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4月下旬之四边形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图，已知矩形AEPG的面积等于矩形GHCD的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（　　）
A．矩形AEFD与矩形PHCF的面积之差
B．矩形ABHG与矩形PHCF的面积之差
C．矩形AEFD与矩形PHCF的面积之和
D．矩形ABHG与矩形PHCF的面积之和
2．如图，E，F、G，H分别是矩形ABCD四边上的点，连结EF，GH相交于点K，且GH∥AD，EF∥AB，设矩形AEKG、矩形EKHD、矩形BFKG、矩形KHCF的面积分别为S1、S2、S3，S4，矩形BFKG∽矩形EKHD，连接AC交GH，EF于点M，N.下列一定能求出△BMN面积的条件是（　　）
A． B． C． D．
3．如图1，这是某展览馆展示的清代木花窗，其造型美观.如图2，经数学抽象、图形提取，然后测量发现，四边形ABCD 的四边相等，点 E，F，G，H 分别为其四边中点，则四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面积之比为 (　　)
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
4． 如图，在正方形中，点为延长线上一点，过作交的延长线于点，连接，作的垂线交于点，交于点，垂足为点，连接．设，阴影部分的面积为定值，当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E为OC上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE， EF交CD于点G，连结BE， CF．当四边形 BCFE为平行四边形时，若sin∠DAC=k，则 的值为(　　)
A．k B． C． D．
6．如图，在 ABCD中，点E， F， G， H分别在边AB， BC， CD， DA上， FH∥AB， EG∥BC，交点O在△ABD的内部，记 AEOH， EBFO， OFCG， OGDH的面积分别为a， b， c，d.若△OBD的面积为k，则下列选项中，可用含k的代数式表示的是(　　)
A．a+c B．a-c C．b+d D．b-d
7．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A'处， A'D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C'处，下列结论一定正确的是(　　)
A． B．∠1=α C． D．∠2=2α
8．如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，E 为边 BC 上的动点(不与端点重合)，点F 在 BC 的延长线上，且CF=BE，过点 F 作 FG⊥BD 于点 G，连结AE，EG，则下列比值为定值的是 (　　)
A． B． C． D．
9．如图， ABCD中，DE∥BG，AF∥CH，E，G分别在AF，CH上，连结FH，∠AFB=120°，若△AFB≌△HEF，△AED与△HEF的面积相等，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10． 如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论：
①的长为10；②的周长为18；③；④的长为5，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为　 　.
12．如图，平行四边形中，点E是的中点，连接，将沿折叠使点B落在点F处，连接和，延长交于点G，和相交于点H，若，，，则的长为　 　．
13．如图，在矩形 MNPQ内正好放置一个立方体的表面展开图，正方形ABCD 是原立方体的一个面，点E，F，G是原立方体的顶点，展开后点A，E，F，G均在矩形 MNPQ的边上，若点C， D， Q在同一直线上，则tan∠AEM 的值是　 　.
14．如图，在正方形ABCD中， AB=6，点F在其外角∠DCE的平分线上，以CF为边作矩形CFGH，点G恰好落在边AD上，边GF与CD交于点P，连结AF，HF.若 则AF的长为　 　.
15．如图，在 ABCD中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与AD，AB分别交于点E，F.再分别以E，F 为圆心，大于 的长为半径作弧，两条弧交于∠DAB内一点 G.作射线AG，交 DC于点H，交BC的延长线于点 K.已知AB=5， AD=3，则CK的长为　 　.
16．如图，在平行四边形ABCD中， ∠A=75°， AB =6，将平行四边形ABCD绕顶点 B 顺时针旋转到平行四边形A'BC'D'，当C'D'经过点C时，点A'到AB的距离为　 　.
17．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC上动点.将四边形MNCD沿直线MN折叠，点D的对应点D'恰好落在边AB上，C的对应点为C'，连接DN、DD'，其中DD'交MN于点P.若AB=6，AD=10，∠ADC=2∠NDD'=60°，则MP的长度为　 　.
18．如图，在 ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将△ADE沿AE翻折得△AFE，连结BF，点B，F，E恰好在同一直线上，延长AF交BC于点G.则△BFG与四边形AGCD的面积比为　 　.
19． 如图，在菱形中，在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点分别在边上，点在对角线上．若，则阴影部分的面积为　 　．
20．如图，已知矩形ABCD中点E，F分别是BC，AD上的点，其中AB=2BE=2，将△ABE沿AE折叠，△CDF沿CF折叠，点B和点D恰好落在同一点P上，求DF=　 　.
21．如图，正方形与矩形在直线l的同侧，边在直线l上．保持正方形不动，并将矩形以的速度沿方向移动，移动开始前点E与点D重合，当矩形完全穿过正方形即点H与A点重合）时停止移动，设移动时间为．已知，，，连接．
（1）矩形从开始移动到完全穿过正方形，所用时间为　 　；
（2）在矩形移动的过程中，存在最小值时相应的　 　；
三、解答题
22．如图，在 ABCD中，连结AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连结MN分别交BC，AD，AC于点E，F，O，连结AE，CF.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若E为BC中点，求 ABCD的面积.
23．老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB外一点 P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线AB上任取一点C，以点C为圆心，CP的长为半径画弧交AB于点D，再分别以点P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE， 则 PE∥AB.
（1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由.
（2） 连接PD， 若PC=5， PD=6， 求点 P到直线AB的距离.
24．如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，点E在边AB 上， ▲ .请从“①∠B=∠AED；②BE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号)，再解决下列问题：
（1）求证：四边形 BCDE为平行四边形.
（2）若AD⊥CD，AD=8，BC=10，AE=CD，求平行四边形 BCDE 的面积.
25．已知平行四边形，在平行四边形内作菱形ABCD．
小亮的作法：如图1，连接BD，分别以D、B为圆心大于 的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点A，C，连接AB，CD，则四边形ABCD 即为菱形．
（1）判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
（2）小丽说，作平行四边形AECF一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗 请你在图2中作出图形(保留作图痕迹)．
26．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为AD边上一点（0＜AE＜3），连结EO并延长，交BC于点F.四边形ABFE与A'B'FE关于EF所在直线成轴对称，线段B'F交AD边于点G.
（1）求证：GE=GF；
（2）当AE=2DG时，求AE的长；
（3）令AE=a，DG=b.求证：（4-a）（4-b）=4.
27．如图
（1）如图①，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．求证：BE＝DF，BE⊥DF；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到△BEG，延长DG和BC相交于点F．若CE＝2DE，求FG的长；
（3）保持（2）中AB，AD的大小不变，扭动矩形，使得∠A＝120°，如图③所示．E是CD边上一点且满足CE＝2DE，点F是BC延长线上一点，连接DF交射线BE于点G，当线段DF与射线BE所夹的锐角为60°时，直接写出DG DF的值．
28．已知：在矩形ABCD中，点 E 在边 AB 上，将 沿 CE 折叠，点 B 的对称点 F 恰在边 AD 上.
（1）如图1，若 求∠CFD 的度数.
（2）如图2，过点 B 作BG∥EF，交 CF 于点G.求证：AF=FG.
（3）如图3，在(2)的条件下，作BH 平分∠CBG，交CE 于点H，设AF=m，AB=n，求BH 的长(用含m，n的代数式表示).
29．如图，四边形是菱形，其中，点在对角线上，点在射线上运动，连接，作，交直线于点．
（1）在线段上取一点，使，求证：；
（2）图中，．
①点在线段上，求周长的最大值和最小值；
②记点关于直线的轴对称点为点，若点落在的内部（不含边界），求的取值范围．
30． 如图1，在菱形ABCD中， E是对角线BD上一点，连结AE，设 将 沿AE 折叠得到 连结DG 并延长交BC于点H。
（1）用含α的代数式表示
（2）求证： ①∠BDH=∠BAE； ②BH=BE。
（3）如图2，当DG： GH=2：1时，求DE： BE的值。
31．如图，正方形ABCD，直线DA绕点 D顺时针旋转α至DE (0°≤α≤45°)，作A关于直线DE的对称点F， AF交DE于点 G，连CF交DE于点 H，连BH交AC于点M．小明在探究∠DHC与α的大小关系时，发现其对应如下：
α 10° α
∠DHC ① ▲ ② ▲
（1）请填表，并证明结论②：
（2）求证： BH∥AF；
（3）在直线DA旋转过程中，试探究线段AM与线段CM的比(用含α的式子表示)．
32．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点(不包含端点)， AG⊥EF于点 G， GM⊥AB于点M， EF=AG.
（1）如图1，求证： △AMG≌△ECF.
（2）如图2，过点 E作 HE⊥BC分别交AG， MG于点 H， N.
①求证：四边形 BMNE为正方形；
②求证： HE+GN=AB；
③若AB=1，请直接写出HE的取值范围.
33．综合与实践
（1）【提出问题】如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点P是对角线BD上一动点，连接AP，将PA绕点P顺时针旋转60°得到PQ，连接AQ，DQ.则∠ADQ的度数为　 　；
（2）【类比探究】如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，且BP>DP，连接AP，将AP绕点P顺时针旋转90°得到PQ，连接AQ，DQ.
