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4月下旬之圆—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，分别以点A、B为圆心，AC、BC的长为半径作弧，与AB交于点D、E.若AB=4，则图中阴影部分的面积为 （　　）
A． B． C． D．
2．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则的长是（　　）
A．3π B． C．4π D．5π
3．如图， AB是⊙O的直径， CD是⊙O的弦， AB⊥CD，垂足为E，连接BD并延长，与过点A的切线AM相交于点P，连接AC.若⊙O的半径为6.5， AC =12，则AP的长是(　　)
A． B．26 C． D．24
4．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作⊙M，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦AB上的一个动点，延长PQ交⊙M于点E，运动过程中，始终保持∠AQP=∠APB，当AP+QB的结果最大时，PE长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
5．图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗).扇形AOB 的圆心角为90°，OA=4m，点C，D分别为OA，OB 的中点，则花窗的面积为　 　m2.（结果保留π)
6．如图，已知扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，AC⊥AO，OC交于点D，且D为OC的中点，过点D作DE⊥OB，交OB于点E，则图中阴影部分的面积是　 　.
7．如图，已知点D为⊙O的直径AB上一点，且AD=2DB．C为⊙O上一点，满足AD=AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，过点A作AF⊥CD．若CF=1，则EF的长为　 　．
8．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是 半径为2，函数 的图象被⊙P 截得的弦AB的长为，则a=　 　．
9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD.若∠A=∠D，且AC=3，则AB的长度是　 　.
10． 如图，是的弦，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连结并延长交于点，点是的中点，连结．若半径，则的最小值为　 　．
11．如图，以△ABC的顶点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点 D，经过A，B，D三点的⊙O交 AC 于点 E， 连接OD，BE交于点 F.若 则 的值是　 　.
12．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=5，AC=3.
按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①以点A为圆心，以AC的长为半径作弧，交边BC于点D； ②连接AD； ③分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧交于点E，连接AE，交BC于点F； ④连接AO，并延长AO交⊙O于点G，连接BG.
若设AF，AG的长度分别为x，y，则y与x的函数关系式为　 　.
13．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， OE=BE.点P是劣弧AD上任意一点(不与点A，D重合)，CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点 F，设∠PCD=α.①则∠A=　 　， (用含α的代数式表示)； ②当∠F=3∠PCD时，则 　 　.
14． 如图， △ABC为⊙O内接三角形，其中AB为直径，且. 点E为∠BAC和∠ACB平分线的交点，连结CE 并延长交⊙O于点 P，连结 OE，BP。
①BP=　 　；
②若OE=x， CE=y， y与x之间的函数关系为　 　。
三、解答题
15．下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程.
已知：锐角∠MAN.
求作：射线AP，使得AP平分∠MAN.
作法：如图，
①在∠MAN内部任取一点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆，分别交射线AM，AN于点B，C；
③连接BC，分别以点B，C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的同样长为半径画弧，两弧交于点D（点O，D在BC两侧）；
④作射线OD，交⊙O于点P，作射线AP.
所以射线AP就是所求作的射线.
根据小智设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接OB，OC，BD，CD.
，，
∴点O，D在BC的垂直平分线上.
，即.
=　 　　 　（填推理的依据）.
∴∠BAP=　 　.
是的角平分线
16．如图，点A，B，C在⊙O上，以AB，BC为边作
（1）如图1，当AB经过圆心O时，求的度数.
（2）如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为2，求与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积.
17．如图，半径为6的⊙O中，CD 为直径，弦 且过半径OD 的中点G，E 为 上一个动点(不包括端点 B)，CF⊥AE 于点 F.
（1）求线段 AB 的长和 cos∠AEC 的值.
（2）当点 E 从点 B 出发，逆时针运动到点 C 时，求点 F 经过的路径与线段 CG 所围成图形的面积.
18．综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径(已知甲的直径小于乙的直径).
工具：自制的矩形直尺ABCD (边AB长2cm，边AD从点A至点D标有刻度).
小明的做法：如图1，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板甲上，使点A，B都恰好落在薄板的边缘，边AD，BC分别交薄板的边缘于点E，F，从直尺刻度中读出AE=6cm.小明认为线段 BE就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出 BE长度.
