判断D选项解答即可．
5．小红借助两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB 与△ODC 都是顶角为锐角的等腰三角形，且它们关于直线l对称，点 E，F 分别是底边AB，CD 的中点，OE⊥OF，90°<∠AOD<180°.设∠AOF=α，则∠BOC 的大小为 （　　)
A．2a-180° B．α-90° C．180°-α D．270°-2α
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质
6．如图，Rt△ABC中，∠A=30°，∠ABC=90°，将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由旋转得：，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∴由勾股定理得，，
∴，
∵与同高，
∴与的面积之比为．
故选：D．
【分析】根据旋转可得，，即可得到是等边三角形，进而得到，设，根据勾股定理求出，，然后根据同高的两三角形的面积比等于相似比解答即可．
7．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B， C的对应点分别为点D， E， DE的延长线与边BC相交于点F，连接CE.若AC=4， CF=2，则线段CE的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接交于G，如图所示：
根据旋转可得：，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】连接，根据旋转可得，，再在中根据勾股定理求出AF长，利用HL得到，即可得到，然后得到垂直平分，进而可得，根据三角形面积公式求出求出CG长，根据三线合一解答即可．
8．如图，在△ABC中，BE⊥AC，∠EBC=45°，在BC上取一点D，使得AB=AD，求CD和AE的数量关系是（　　）
A． B．CD=2AE C． D．CD=1.5AE
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，∠EBC=45°
∴∠C=90°-45°=45°
过点D作DG⊥AC于点G
∴∠DGC=90°
在Rt△DGC中，
∵∠C=45°
∴△DGC是等腰直角三角形
∴CD=DG
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（AAS）
∴AE=DG
∴CD=AE
故答案为：C
【分析】通过作辅助线（垂线）构造等腰直角三角形△DGC，得到线段CD，DG的关系，再利用AAS判定证明△ABE≌△ADG，由全等三角形的性质可证明AE=DG，从而得到CD与AE的长度关系。
9．下图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线 MP 分别交正方形ABCD 的两边于点E，F，若MN=1，EM=MP=PF，则AB= （　　)
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系
10．如图，在△ABC中，∠BAC与∠EBC的平分线相交于点H，BE=BC，点D在AC的延长线上，HG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CH，下列结论：①∠ACB=2∠AHB；②S△HAC：S△HAB=AC：AB；③BH垂直平分CE；④∠HCF=∠CHF；⑤GF+FC=GA，其中正确的有（　　）
A．①②④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：，
故①正确；
∵平分，
∴H到，的距离相等，
∴，故②正确；
∵，平分，
∴垂直平分（三线合一），故③正确；
∵与的平分线相交于点H，
∴点H到，的距离相等，点H到，的距离相等，
∴点H到，的距离相等，
∴点H也位于的平分线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，故④正确；
由④得：，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
，故⑤正确；
综上可知，①②③④⑤正确．
故答案为：D .
【分析】利用角平分线的定义和三角形外角得到 ∠ACB=2∠AHB 判断①；根据角平分线的性质和三角形的面积公式求出比值判断②；根据三线合一判断③；④根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到 ∠HCF=∠CHF 判断④；由④的结论得，根据角平分线的定义与平行线的性质可得判断⑤解答即可．
二、填空题
11．如图， ∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心， OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点 C，连接OC，则∠OAC的大小为　 　．
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接AC， BC，
由作图可得，OA=OB，AC=BC=AB，
∴OC垂直平分线段AB， 为等边三角形，
故答案为：
【分析】连接AC， BC，根据作图可得OC垂直平分线段AB， 为等边三角形，求出∠AOC=50°，∠ACB=60°，即可求出∠ACO=30°，再根据三角形的内角和定理解答即可.
12．如图，D是△ABC中AC边上的一点，将△ABD沿着BD对折，点A的对应点E恰好落在BC上，连结AE，若AE=BD=6，CE=2BE，则AD的长为　 　.
【答案】.
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设与交于点，
∵将沿着对折，点的对应点恰好落在上，，，
∴，
∴，
∴点，在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，
∴是中边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，且与等高，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即的长为．
故答案为：.