①求∠ADQ的度数；
②当BP=BA=2时，求DQ的长；
（3）【迁移运用】如图3，在矩形ABCD中，AB=4，∠ADB=30°，点P是对角线BD上一动点，连接AP，以AP为边在AP的右边作Rt△APQ，且∠APQ=90°，∠AQP=30°，当点Q到BD的距离为时，直接写出BP的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：因为矩形的面积等于矩形的面积，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即矩形为矩形面积之差的一半，
故答案为：B.
【分析】由矩形的面积等于矩形的面积得到，根据正切可得，进而得到，再根据割补法表示阴影部分面积即可．
2．【答案】B
【知识点】相似多边形；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：矩形矩形，
设矩形与矩形的相似比为，即，
设，，
则在矩形、矩形中，，，
矩形、矩形、矩形的对边互相平行，，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据相似矩形设相似比为k，，，即可得到，，根据相似三角形的额对应边成比例可得，，然后根据割补法表示△BMN和解答即可．
3．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接BD和AC交于点O，EH和AC交于点M，
∵ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，，
又∵E，F，G，H是中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，，，
∴EF∥HG，EH∥FG，∠EMA=∠BOA=∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴，
∴ 四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面积之比为1：2，
故答案为：A .
【分析】连接BD和AC交于点O，EH和AC交于点M，根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH是矩形，然后根据菱形和矩形的面积公式解答即可.
4．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点G作于点M，
∵四边形是正方形，，
∴，，，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵阴影部分的面积为定值，
∴是定值，即当的值发生变化时，代数式的值不变．
【分析】过点G作于点M，根据正方形的性质，利用AAS得到，即可得到，进而可得，根据解答即可．
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，且，
∵，
∴，
设，则，
由折叠得，
在中，；
∴，
又四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】设，根据菱形的性质和争先的定义求出，再根据折叠可得，利用勾股定理求出，，然后推理得到是平行四边形，即可得到，，再根据平行线得到，利用对应边成比例解答即可．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，
由题意得，，，
，
，
，
，
∴，
整理得，即，
∴．
可用含的代数式表示的是．
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质结合，根据割补法列式计算即可求解．
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，即，
∴，故A不正确；
∵，
∴，故B不正确；
∵折叠，
∴ ，
∵，故C不正确，D选项正确；
故选：D．
【分析】根据矩形的性质得到，，根据平行线的性质得到，进而根据折叠的性质得出，，然后逐一判断解答即可．
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接AG， CG， 如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
在 和 中，
又·
是等腰直角三角形，∴GF=GB， ∠F =∠CBG =45°，在△GCF和△GEB中，
∴△GCF≌△GEB(SAS)，
∴CG =EB， ∠CGF =∠EGB，
∴AG=EG，
∴△GAE是等腰三角形，
∵∠AGB =∠CGB， ∠CGF =∠EGB，
∴∠AGE=∠AGB+∠EGB=∠CGB+∠CGF=∠BGF =90°，
∴△GAE是等腰直角三角形，
在Rt△GAE中， 由勾股定理得： AE =
为定值.
故选： A.
【分析】连接AG， CG， 证明△ABG和△CBG全等得AG=CG， ∠AGB=∠CGB， 再证明△GBF是等腰直角三角形得GF=GB， ∠F =∠CBG=45°， 进而可证明△GCF和△GEB全等， 则CG= EB， ∠CGF =∠EGB， 由此可得出△GAE是等腰直角三角形，再由勾股定理得 则 据此即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设，则，，
，
，，
如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，
，
，
，
在中，，
，
．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
，
，
整理得：，
解得：，
由，则．
故答案为：D.
【分析】设，根据全等三角形的对应边相等可得，，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，在中，根据正弦的定义求出HK长，再根据三角形的面积公式求出△HEF的面积，利用平行四边形的判定和性质，利用AAS得到，即可得到，在中，利用正弦的额定义求出DG长，即可求出△ADE的面积．再根据列方程，求出k的值解答即阿珂．
10．【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点作，分别交、于点、，
四边形为矩形，
，，
由折叠可得，且，
四边形为正方形，
，故①正确；
，
和为等腰直角三角形，且，
设，则，，，
又由折叠的可知，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，
，，，
又，
，
，
，
，
，即，
，，故④正确；
，
又和为等腰直角三角形，且，，
，，
的周长，
，
故②③不正确；正确；
综上可知正确的为①④，共2个．
【分析】过点作，交、于点、，根据正方形的性质求出的长判断①，得到和为等腰三角形，设，进而表示、、，根据折叠可得，在中根据勾股定理求出的值，再推理得到，根据对应边成比例求出、和，即可得到长判断②③④解答即可．
11．【答案】10
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4，
∴，，
设菱形中边上的高为h，
则，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】利用菱形的性质和三角形中线分得的两个三角形的面积相等得到，，进而求出，，即可得到的面积，再根据解答即可．
12．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：将沿折叠使点落在点处，
点与点关于直线对称，，
垂直平分，
，，
点是的中点，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，，
，，
，
，即，
解得，
，
故答案为：．
【分析】由翻折得点与点关于直线对称，，则垂直平分，而点是的中点，则，，，证明，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应角相等可得，则，得，由勾股定理得，求得，同理可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求得的值，然后根据线段的和差可求解.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作于点，不妨设，小正方形的边长为1，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去负值），
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】过点作于点，设，小正方形的边长为1，先得到四边形是矩形，根据等角的余角相等得到，然后根据正切的定义求出，然后根据三角形的内角和定理得到，再根据正切的定义解答即可．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
如图所示，连接CG，
∵四边形CFGH是矩形，
在 中，
∵CF是 的角平分线，
在 中，
是等腰直角三角形，
则CP=CD-DP=6-2=4，
如图所示，过点F作
是等腰直角三角形，
∴四边形BKFL是矩形，
在 中，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质，勾股定理得到DG=2，由角平分线的定义得到是等腰直角三角形，可算出 过点F作 则是等腰直角三角形，四边形BKFL是矩形，由此得到AL=4，FL=8，根据勾股定理即可求解.
15．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BK，AD=BC=3，
∴∠K=∠DAK，
由作图可得AK平分∠DAB，
∴∠DAK=∠BAK，
∴∠BAK=∠DAK，
∴BA=BK=5，
∴CK=BK-BC=5-3=2，
故答案为：2.
【分析】根据平行四边形的性质可以得到∠K=∠DAK，然后根据作图可得AK平分∠DAB，即可得到∠DAK=∠BAK，进而得到∠BAK=∠DAK，根据等角对等边得到BA=BK=5，然后根据线段的和差解答即可.
16．【答案】3
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如解图，过点作于点E，
∵四边形为平行四边形，
．
平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，
，，，．
，
．
．
．
，，
．
故答案为：3.
【分析】过点作于点E， 根据旋转的性质得到，根据三角形的内角和定理可得，再根据的直角三角形的性质解答即可．
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，在上截取，连接，
由折叠性质可知，垂直平分，
∴，，，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
过作，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【分析】连接，在上截取，连接，根据折叠可知垂直平分，即可得到，，，，利用等边对等角和三角形的内角和定理可得，根据平行四边形的性质得，，，，即可得到是等边三角形，然后根据AAS得到，即可得到，，求出，过作，交延长线于点，根据勾股定理求出D'F的长，设，利用勾股定理解答即可．
18．【答案】1：8
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长AD，与BE的延长线交于点H，
∵在 ABCD中，BC=3 CD=4
∴AB=CD=4，AD=BC=3，AB//CD，AD//BC
∴∠1=∠2，∠DAG=∠5，∠3+∠C=180°，∠C=∠HDE
∵将△ADE沿AE翻折得△AFE，点B，F，E恰好在同一直线上，
∴AD=AF=3，∠3=∠4，DE=EF
∴AF=BC，
∵∠4+∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠C.
在△ABF和△BEC中，
∴△ABF≌△BEC(AAS)
∴BF=EC， AB=BE=4
∵点E是CD边上的中点
∴BF=EC=DE=EF=2
在△DEH和△CEB中，
∴△DEH≌△CEB(ASA)
∴DH=CB=3， EH=EB=4，
∴AH=FH=6，
∴∠DAG=∠4
∵∠4=∠BFG
∴∠5=∠BFG
∴BF=BG=2
∴CG=1，
∵∠DAG=∠5
∴△BFG∽△HFA
∴
设△BFG边的BG上的高为h，则△AFH的边AH上的高为3h， ABCD的底边AD上的高为4h，则△BFG与四边形AGCD的面积比为
故答案为：1：8.
【分析】延长AD，与BE的延长线交于点H，证明△ABF≌△BEC(AAS)，可推出BF=EC，AB=BE=4，证明△DEH≌△CEB(ASA)，可得DH=CB=3，EH=EB=4，进而可得BF=BG=2，CG=1，因为∠DAG=∠5，证明△BFG∽△HFA，得，设△BFG的边BG上的高为h，则△AFH的边AH上的高为3h， ABCD的底边AD上的高为4h，则△BFG与四边形AGCD的面积比可求.
19．【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：连接交于O，
∵菱形中，
∴，
∵菱形，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴，
同理：，
∴，
∴四边形是菱形，同理：四边形是菱形，
∴，
∵菱形和菱形，
∴，
∴，即，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，解得：，
∴，即，
∴菱形的面积为；
设，则，
由题意可得：，
∴，即，解得：，
∴，，
∴，
∴，即
∴菱形的面积为，
如图：连接交于I，则，
∴，即，
∴菱形的面积为，同理菱形的面积为，
∴．
故答案为：.
【分析】如图，连接交于O，即可得到四边形，，是菱形，然后根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可得到菱形的面积；进而求得菱形，的面积为，然后利用解答即可．
20．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点P作PG⊥AB，PM⊥BC，则PN⊥AD，
∴∠BQA=∠BGP=∠PME=90°，
∴四边形BGPM是矩形，
由折叠性质得∠APE=90°，CP=CD=2，∠CPF=90°，AP=AB=2，EP=EB=1，
在△ABE中，AB=2，BE=1，则AE=
设∠BAE=，则sin=，cos=
∴BP=2BQ=2×=，BQ=ABsin=
∵∠BPG=∠BAE=α，
∴PM=GB=BPsin=×=
GP=BPcos=×=
设AD=BC=a，由CP=2得
()2+(a-)2=22
解得a=
设FP=FD=x，
∵PN=2-=，FP=FD=x
∴()2+[(a-x)-]2=x2
代入a=得
解得
∴
故答案为：
【分析】首先构造矩形BGPM，由折叠的性质得到相关线段的长度、相关角的度数，在Rt△ABE中，利用勾股定理以及解直角三角形等知识可分别求出BP，BQ的长度，再等角代换得到PM，GP的长，在Rt△PMG中，利用勾股定理求出AD，BC的长，在Rt△PMG中，再次利用勾股定理即可求出 DF 。
21．【答案】（1）9
（2）4.4
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；矩形的性质；正方形的性质；四边形-动点问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：(1)如图，
由运动知，E'H'=EH=4，
∵AD=5
∴E'D=E'H'+AD=4+5=9
∴9÷1=9秒
故答案为：9.
(3)由运动知，AE=|t-5|，QG=DH=|t-4|，
在Rt△AEF中，
在Rt△CQG中，，
∴，
此式子的几何意义是：如图5，x轴上一点J(t，0)到点I(5，3)和点T(4，2)的距离之和，
∵当AF+CG的最小时，最小值是点I(5，3)关于x轴的对称点I(5，-3)和点T(4，2)的距离，
即：AF+CG的最小值为
此时点J是TI'与x轴的交点
∵点I(5，-3)和点T(4，2)，
∴I'T直线的解析式为y=-5x+22
将点J(t，0)，代入直线I'T的解析式中得，-5t+22=0
∴t=4.4秒
故答案为：4.4.
【分析】(1)根据平移求出DE'=E'H'+AD=9，即可得出结论；
(2)分两种情况画出图形，利用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可；
(3)建立AG+CG与t的函数关系式，利用几何意义即可得出结论.
22．【答案】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
，，，．
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
，
四边形为菱形；
（2）解：∵F为中点，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∵，
∴，
解得（负值已舍去），
∴，
∴的面积．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质，利用AAS得到，即可得到AE=CE，证明结论即可；
（2）根据菱形的性质求得，然后根据正弦的定义设，则，再根据勾股定理求得，利用平行四边形的面积公式计算即可．
23．【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
连接，
由题意可得：，
∴四边形是菱形，
∴；
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P到直线的距离为，
则，
∴，
∴点P到直线的距离为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；等积变换
【解析】【分析】（1）根据作图得到是菱形，根据菱形的性质得到结论即可；
（2）根据菱形的性质，利用勾股定理求出长，即可求出长，设点P到直线的距离为，然后根据菱形的面积公式计算即可．
24．【答案】（1）证明：两个条件均可，
如选①，则证明过程如下：
因为∠B=∠AED.所以 DE∥BC.又因为 AB∥CD.所以四边形BCDE为平行四边形.
如选②，则证明过程如下：
因为BE=CD.又因为AB∥CD，所以四边形BCDE为平行四边形
（2）解：平行四边形 BCDE的面积为48.
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的面积
25．【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
设与交于点．
由作图方法可知，垂直平分，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，即．
，
∴，
∴，
∴
四边形是菱形；
（2）解：作图如下：
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明，
∴无法证明是菱形，
∴小丽的作法不正确．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）设与交于点，由作图可知垂直平分，即可得到，然后根据平行四边形的性质，利用AAS得到，得到AD=BC，然后根据四条边相等的四边形是菱形证明即可；
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图，根据平行四边形的性质得到∠BAF=∠FCE，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得到，得到，同理可得，即可得到，进而得到是平行四边形，无法证明是菱形，据此解答即可．
26．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GEF=∠BFE，
∵四边形ABFE与A'B'FE关于EF所在直线成轴对称，
∴∠BFE=∠GFE，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF
（2）解：过作于，如图：
设，则，
，
，
四边形是矩形，
，，
点为矩形的对称中心，
，
，
在中，，
，
解得（此时大于，舍去）或，
；
的长为；
（3）证明：如图2，点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，
过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，
∴O为EF中点，OA=OD，，
∵GE=GF，
∴OG⊥EF，
∴∠GOQ=90°-∠EOQ=∠QEO，
∵∠GQO=90°=∠OQE，
∴△GOQ∽△OEQ，
∴，
即GQ EQ=OQ2，
∴GQ EQ=4，
∵OA=OD，OQ⊥AD，
∴，
∴EQ=AQ-AE=4-a，GQ=DQ-GD=4-b，
∴（4-a）（4-b）=4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到，再根据轴对称得到，即可得到，然后根据等角对等边证明即可；
（2）过作于，设，即可得到，，进而得到，求出，在中根据勾股定理解答即可；
（3）过作于，连接，，，得到过点，可得为中点，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例得到，证明结论即可．
27．【答案】（1）证明：延长BE交DF于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCE=∠DCF=90°，
在△BCE和△DCF中，
∴△BCE≌△DCF（SAS）
∴∠CBE=∠CDF，BE=DF，
∵∠BEC=∠DEH，∠BEC+∠BCE+∠CBE=∠DEH+∠CDF+∠DHE=180°
∴∠BCE=∠DHE=90°，
∴BE⊥DF；
（2）解：如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，CE=2DE，延长BE交DF于点H.
∴CD=AB=3，AD=BC=4，DE=1，CE=2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
，
∵△BED沿BE折叠得△BEG，
∴BE垂直平分DG，即DH=HG，BH⊥DF，
∴∠DHE=90°=∠BCE，
∵∠BEC=∠DEH，
∴△BCE∽△DHE
∴，∠CDF=∠CBE，
∴
解得
∴
∵
在Rt△DCF中，，CD=3，
∴
由勾股定理得：
∴
（3）解：DG DF的值为2或3．
理由如下：
由(2)得DE=1，CE=2，BC=CD=3
情况1：∠BGF=60°，则∠DGE=120°，
如图，过点E作EP⊥BC交BC延长线于P，延长BG交AD延长线于N.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=120°，
∴∠BCD=∠A=120°， AD//BC，BC=AD=4，
∴∠ECP=60°，
∵EP⊥BC，
∴∠CEP=90°-60°=30°
在Rt△CEP中，，
∴BP=BC+CP=5，
在直角三角形BEP中，由勾股定理得：
，
∵∠BCD=∠DGE=120°，∠BEC=∠DEG
∴△BCE∽△DGE，
∴
∴
解得，
∴
∵AD//BC，
∴△NDE∽△BCE
∴
∴，，
∴
∵AD//BC，
∴△NDG∽△BFG，
∴
∴
解得(经检验，是分式方程的解，且符合题意)
∴，
∴
情况2：当∠BGD=60°时，如图，
∵∠BGD=60°，∠BCD=120°
∴∠DGE=∠DCF=180°-120°=60°，
∵∠EDG=∠FDC，
∴△DGE∽△DCF
∴
∴DG·DF=DC·DE=3×1=3，
综上所述，DG·DF的值为2或3.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用正方形性质，通过SAS证明△BCE≌△DCF，得到BE=DF；再通过角的等量代换，证明BE与DF的夹角为90°，从而证得BE⊥DF；
(2)先由折叠性质得BE垂直平分DG，再证明△BCE∽△DHE，利用相似比求出DH、DG的长度；接着在Rt△DCF中，利用正切函数求出CF的长，最后用勾股定理算出DF，进而求得FG的长度；
(3)分两种情况讨论：当∠BGF=60°时，过E作EP⊥BC于P，延长BG交AD延长线于N，先求BE的长，证明△BCE∽△DGE得EG、DG的长，证明△NDE∽△BCE，进而得BG、GN，再证明△NDG∽△BFG得GF，最后计算DG·DF；当∠BGD=60°时，证明△DGE∽△DCF，结合相似性质求出DG、DF，进而计算DG·DF.
28．【答案】（1）解：由折叠可知：∠BCE=∠FCE=21°，
∴∠BCF=2∠BCE=42°.