【分析】设与交于点，根据折叠的性质可得AE⊥BD，根据三角形面积公式求出△ABD的面积为27，再根据求出，即可求出的长，再在中利用勾股定理求出的长解答即可．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，直角顶点 B，D 都在x轴上，连结CE，交y轴于点M.若OB=OD=1，点A(m，n)，M为线段CE 的中点，则点C的坐标为　 　(用含m，n的代数式表示)，点M 的坐标为　 　.
【答案】(-n-1，m+1)；(0，1)
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AH⊥x轴于点H，过点E作EK⊥x轴于点K，
则BH=m+1，AH=n，DH=m-1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠CGB=∠AHB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=∠ABH+∠CBG=90°，
∴∠GCB=∠ABH，
∴△CBG≌△BAH(AAS)，
∴CG=BH=m+1，BG=AH=n，
∴OG=BG+OB=n+1，
∴点C的坐标为(-n-1，m+1)，
同理可得EK=AH=m-1，DK=AK=n，
∴OK=OD+DK=1+n，
∴点E的坐标为(1+n，-m+1)
∵点M是CE的中点，
∴点M的坐标为(0，1）；
故答案为：(-n-1，m+1)； (0，1）.
【分析】过点C作CG⊥x轴于点G，过点A作AH⊥x轴于点H，过点E作EK⊥x轴于点K，根据AAS得到△CBG≌△BAH，即可得到CG=BH=m+1，BG=AH=n，进而求出点C的坐标。同理得到点E的坐标，再根据中点坐标公式计算点M的坐标即可.
14． 如图，已知，，，，点D在所在直线上运动，以为边作等边三角形，则　 　．在点D运动过程中，的最小值　 　．
【答案】2；
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：以为边作等边，并作，垂足为点H，连接，如图：
，，，，
∴，
∴，，即，
∴，，
∵都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴最小即是最小，
∴当时，最小，此时，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：2，．
【分析】以为边作等边，作于点H，连接，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出，，再根据“”得到，即可得到，进而可知最小即是最小，此时，解答即可．
15．如图，在 △ABC中， ∠ABC的平分线BD交AC边于点D，BC边上的高AE与BD交于点 F，已知∠ABC =60°，∠C =45°. CE =3 则BF的长为　 　.
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：∵是高，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，．
故答案为： .
【分析】先得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出的长，再在中，根据正切的定义求出的长，利用角平分线定义求出，最后根据余弦的定义求出的长解答即可．
16．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB=8，BC=6，则EF的长是　 　.
【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解 ∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是 的中位线.
∵BF平分
故答案为：1.
【分析】利用中位线定理，得到 根据平行线的性质，可得 再利用角平分线的定义得到 由此得到DF=DB，进而求出DF的长，即可求得 EF的长度.
17．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F.其中结论正确的是　 　 .（填序号）
①∠AFC=120°；②若AB=2AE，则CE⊥AB；③CD+AE=AC；④S△AEF：S△FDC=AF：FC.
【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①在中，，
，
∵平分，平分，
，，
，故①正确；
②如图，延长至G，使，连接，
，
，
，
，
，，
为角平分线，
，
，
，
，
，故②正确；
③如图，作作的平分线交于点G，
由①得：，
，
，
，
，，
，，
，，
，故③正确；
④过G作，于点G，H，
由④知，为的角平分线，
，
，
，，
，故④正确．
综上所述：正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠AFC判断①；延长至G，使，连接，根据SAS得到，即可得到，利用三线合一判断②；作的平分线交于点G，可得，根据ASA得到，，即可得到，判断③；过G作，于点G，H，由③知，为的角平分线，即可得到，进而得到，根据，判断④解答即可．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=9，点D是BC边上的一点，且BD=3，点E是AB边上一个动点，连接DE.现以DE为一边在右侧作等边△EFD，连接CF.
⑴当点E与点B重合时，CF=　 　.
⑵在点E运动过程中，线段CF的最小值为　 　.
【答案】；6
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】
解：（1）如图，当点E与点B重合时，为等边三角形，，作，交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
（2）如图，以为边在上方作等边三角形，连接，过点作于点，于点，
∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
由垂线段最短可得，当点与点重合时，最小，即最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：6.