∵AD∥BC，
∴∠CFD=∠BCF=42°.
（2）解：如图，连结 BF，由折叠规律知：BE=EF，∠EFC=∠EBC=90°，
∴∠EBF=∠BFE.
∵BG∥EF，
∴∠BFE=∠FBG，∠BGF+∠EFG=180°，
∴∠EBF=∠FBG，∠BGF=90°，
∴∠A=∠BGF=90°.
∴AF=FG.
（3）解：如图，连结 BF，FH.
由图形折叠规律，得∠BCG=2∠BCH，
由 BH 平分∠CBG，得∠GBC=2∠HBC，
由(2)得 BG⊥CF，
∴∠BCG+∠GBC=90°，
即2∠BCH+2∠HBC=90°，
∴∠BCH+∠HBC=45°，
∴∠EHB=45°.
由四边形 EBCF 为轴对称图形，得∠EHF=45°，BH=FH，
∴∠BHF=∠EHB+∠EHF=90°.
∵∠A=90°，
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质求出∠BCF，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可；
（2）连接BF，根据折叠的性质和等边对等角得到∠EBF=∠BFE，然后根据平行线的性质即可得到∠EBF=∠FBG，∠BGF=90°，然后根据角平分线的性质解答即可；
（3）连结 BF，FH，根据折叠的性质，角平分线的定义得到∠EHB=45°，进而求出∠BHF=90°，然后根据勾股定理列式计算解答即可.
29．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AB=BC
∵∠ABC=60°
∴∠BCG=∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵CE=CT
∴△CET是等边三角形，
∴∠ETC=∠TEC=60°
∴∠FTE=180°-∠ETC=180°-60°=120°，∠GCE=∠GCT+∠TCE=60°+60°=120°
∴∠FTE=∠GCE
∵∠FEG=60°，∠TEC=60°，
∴∠FET+∠TEG=∠GEC+∠TEG，
∴∠FET=∠GEC
在△FET和△GEC中，
∴△EFT≌△EGC(ASA)
∴FT=CG
（2）解：①如下图，当点F与点B重合时，
同(1)可得，FE=GF
∵∠FEG=60°
∴△FEG是等边三角形，
同理可得，当点F在BC边上时，△FEG均是等边三角形，
当FE⊥BC时，EF最短，如下图，
∵AB=AC=7，AE=1，
∴CE=AC-AE=7-1=6
又∵∠ACF=60°，
∴∠CEF=30°
∴
∴
∴等边三角形FEG的周长最小值为：，
当点F与点B重合时，如下图，
过点E作EH⊥BC于H，则CH=3，，
∴BH=BC-CH=7-3=4，
在Rt△BHE中，，
∴此时△FEG的周长最大，最大值为：
∴△FEG的周长最小值为，最大值为
②当点N在CD上时，如下图，
作CM⊥AB于M，点F关于AB的对称点N在DC上，
∴OF=ON=CM
∴
在Rt△BOF中， ∠OBF=∠ABC=60°，
∴
∴CF=14
当点N在DE上时，如下图，
连接BN，
∵点N与点F关于AB对称，
∴∠ABN=∠ABC=60°
∵∠BAC=60°，
∴∠ABN=∠BAC
∴BN//AC
∴
∵AD//BC
∴△ADE∽△CME，△APD∽△BPM
∴，
∴
∴MC=42
∴MB=MC-BC=42-7=35，
∴
∴
∴BN=5，
∴BF=BN=5，
∴CF=BC-BF=2
∴014
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质可得AB//CD，AB=BC，再利用等边三角形的判定与性质可得∠FET=∠GEC，进而用ASA定理证△EFT≌△EGC即可得证结论；
(2)①先证明点F在线段BC上时，△FEG是等边三角形，确定△EFG周长最大时和最小时点F的位置，从而可求出FE的长，进而求出周长即可；
②分情况讨论：当点N落在DC上的位置，当N落在DE上时，进而分别利用直角三角形的边角关系与相似三角形的判定与性质，从而确定CF的取值范围即可.
30．【答案】（1）解：因为菱形ABCD，
所以∠DAB=∠C=60°，
因为折叠，
所以∠GAE=∠BAE=α，
所以∠DAG=∠DAB-∠GAE-∠BAE=60°-2α，
（2）证明：①因为AD=AG，
所以
因为AD=AB，
所以△ABD为正三角形，
所以∠BDH=∠ADH-∠ADB=α=∠EAB
②因为AD∥BC ，
所以∠ABC=180°-∠DAB=120°，
所以
又因为△ABD为正三角形，
所以AB=DB，
所以△ABE≌△DBH ，
所以BH=BE。
（3）解：如图，连结EH，延长EG交CD于 K，作KM⊥DB于M。
由(2)得BH=BE ， ∠EBH=60°，
所以△BEH为正三角形，
所以EH=BE=GE ，
因为∠BHE=∠C=60°，
所以EH∥CD，
所以△DGK∽△HGE，
所以
设 EH=GE=x ，则 DK=KG=2x ，KE=KG+GE=3x 。
在 Rt△DMK 中，可得
所以
所以
所以
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得，利用折叠的性质可，然后根据角的和差解答即可；
（2）①根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出，然后得△ABD为正三角形，再根据角的和差解答即可；
②根据菱形的性质可得，根据AAS得到，根据对应边相等证明结论；
（3）连接，延长交于，作于，得到△BEH为正三角形，即可得到，根据平行线可得，根据对应边成比例设，根据角的性质得求出DM和KM的值，进而根据勾股定理求出，即可得到DM长，求出比值解答即可．
31．【答案】（1）45°； 45°
（2）证明：连接BD交AC于点O，连接AH， OH，如图：
由(1)可知∠AHC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴OH=OA=OC，
∴OH=OB=OD，
∴∠BHD=90°，
∴BH⊥DE，
∵DE⊥AF，
∴BH∥AF；
（3）解：设BH交AD于K，如图：
由(2)知∠BHD=90°，
∴∠KHD=∠KAB=90°，
∵∠HKD=∠AKB，
∴∠HDK=∠ABK=α，
∵AK∥BC，
∴△AKM∽△CBM，
∵AB=BC，
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：由表可知， 为定值 故 时， 当 时， 理由如下：
连接DF， AH，设CF交AD于N，如图：
∵A， F关于DE对称，
即
∴∠AHN=∠CDN=90°，
∴∠AHF=90°，
∵HF=HA， HG⊥AF，
∴∠FHE=∠AHE=45°，
∴∠DHC=∠FHE=45°；
故答案为： 45°； 45°；
【分析】(1)由表可知， 为定值 连接DF， AH，设CF交AD于N，由A， F关于DE对称，可证明 即可得 即可得到结论
(2)连接BD交AC于点O，连接AH， OH，由(1)可知 而四边形ABCD是正方形，有OA=OC=OB=OD，可得 从而得到结论；
(3)设BH交AD于K，证明 可得由，即可解答
32．【答案】（1）证明：因为四边形ABCD 为正方形， GM⊥AB，
所以∠C=∠B=90°=∠AMG.
因为AG⊥EF，
所以∠BAG+∠BEG=180°.
因为∠CEF+∠BEG=180°，
所以∠BAG=∠CEF.
所以在△AMG与△ECF中，
所以△AMG≌△ECF.
（2）解：①因为四边形ABCD为正方形，
所以AB=BC， ∠B=90°.
因为△AMG≌△ECF，
所以AM=EC.
所以BE=BM.
因为HE⊥BC， GM⊥AB，
所以∠BEN=∠BMN=∠B=90°.
所以四边形 BMNE 为正方形.
②延长MG 交 CD 于点 K，
因为四边形ABCD为正方形，
所以∠C=∠B=90°.
又因为四边形 BMNE 为正方形，
所以∠CEN=∠KNE=90°.
因为四边形 NECK为矩形，
所以CK=NE=MN， ∠FKG=∠HNG=90°.
因为△AMG≌△ECF，
所以MG=FC， ∠KFG=∠HGN，
所以FK=NG.
所以△FKG≌△GNH.
所以HN=KG， HE+NG=MN+NG+KG=BC=AB.
(另法：延长EH 交AD 于点 P，证明△APH≌△ENG)
③
【知识点】正方形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；四边形-动点问题
33．【答案】（1）60°
（2）解：①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
②当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）或
【知识点】旋转的性质；四边形的综合；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵菱形中，，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：60°；
（3）解：过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线．
过点作于点G，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，的长为或．
【分析】（1）根据菱形的性质和旋转性质得到是等边三角形，然后根据SAS得到，然后根据对应边相等解答即可．
（2）连接交于点O，过点作，交的延长线于点G，根据AAS得到，即可得到，进而证明结论即可．
②根据正方形的性质，利用勾股定理求出AC长，然后根据线段的和差和等边对等角求出，再根据勾股定理解答即可，
解答即可．
（3）分为两种情况作垂线，即可得到，然后根据对应边成比例求出，，进而根据正切的定义求出∠QDH=60°，进而得到，得到结论即可．
1 / 14月下旬之四边形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图，已知矩形AEPG的面积等于矩形GHCD的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（　　）
A．矩形AEFD与矩形PHCF的面积之差
B．矩形ABHG与矩形PHCF的面积之差
C．矩形AEFD与矩形PHCF的面积之和
D．矩形ABHG与矩形PHCF的面积之和
【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：因为矩形的面积等于矩形的面积，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即矩形为矩形面积之差的一半，
故答案为：B.
【分析】由矩形的面积等于矩形的面积得到，根据正切可得，进而得到，再根据割补法表示阴影部分面积即可．
2．如图，E，F、G，H分别是矩形ABCD四边上的点，连结EF，GH相交于点K，且GH∥AD，EF∥AB，设矩形AEKG、矩形EKHD、矩形BFKG、矩形KHCF的面积分别为S1、S2、S3，S4，矩形BFKG∽矩形EKHD，连接AC交GH，EF于点M，N.下列一定能求出△BMN面积的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：矩形矩形，
设矩形与矩形的相似比为，即，
设，，
则在矩形、矩形中，，，
矩形、矩形、矩形的对边互相平行，，，
，，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据相似矩形设相似比为k，，，即可得到，，根据相似三角形的额对应边成比例可得，，然后根据割补法表示△BMN和解答即可．
3．如图1，这是某展览馆展示的清代木花窗，其造型美观.如图2，经数学抽象、图形提取，然后测量发现，四边形ABCD 的四边相等，点 E，F，G，H 分别为其四边中点，则四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面积之比为 (　　)
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接BD和AC交于点O，EH和AC交于点M，
∵ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，，
又∵E，F，G，H是中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，，，
∴EF∥HG，EH∥FG，∠EMA=∠BOA=∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴，
∴ 四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面积之比为1：2，
故答案为：A .
【分析】连接BD和AC交于点O，EH和AC交于点M，根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH是矩形，然后根据菱形和矩形的面积公式解答即可.
4． 如图，在正方形中，点为延长线上一点，过作交的延长线于点，连接，作的垂线交于点，交于点，垂足为点，连接．设，阴影部分的面积为定值，当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点G作于点M，
∵四边形是正方形，，
∴，，，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵阴影部分的面积为定值，
∴是定值，即当的值发生变化时，代数式的值不变．
【分析】过点G作于点M，根据正方形的性质，利用AAS得到，即可得到，进而可得，根据解答即可．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E为OC上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE， EF交CD于点G，连结BE， CF．当四边形 BCFE为平行四边形时，若sin∠DAC=k，则 的值为(　　)
A．k B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，且，
∵，
∴，
设，则，
由折叠得，
在中，；
∴，
又四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】设，根据菱形的性质和争先的定义求出，再根据折叠可得，利用勾股定理求出，，然后推理得到是平行四边形，即可得到，，再根据平行线得到，利用对应边成比例解答即可．
6．如图，在 ABCD中，点E， F， G， H分别在边AB， BC， CD， DA上， FH∥AB， EG∥BC，交点O在△ABD的内部，记 AEOH， EBFO， OFCG， OGDH的面积分别为a， b， c，d.若△OBD的面积为k，则下列选项中，可用含k的代数式表示的是(　　)
A．a+c B．a-c C．b+d D．b-d
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，
由题意得，，，
，
，
，
，
∴，
整理得，即，
∴．
可用含的代数式表示的是．
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质结合，根据割补法列式计算即可求解．
7．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A'处， A'D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C'处，下列结论一定正确的是(　　)
A． B．∠1=α C． D．∠2=2α
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，即，
∴，故A不正确；
∵，
∴，故B不正确；
∵折叠，
∴ ，
∵，故C不正确，D选项正确；
故选：D．
【分析】根据矩形的性质得到，，根据平行线的性质得到，进而根据折叠的性质得出，，然后逐一判断解答即可．
8．如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，E 为边 BC 上的动点(不与端点重合)，点F 在 BC 的延长线上，且CF=BE，过点 F 作 FG⊥BD 于点 G，连结AE，EG，则下列比值为定值的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接AG， CG， 如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
在 和 中，
又·
是等腰直角三角形，∴GF=GB， ∠F =∠CBG =45°，在△GCF和△GEB中，
∴△GCF≌△GEB(SAS)，
∴CG =EB， ∠CGF =∠EGB，
∴AG=EG，
∴△GAE是等腰三角形，
∵∠AGB =∠CGB， ∠CGF =∠EGB，
∴∠AGE=∠AGB+∠EGB=∠CGB+∠CGF=∠BGF =90°，
∴△GAE是等腰直角三角形，
在Rt△GAE中， 由勾股定理得： AE =
为定值.
故选： A.
【分析】连接AG， CG， 证明△ABG和△CBG全等得AG=CG， ∠AGB=∠CGB， 再证明△GBF是等腰直角三角形得GF=GB， ∠F =∠CBG=45°， 进而可证明△GCF和△GEB全等， 则CG= EB， ∠CGF =∠EGB， 由此可得出△GAE是等腰直角三角形，再由勾股定理得 则 据此即可得出答案.
9．如图， ABCD中，DE∥BG，AF∥CH，E，G分别在AF，CH上，连结FH，∠AFB=120°，若△AFB≌△HEF，△AED与△HEF的面积相等，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设，则，，
，
，，
如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，
，
，
，
在中，，
，
．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
，
，
整理得：，
解得：，
由，则．
故答案为：D.
【分析】设，根据全等三角形的对应边相等可得，，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，在中，根据正弦的定义求出HK长，再根据三角形的面积公式求出△HEF的面积，利用平行四边形的判定和性质，利用AAS得到，即可得到，在中，利用正弦的额定义求出DG长，即可求出△ADE的面积．再根据列方程，求出k的值解答即阿珂．
10． 如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论：
①的长为10；②的周长为18；③；④的长为5，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点作，分别交、于点、，
四边形为矩形，
，，
由折叠可得，且，
四边形为正方形，
，故①正确；
，
和为等腰直角三角形，且，
设，则，，，
又由折叠的可知，
在中，由勾股定理可得，
即，解得，
，，，
又，
，
，
，
，
，即，
，，故④正确；
，
又和为等腰直角三角形，且，，
，，
的周长，
，
故②③不正确；正确；
综上可知正确的为①④，共2个．
【分析】过点作，交、于点、，根据正方形的性质求出的长判断①，得到和为等腰三角形，设，进而表示、、，根据折叠可得，在中根据勾股定理求出的值，再推理得到，根据对应边成比例求出、和，即可得到长判断②③④解答即可．
二、填空题
11．如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】10
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4，
∴，，
设菱形中边上的高为h，
则，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】利用菱形的性质和三角形中线分得的两个三角形的面积相等得到，，进而求出，，即可得到的面积，再根据解答即可．
12．如图，平行四边形中，点E是的中点，连接，将沿折叠使点B落在点F处，连接和，延长交于点G，和相交于点H，若，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：将沿折叠使点落在点处，
点与点关于直线对称，，
垂直平分，
，，
点是的中点，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，，
，，
，
，即，
解得，
，
故答案为：．
【分析】由翻折得点与点关于直线对称，，则垂直平分，而点是的中点，则，，，证明，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应角相等可得，则，得，由勾股定理得，求得，同理可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求得的值，然后根据线段的和差可求解.
13．如图，在矩形 MNPQ内正好放置一个立方体的表面展开图，正方形ABCD 是原立方体的一个面，点E，F，G是原立方体的顶点，展开后点A，E，F，G均在矩形 MNPQ的边上，若点C， D， Q在同一直线上，则tan∠AEM 的值是　 　.
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作于点，不妨设，小正方形的边长为1，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去负值），
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】过点作于点，设，小正方形的边长为1，先得到四边形是矩形，根据等角的余角相等得到，然后根据正切的定义求出，然后根据三角形的内角和定理得到，再根据正切的定义解答即可．
14．如图，在正方形ABCD中， AB=6，点F在其外角∠DCE的平分线上，以CF为边作矩形CFGH，点G恰好落在边AD上，边GF与CD交于点P，连结AF，HF.若 则AF的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
如图所示，连接CG，
∵四边形CFGH是矩形，
在 中，
∵CF是 的角平分线，
在 中，
是等腰直角三角形，
则CP=CD-DP=6-2=4，
如图所示，过点F作
是等腰直角三角形，
∴四边形BKFL是矩形，
在 中，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质，勾股定理得到DG=2，由角平分线的定义得到是等腰直角三角形，可算出 过点F作 则是等腰直角三角形，四边形BKFL是矩形，由此得到AL=4，FL=8，根据勾股定理即可求解.
15．如图，在 ABCD中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与AD，AB分别交于点E，F.再分别以E，F 为圆心，大于 的长为半径作弧，两条弧交于∠DAB内一点 G.作射线AG，交 DC于点H，交BC的延长线于点 K.已知AB=5， AD=3，则CK的长为　 　.
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BK，AD=BC=3，
∴∠K=∠DAK，
由作图可得AK平分∠DAB，
∴∠DAK=∠BAK，
∴∠BAK=∠DAK，
∴BA=BK=5，
∴CK=BK-BC=5-3=2，
故答案为：2.