【分析】（1）当点E与点B重合时，为等边三角形，作于点，根据等边三角形的性质可得，，然后根据勾股定理解答即可；
（2）以为边在上方作等边三角形，连接，过点作于点，于点，根据SAS得到，即可得到，当最小时，最小，根据垂线段最短得到，当点与点重合时，最小，即最小，然后推理得到四边形为矩形，即可得到结论．
三、解答题
19．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD.
（1）求证：△ACD是等腰三角形；
（2）若BC=16，AD=10，求△ABC的面积.
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴△ACD为等腰三角形
（2）解：过点A作，垂足为H，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质得到，根据等角对等边得出即可得到，即可得到结论；
（2）过点A作，垂足为H，根据三线合一得到CH的值，再根据勾股定理求出AH的长，利用三角形面积公式解答即可．
20．如图， BC是由CA绕点C顺时针旋转90°得到的，即AC=BC，且∠ACB=∠BDC=∠AED=90°.
（1）求证： CE=BD.
（2）若 求BD的长.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值不符合题意，舍去），
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据AAS得到，然后根据对应边相等得到结论即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得，再根据三线合一得到，再根据勾股定理解答即可．
21．如图1，点E为△ABC边BC的中点，D为线段EC上动点（点D不与点E，C重合），连接AD，DG平分∠ADB，交AB于点G.
（1）若∠ADC=120°，求∠BDG的度数；
（2）若DM⊥DG交AC于点M.
①求证：DM平分∠ADC；
②如图2，DF⊥AB交AB于点F，连接EF，PF⊥EF交AD于点P，∠DFP+∠B=2∠ADM，请判断AF与PF的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：①证明：∵DM⊥DG，
∴∠GDM=90°，
∴∠ADG+∠ADM=90°，∠BDG+∠CDM=90°，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG=∠ADG=ADB，
∴∠ADM=∠CDM，
∴DM平分∠ADC；
②解：AF与PF的大小关系为AF＞PF，理由：
由（2）①知：DM平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADM．
∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFE+∠DFE=90°．
∵PF⊥EF，
∴∠PFE=90°，
∴∠DFE+∠PFD=90°．
∴∠PFD=∠BFE，
∵∠DFP+∠B=2∠ADM，
∴∠BFE+∠B=2∠ADM=∠ADC，
∵∠FEC=∠BFE+∠B，
∴∠FEC=∠ADC，
∴FE∥AD，
∵PF⊥EF，
∴PF⊥AD，
∴∠APF=90°，
∵斜边大于直角边，
∴AF＞PF
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；余角；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义得到，然后根据角平分线的定义解答即可．
（2）①根据垂直的定义得到得出，然后根据等交的余角相等得到结论即可；
②根据垂直得出，然后利用外角得到，证出，即可证，即可得到，再根据垂线段最短证明即可．
22．新定义：两个内角度数之差等于 的三角形称为“类直角三角形”.
（1）【判定】如图 1， 中， 求证： 是“类直角三角形”.
（2）【性质】如图2， 是“类直角三角形”， 求AB 的长度.
【答案】（1）证明：因为∠A=120°，AB=AC，
所以∠B=∠C=30°，所以∠A-∠B=90°或∠A-∠C=90°，所以△ABC是“类直角三角形”.
（2）解：作AD⊥AC交BC 于点D，因为∠BAC-∠B=90°，所以∠B=∠BAD，所以DB=DA.
设DB=DA=x，则CD=8-x，
在直角三角形ADC中，根据勾股定理可得x2+42=(8-x)2，解得x=3.
作AH⊥BC交BC 于点 H，可求出
在直角三角形ABH 中，根据勾股定理可得
【知识点】勾股定理；直角三角形的判定
23．小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；②作直线CD，则直线CD就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）小明进一步探究：以点D为圆心，适当长为半径画弧分别交DA、DC于P、Q两点，再分别以点P、Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧在∠ADC内交于点M，直线DM交AC于点E，则AE＝CE ▲ （填写理由），使用尺规作图在图中补全作图痕迹
【答案】（1）解：如图，直线CD即为所求：
（2）解：图形如图所示：
由作图可知DE平分∠ADC，
∵DA＝DC，
∴AE＝CE（等腰三角形三线合一的性质），
故答案为：等腰三角形三线合一的性质．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-三线合一
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