【分析】根据平行四边形的性质可以得到∠K=∠DAK，然后根据作图可得AK平分∠DAB，即可得到∠DAK=∠BAK，进而得到∠BAK=∠DAK，根据等角对等边得到BA=BK=5，然后根据线段的和差解答即可.
16．如图，在平行四边形ABCD中， ∠A=75°， AB =6，将平行四边形ABCD绕顶点 B 顺时针旋转到平行四边形A'BC'D'，当C'D'经过点C时，点A'到AB的距离为　 　.
【答案】3
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如解图，过点作于点E，
∵四边形为平行四边形，
．
平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，
，，，．
，
．
．
．
，，
．
故答案为：3.
【分析】过点作于点E， 根据旋转的性质得到，根据三角形的内角和定理可得，再根据的直角三角形的性质解答即可．
17．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC上动点.将四边形MNCD沿直线MN折叠，点D的对应点D'恰好落在边AB上，C的对应点为C'，连接DN、DD'，其中DD'交MN于点P.若AB=6，AD=10，∠ADC=2∠NDD'=60°，则MP的长度为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，在上截取，连接，
由折叠性质可知，垂直平分，
∴，，，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
过作，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【分析】连接，在上截取，连接，根据折叠可知垂直平分，即可得到，，，，利用等边对等角和三角形的内角和定理可得，根据平行四边形的性质得，，，，即可得到是等边三角形，然后根据AAS得到，即可得到，，求出，过作，交延长线于点，根据勾股定理求出D'F的长，设，利用勾股定理解答即可．
18．如图，在 ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将△ADE沿AE翻折得△AFE，连结BF，点B，F，E恰好在同一直线上，延长AF交BC于点G.则△BFG与四边形AGCD的面积比为　 　.
【答案】1：8
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长AD，与BE的延长线交于点H，
∵在 ABCD中，BC=3 CD=4
∴AB=CD=4，AD=BC=3，AB//CD，AD//BC
∴∠1=∠2，∠DAG=∠5，∠3+∠C=180°，∠C=∠HDE
∵将△ADE沿AE翻折得△AFE，点B，F，E恰好在同一直线上，
∴AD=AF=3，∠3=∠4，DE=EF
∴AF=BC，
∵∠4+∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠C.
在△ABF和△BEC中，
∴△ABF≌△BEC(AAS)
∴BF=EC， AB=BE=4
∵点E是CD边上的中点
∴BF=EC=DE=EF=2
在△DEH和△CEB中，
∴△DEH≌△CEB(ASA)
∴DH=CB=3， EH=EB=4，
∴AH=FH=6，
∴∠DAG=∠4
∵∠4=∠BFG
∴∠5=∠BFG
∴BF=BG=2
∴CG=1，
∵∠DAG=∠5
∴△BFG∽△HFA
∴
设△BFG边的BG上的高为h，则△AFH的边AH上的高为3h， ABCD的底边AD上的高为4h，则△BFG与四边形AGCD的面积比为
故答案为：1：8.
【分析】延长AD，与BE的延长线交于点H，证明△ABF≌△BEC(AAS)，可推出BF=EC，AB=BE=4，证明△DEH≌△CEB(ASA)，可得DH=CB=3，EH=EB=4，进而可得BF=BG=2，CG=1，因为∠DAG=∠5，证明△BFG∽△HFA，得，设△BFG的边BG上的高为h，则△AFH的边AH上的高为3h， ABCD的底边AD上的高为4h，则△BFG与四边形AGCD的面积比可求.
19． 如图，在菱形中，在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点分别在边上，点在对角线上．若，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：连接交于O，
∵菱形中，
∴，
∵菱形，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴，
同理：，
∴，
∴四边形是菱形，同理：四边形是菱形，
∴，
∵菱形和菱形，
∴，
∴，即，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，解得：，
∴，即，
∴菱形的面积为；
设，则，
由题意可得：，
∴，即，解得：，
∴，，
∴，
∴，即
∴菱形的面积为，
如图：连接交于I，则，
∴，即，
∴菱形的面积为，同理菱形的面积为，
∴．
故答案为：.
【分析】如图，连接交于O，即可得到四边形，，是菱形，然后根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可得到菱形的面积；进而求得菱形，的面积为，然后利用解答即可．
20．如图，已知矩形ABCD中点E，F分别是BC，AD上的点，其中AB=2BE=2，将△ABE沿AE折叠，△CDF沿CF折叠，点B和点D恰好落在同一点P上，求DF=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点P作PG⊥AB，PM⊥BC，则PN⊥AD，
∴∠BQA=∠BGP=∠PME=90°，
∴四边形BGPM是矩形，
由折叠性质得∠APE=90°，CP=CD=2，∠CPF=90°，AP=AB=2，EP=EB=1，
在△ABE中，AB=2，BE=1，则AE=
设∠BAE=，则sin=，cos=
∴BP=2BQ=2×=，BQ=ABsin=
∵∠BPG=∠BAE=α，
∴PM=GB=BPsin=×=
GP=BPcos=×=
设AD=BC=a，由CP=2得
()2+(a-)2=22
解得a=
设FP=FD=x，
∵PN=2-=，FP=FD=x
∴()2+[(a-x)-]2=x2
代入a=得
解得
∴
故答案为：
【分析】首先构造矩形BGPM，由折叠的性质得到相关线段的长度、相关角的度数，在Rt△ABE中，利用勾股定理以及解直角三角形等知识可分别求出BP，BQ的长度，再等角代换得到PM，GP的长，在Rt△PMG中，利用勾股定理求出AD，BC的长，在Rt△PMG中，再次利用勾股定理即可求出 DF 。
21．如图，正方形与矩形在直线l的同侧，边在直线l上．保持正方形不动，并将矩形以的速度沿方向移动，移动开始前点E与点D重合，当矩形完全穿过正方形即点H与A点重合）时停止移动，设移动时间为．已知，，，连接．
（1）矩形从开始移动到完全穿过正方形，所用时间为　 　；
（2）在矩形移动的过程中，存在最小值时相应的　 　；
【答案】（1）9
（2）4.4
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；矩形的性质；正方形的性质；四边形-动点问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：(1)如图，
由运动知，E'H'=EH=4，
∵AD=5
∴E'D=E'H'+AD=4+5=9
∴9÷1=9秒
故答案为：9.
(3)由运动知，AE=|t-5|，QG=DH=|t-4|，
在Rt△AEF中，
在Rt△CQG中，，
∴，
此式子的几何意义是：如图5，x轴上一点J(t，0)到点I(5，3)和点T(4，2)的距离之和，
∵当AF+CG的最小时，最小值是点I(5，3)关于x轴的对称点I(5，-3)和点T(4，2)的距离，
即：AF+CG的最小值为
此时点J是TI'与x轴的交点
∵点I(5，-3)和点T(4，2)，
∴I'T直线的解析式为y=-5x+22
将点J(t，0)，代入直线I'T的解析式中得，-5t+22=0
∴t=4.4秒
故答案为：4.4.
【分析】(1)根据平移求出DE'=E'H'+AD=9，即可得出结论；
(2)分两种情况画出图形，利用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可；
(3)建立AG+CG与t的函数关系式，利用几何意义即可得出结论.
三、解答题
22．如图，在 ABCD中，连结AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连结MN分别交BC，AD，AC于点E，F，O，连结AE，CF.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若E为BC中点，求 ABCD的面积.
【答案】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
，，，．
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
，
四边形为菱形；
（2）解：∵F为中点，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∵，
∴，
解得（负值已舍去），
∴，
∴的面积．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质，利用AAS得到，即可得到AE=CE，证明结论即可；
（2）根据菱形的性质求得，然后根据正弦的定义设，则，再根据勾股定理求得，利用平行四边形的面积公式计算即可．
23．老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB外一点 P作这条直线的平行线，”小亮的作法如下：如图，在直线AB上任取一点C，以点C为圆心，CP的长为半径画弧交AB于点D，再分别以点P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE， 则 PE∥AB.
（1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由.
（2） 连接PD， 若PC=5， PD=6， 求点 P到直线AB的距离.
【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
连接，
由题意可得：，
∴四边形是菱形，
∴；
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P到直线的距离为，
则，
∴，
∴点P到直线的距离为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；等积变换
【解析】【分析】（1）根据作图得到是菱形，根据菱形的性质得到结论即可；
（2）根据菱形的性质，利用勾股定理求出长，即可求出长，设点P到直线的距离为，然后根据菱形的面积公式计算即可．
24．如图，在四边形 ABCD中，AB∥CD，点E在边AB 上， ▲ .请从“①∠B=∠AED；②BE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号)，再解决下列问题：
（1）求证：四边形 BCDE为平行四边形.
（2）若AD⊥CD，AD=8，BC=10，AE=CD，求平行四边形 BCDE 的面积.
【答案】（1）证明：两个条件均可，
如选①，则证明过程如下：
因为∠B=∠AED.所以 DE∥BC.又因为 AB∥CD.所以四边形BCDE为平行四边形.
如选②，则证明过程如下：
因为BE=CD.又因为AB∥CD，所以四边形BCDE为平行四边形
（2）解：平行四边形 BCDE的面积为48.
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的面积
25．已知平行四边形，在平行四边形内作菱形ABCD．
小亮的作法：如图1，连接BD，分别以D、B为圆心大于 的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点A，C，连接AB，CD，则四边形ABCD 即为菱形．
（1）判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
（2）小丽说，作平行四边形AECF一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗 请你在图2中作出图形(保留作图痕迹)．
【答案】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
设与交于点．
由作图方法可知，垂直平分，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，即．
，
∴，
∴，
∴
四边形是菱形；
（2）解：作图如下：
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明，
∴无法证明是菱形，
∴小丽的作法不正确．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）设与交于点，由作图可知垂直平分，即可得到，然后根据平行四边形的性质，利用AAS得到，得到AD=BC，然后根据四条边相等的四边形是菱形证明即可；
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图，根据平行四边形的性质得到∠BAF=∠FCE，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得到，得到，同理可得，即可得到，进而得到是平行四边形，无法证明是菱形，据此解答即可．
26．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为AD边上一点（0＜AE＜3），连结EO并延长，交BC于点F.四边形ABFE与A'B'FE关于EF所在直线成轴对称，线段B'F交AD边于点G.
（1）求证：GE=GF；
（2）当AE=2DG时，求AE的长；
（3）令AE=a，DG=b.求证：（4-a）（4-b）=4.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GEF=∠BFE，
∵四边形ABFE与A'B'FE关于EF所在直线成轴对称，
∴∠BFE=∠GFE，
∴∠GEF=∠GFE，
∴GE=GF
（2）解：过作于，如图：
设，则，
，
，
四边形是矩形，
，，
点为矩形的对称中心，
，
，
在中，，
，
解得（此时大于，舍去）或，
；
的长为；
（3）证明：如图2，点O为矩形ABCD的对称中心，EF过点O，
过O作OQ⊥AD于Q，连接OA，OD，OG，
∴O为EF中点，OA=OD，，
∵GE=GF，
∴OG⊥EF，
∴∠GOQ=90°-∠EOQ=∠QEO，
∵∠GQO=90°=∠OQE，
∴△GOQ∽△OEQ，
∴，
即GQ EQ=OQ2，
∴GQ EQ=4，
∵OA=OD，OQ⊥AD，
∴，
∴EQ=AQ-AE=4-a，GQ=DQ-GD=4-b，
∴（4-a）（4-b）=4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到，再根据轴对称得到，即可得到，然后根据等角对等边证明即可；
（2）过作于，设，即可得到，，进而得到，求出，在中根据勾股定理解答即可；
（3）过作于，连接，，，得到过点，可得为中点，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例得到，证明结论即可．
27．如图
（1）如图①，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．求证：BE＝DF，BE⊥DF；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到△BEG，延长DG和BC相交于点F．若CE＝2DE，求FG的长；
（3）保持（2）中AB，AD的大小不变，扭动矩形，使得∠A＝120°，如图③所示．E是CD边上一点且满足CE＝2DE，点F是BC延长线上一点，连接DF交射线BE于点G，当线段DF与射线BE所夹的锐角为60°时，直接写出DG DF的值．
【答案】（1）证明：延长BE交DF于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCE=∠DCF=90°，
在△BCE和△DCF中，
∴△BCE≌△DCF（SAS）
∴∠CBE=∠CDF，BE=DF，
∵∠BEC=∠DEH，∠BEC+∠BCE+∠CBE=∠DEH+∠CDF+∠DHE=180°
∴∠BCE=∠DHE=90°，
∴BE⊥DF；
（2）解：如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，CE=2DE，延长BE交DF于点H.
∴CD=AB=3，AD=BC=4，DE=1，CE=2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
，
∵△BED沿BE折叠得△BEG，
∴BE垂直平分DG，即DH=HG，BH⊥DF，
∴∠DHE=90°=∠BCE，
∵∠BEC=∠DEH，
∴△BCE∽△DHE
∴，∠CDF=∠CBE，
∴
解得
∴
∵
在Rt△DCF中，，CD=3，
∴
由勾股定理得：
∴
（3）解：DG DF的值为2或3．
理由如下：
由(2)得DE=1，CE=2，BC=CD=3
情况1：∠BGF=60°，则∠DGE=120°，
如图，过点E作EP⊥BC交BC延长线于P，延长BG交AD延长线于N.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=120°，
∴∠BCD=∠A=120°， AD//BC，BC=AD=4，
∴∠ECP=60°，
∵EP⊥BC，
∴∠CEP=90°-60°=30°
在Rt△CEP中，，
∴BP=BC+CP=5，
在直角三角形BEP中，由勾股定理得：
，
∵∠BCD=∠DGE=120°，∠BEC=∠DEG
∴△BCE∽△DGE，
∴
∴
解得，
∴
∵AD//BC，
∴△NDE∽△BCE
∴
∴，，
∴
∵AD//BC，
∴△NDG∽△BFG，
∴
∴
解得(经检验，是分式方程的解，且符合题意)
∴，
∴
情况2：当∠BGD=60°时，如图，
∵∠BGD=60°，∠BCD=120°
∴∠DGE=∠DCF=180°-120°=60°，
∵∠EDG=∠FDC，
∴△DGE∽△DCF
∴
∴DG·DF=DC·DE=3×1=3，
综上所述，DG·DF的值为2或3.
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用正方形性质，通过SAS证明△BCE≌△DCF，得到BE=DF；再通过角的等量代换，证明BE与DF的夹角为90°，从而证得BE⊥DF；
(2)先由折叠性质得BE垂直平分DG，再证明△BCE∽△DHE，利用相似比求出DH、DG的长度；接着在Rt△DCF中，利用正切函数求出CF的长，最后用勾股定理算出DF，进而求得FG的长度；
(3)分两种情况讨论：当∠BGF=60°时，过E作EP⊥BC于P，延长BG交AD延长线于N，先求BE的长，证明△BCE∽△DGE得EG、DG的长，证明△NDE∽△BCE，进而得BG、GN，再证明△NDG∽△BFG得GF，最后计算DG·DF；当∠BGD=60°时，证明△DGE∽△DCF，结合相似性质求出DG、DF，进而计算DG·DF.
28．已知：在矩形ABCD中，点 E 在边 AB 上，将 沿 CE 折叠，点 B 的对称点 F 恰在边 AD 上.
（1）如图1，若 求∠CFD 的度数.
（2）如图2，过点 B 作BG∥EF，交 CF 于点G.求证：AF=FG.
（3）如图3，在(2)的条件下，作BH 平分∠CBG，交CE 于点H，设AF=m，AB=n，求BH 的长(用含m，n的代数式表示).
【答案】（1）解：由折叠可知：∠BCE=∠FCE=21°，
∴∠BCF=2∠BCE=42°.
∵AD∥BC，
∴∠CFD=∠BCF=42°.
（2）解：如图，连结 BF，由折叠规律知：BE=EF，∠EFC=∠EBC=90°，
∴∠EBF=∠BFE.
∵BG∥EF，
∴∠BFE=∠FBG，∠BGF+∠EFG=180°，
∴∠EBF=∠FBG，∠BGF=90°，
∴∠A=∠BGF=90°.
∴AF=FG.
（3）解：如图，连结 BF，FH.
由图形折叠规律，得∠BCG=2∠BCH，
由 BH 平分∠CBG，得∠GBC=2∠HBC，
由(2)得 BG⊥CF，
∴∠BCG+∠GBC=90°，
即2∠BCH+2∠HBC=90°，
∴∠BCH+∠HBC=45°，
∴∠EHB=45°.
由四边形 EBCF 为轴对称图形，得∠EHF=45°，BH=FH，
∴∠BHF=∠EHB+∠EHF=90°.
∵∠A=90°，
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质求出∠BCF，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可；
（2）连接BF，根据折叠的性质和等边对等角得到∠EBF=∠BFE，然后根据平行线的性质即可得到∠EBF=∠FBG，∠BGF=90°，然后根据角平分线的性质解答即可；
（3）连结 BF，FH，根据折叠的性质，角平分线的定义得到∠EHB=45°，进而求出∠BHF=90°，然后根据勾股定理列式计算解答即可.
29．如图，四边形是菱形，其中，点在对角线上，点在射线上运动，连接，作，交直线于点．
（1）在线段上取一点，使，求证：；
（2）图中，．
①点在线段上，求周长的最大值和最小值；
②记点关于直线的轴对称点为点，若点落在的内部（不含边界），求的取值范围．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AB=BC
∵∠ABC=60°
∴∠BCG=∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵CE=CT
∴△CET是等边三角形，
∴∠ETC=∠TEC=60°
∴∠FTE=180°-∠ETC=180°-60°=120°，∠GCE=∠GCT+∠TCE=60°+60°=120°
∴∠FTE=∠GCE
∵∠FEG=60°，∠TEC=60°，
∴∠FET+∠TEG=∠GEC+∠TEG，
∴∠FET=∠GEC
在△FET和△GEC中，
∴△EFT≌△EGC(ASA)
∴FT=CG
（2）解：①如下图，当点F与点B重合时，
同(1)可得，FE=GF
∵∠FEG=60°
∴△FEG是等边三角形，
同理可得，当点F在BC边上时，△FEG均是等边三角形，
当FE⊥BC时，EF最短，如下图，
∵AB=AC=7，AE=1，
∴CE=AC-AE=7-1=6
又∵∠ACF=60°，
∴∠CEF=30°
∴
∴
∴等边三角形FEG的周长最小值为：，
当点F与点B重合时，如下图，
过点E作EH⊥BC于H，则CH=3，，
∴BH=BC-CH=7-3=4，
在Rt△BHE中，，
∴此时△FEG的周长最大，最大值为：
∴△FEG的周长最小值为，最大值为
②当点N在CD上时，如下图，
作CM⊥AB于M，点F关于AB的对称点N在DC上，
∴OF=ON=CM
∴
在Rt△BOF中， ∠OBF=∠ABC=60°，
∴
∴CF=14
当点N在DE上时，如下图，
连接BN，
∵点N与点F关于AB对称，
∴∠ABN=∠ABC=60°
∵∠BAC=60°，
∴∠ABN=∠BAC
∴BN//AC
∴
∵AD//BC
∴△ADE∽△CME，△APD∽△BPM
∴，
∴
∴MC=42
∴MB=MC-BC=42-7=35，
∴
∴
∴BN=5，
∴BF=BN=5，
∴CF=BC-BF=2
∴014
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质可得AB//CD，AB=BC，再利用等边三角形的判定与性质可得∠FET=∠GEC，进而用ASA定理证△EFT≌△EGC即可得证结论；
(2)①先证明点F在线段BC上时，△FEG是等边三角形，确定△EFG周长最大时和最小时点F的位置，从而可求出FE的长，进而求出周长即可；
②分情况讨论：当点N落在DC上的位置，当N落在DE上时，进而分别利用直角三角形的边角关系与相似三角形的判定与性质，从而确定CF的取值范围即可.
30． 如图1，在菱形ABCD中， E是对角线BD上一点，连结AE，设 将 沿AE 折叠得到 连结DG 并延长交BC于点H。
（1）用含α的代数式表示
（2）求证： ①∠BDH=∠BAE； ②BH=BE。
（3）如图2，当DG： GH=2：1时，求DE： BE的值。
【答案】（1）解：因为菱形ABCD，
所以∠DAB=∠C=60°，
因为折叠，
所以∠GAE=∠BAE=α，
所以∠DAG=∠DAB-∠GAE-∠BAE=60°-2α，
（2）证明：①因为AD=AG，
所以
因为AD=AB，
所以△ABD为正三角形，
所以∠BDH=∠ADH-∠ADB=α=∠EAB
②因为AD∥BC ，
所以∠ABC=180°-∠DAB=120°，
所以
又因为△ABD为正三角形，
所以AB=DB，
所以△ABE≌△DBH ，
所以BH=BE。
（3）解：如图，连结EH，延长EG交CD于 K，作KM⊥DB于M。
由(2)得BH=BE ， ∠EBH=60°，
所以△BEH为正三角形，
所以EH=BE=GE ，
因为∠BHE=∠C=60°，
所以EH∥CD，
所以△DGK∽△HGE，
所以
设 EH=GE=x ，则 DK=KG=2x ，KE=KG+GE=3x 。
在 Rt△DMK 中，可得
所以
所以
所以
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得，利用折叠的性质可，然后根据角的和差解答即可；
（2）①根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出，然后得△ABD为正三角形，再根据角的和差解答即可；
②根据菱形的性质可得，根据AAS得到，根据对应边相等证明结论；
（3）连接，延长交于，作于，得到△BEH为正三角形，即可得到，根据平行线可得，根据对应边成比例设，根据角的性质得求出DM和KM的值，进而根据勾股定理求出，即可得到DM长，求出比值解答即可．
31．如图，正方形ABCD，直线DA绕点 D顺时针旋转α至DE (0°≤α≤45°)，作A关于直线DE的对称点F， AF交DE于点 G，连CF交DE于点 H，连BH交AC于点M．小明在探究∠DHC与α的大小关系时，发现其对应如下：
α 10° α
∠DHC ① ▲ ② ▲
（1）请填表，并证明结论②：
（2）求证： BH∥AF；
（3）在直线DA旋转过程中，试探究线段AM与线段CM的比(用含α的式子表示)．
【答案】（1）45°； 45°
（2）证明：连接BD交AC于点O，连接AH， OH，如图：
由(1)可知∠AHC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴OH=OA=OC，
∴OH=OB=OD，
∴∠BHD=90°，
∴BH⊥DE，
∵DE⊥AF，
∴BH∥AF；
（3）解：设BH交AD于K，如图：
由(2)知∠BHD=90°，
∴∠KHD=∠KAB=90°，
∵∠HKD=∠AKB，
∴∠HDK=∠ABK=α，
∵AK∥BC，
∴△AKM∽△CBM，
∵AB=BC，
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：由表可知， 为定值 故 时， 当 时， 理由如下：
连接DF， AH，设CF交AD于N，如图：
∵A， F关于DE对称，
即
∴∠AHN=∠CDN=90°，
∴∠AHF=90°，
∵HF=HA， HG⊥AF，
∴∠FHE=∠AHE=45°，
∴∠DHC=∠FHE=45°；
故答案为： 45°； 45°；
【分析】(1)由表可知， 为定值 连接DF， AH，设CF交AD于N，由A， F关于DE对称，可证明 即可得 即可得到结论
(2)连接BD交AC于点O，连接AH， OH，由(1)可知 而四边形ABCD是正方形，有OA=OC=OB=OD，可得 从而得到结论；
(3)设BH交AD于K，证明 可得由，即可解答
32．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点(不包含端点)， AG⊥EF于点 G， GM⊥AB于点M， EF=AG.
（1）如图1，求证： △AMG≌△ECF.
（2）如图2，过点 E作 HE⊥BC分别交AG， MG于点 H， N.
①求证：四边形 BMNE为正方形；
②求证： HE+GN=AB；
③若AB=1，请直接写出HE的取值范围.
【答案】（1）证明：因为四边形ABCD 为正方形， GM⊥AB，
所以∠C=∠B=90°=∠AMG.
因为AG⊥EF，
所以∠BAG+∠BEG=180°.
因为∠CEF+∠BEG=180°，
所以∠BAG=∠CEF.
所以在△AMG与△ECF中，
所以△AMG≌△ECF.
（2）解：①因为四边形ABCD为正方形，
所以AB=BC， ∠B=90°.
因为△AMG≌△ECF，
所以AM=EC.
所以BE=BM.
因为HE⊥BC， GM⊥AB，
所以∠BEN=∠BMN=∠B=90°.
所以四边形 BMNE 为正方形.
②延长MG 交 CD 于点 K，
因为四边形ABCD为正方形，
所以∠C=∠B=90°.
又因为四边形 BMNE 为正方形，
所以∠CEN=∠KNE=90°.
因为四边形 NECK为矩形，
所以CK=NE=MN， ∠FKG=∠HNG=90°.
因为△AMG≌△ECF，
所以MG=FC， ∠KFG=∠HGN，
所以FK=NG.
所以△FKG≌△GNH.
所以HN=KG， HE+NG=MN+NG+KG=BC=AB.
(另法：延长EH 交AD 于点 P，证明△APH≌△ENG)
③
【知识点】正方形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；四边形-动点问题
33．综合与实践
（1）【提出问题】如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点P是对角线BD上一动点，连接AP，将PA绕点P顺时针旋转60°得到PQ，连接AQ，DQ.则∠ADQ的度数为　 　；
（2）【类比探究】如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，且BP>DP，连接AP，将AP绕点P顺时针旋转90°得到PQ，连接AQ，DQ.
①求∠ADQ的度数；
②当BP=BA=2时，求DQ的长；
（3）【迁移运用】如图3，在矩形ABCD中，AB=4，∠ADB=30°，点P是对角线BD上一动点，连接AP，以AP为边在AP的右边作Rt△APQ，且∠APQ=90°，∠AQP=30°，当点Q到BD的距离为时，直接写出BP的长.
【答案】（1）60°
（2）解：①解：连接，交于点O，过点作，交的延长线于点G，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
②当时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）或
【知识点】旋转的性质；四边形的综合；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵菱形中，，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得到．
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：60°；
（3）解：过点作，交的延长线于点H，过点作于点M，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线．
过点作于点G，
∵点到的距离为，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
综上所述，的长为或．
【分析】（1）根据菱形的性质和旋转性质得到是等边三角形，然后根据SAS得到，然后根据对应边相等解答即可．
（2）连接交于点O，过点作，交的延长线于点G，根据AAS得到，即可得到，进而证明结论即可．
②根据正方形的性质，利用勾股定理求出AC长，然后根据线段的和差和等边对等角求出，再根据勾股定理解答即可，
解答即可．
（3）分为两种情况作垂线，即可得到，然后根据对应边成比例求出，，进而根据正切的定义求出∠QDH=60°，进而得到，得到结论即可．
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