如图2，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边AD与薄板的边缘交于点 M，边BC与薄板的边缘相切于点 G，从直尺刻度中读出AM=8cm.接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度.
（1）请你帮助小明说出图1中BE是圆形薄板甲的直径的理由，并求出 BE的长度.
（2）按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度.
19．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
（1）求的度数．
（2）是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
20．综合与实践
【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦AB与CD交于点 P，则有AP·BP=CP·DP．
（1）【猜想验证】请证明上述结论．
（2）【实践应用】如图2，若A(-1，0)、B(3，0)、C(0，-1.5)，则D的坐标为　 　．
（3）【综合拓展】如图3，已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(A在y轴左侧，B在y轴右侧)，与y轴负半轴交于点C．经过A、B、C三点的圆与y轴正半轴交于点 D，求点D的坐标．
21．【文化欣赏】π(圆周率)的估算方法贯穿了数学发展史.其中阿基米德使用正九十六边形，利用(其中C为周长，d为直径)，估算出π的值.
【应用体验】
（1）如图1，正六边形内接于半径为1的圆内，求这个正六边形的周长并用此值估算π的值.
（2）如图2，半径为1的圆内切于正八边形，请求这个正八边形的周长并用此值估算π的值.
（3）实际圆的周长介于内接正六边形周长与外切正八边形周长之间，请用这两个近似值的平均数来估算π的值．[（取1.41）]
22．如图，在 ABCD中，∠B是锐角，，BC=10.在射线BA上取一点P，过P作PE⊥BC于点E，过P，E，C三点作⊙O.
（1）当时，
①如图1，若AB与⊙O相切于点P，连结CP，求CP的长；
②如图2，若⊙O经过点D，求⊙O的半径长.
（2）如图3，已知⊙O与射线BA交于另一点F，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B'，且B'恰好同时落在⊙O和边AD上，求此时PA的长.
23．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G.
（1）若∠DBC=α，请用含α的代数式表示∠AGB.
（2）如图2，连结CE，CE=BG.求证：EF=DG.
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD=2.
①若tan∠ADB=，求△FGD的周长.
②求CG的最小值.
24．如图， AB为⊙O直径， C为圆O上一动点，且C在直径AB上方，连结AC， BC，点M为中点，连结BM，与AC相交于点 N．
（1）如图1，连结OM，求证： OM∥BC；
（2）如图2，连结 ON， AM，当ON⊥BM时，求tan∠BAC的值；
（3）如图3，作 MH⊥AB于 H， ∠BMK=∠BAC，与⊙O交于点K(点K在AB下方)， MK与AB交于点E．若 求： ①⊙O的直径； ②EK的长．
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D位于⊙O外一点，连接AD， BD， CD， BD交⊙O于点E，连接CE.已知AB=AC=AD.
（1）如图1，求证： ∠ACE=∠ADE.
（2）如图2，BD经过圆心O，
① 求cos∠BAC的值；
② 若AB =4，求⊙O的半径.
26．如图，在矩形ABCD中，以AB为直径的⊙O交 CD于点E， F，连结OE，过点O作OG⊥OE交 于点 G，过点G作GH⊥CD于点 H，连结GF， GC.
（1）求证： GH=FH；
（2）若FH=1， BC=2，求AB的长；
（3）若CG是⊙O的切线，求证：
27． 如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接．
（1）求的度数；
（2）当是圆的直径，
①求证：四边形是平行四边形；
②若是的中点，，求的长．
28．如图，在 中， D 是边AB上一点(不与点A， B 重合)， ⊙O经过点A， C， D.
（1）如图1，连结OC， OD， CD，若
① 求 的度数；
② 若又满足tanB=1，OD=2，求AB的长.
（2）如图2，过点 D 作 交⊙O于点E，连 结OE，若 求证：DE=AC.
29．已知点C是以AB为直径的圆上一点，连结AC，在AB上截取AD＝AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，设AC＝kAB．
（1）如图1，若∠EAB＝25°时，求∠BAC度数；
（2）如图2，过点A作AF⊥CD，证明：2k；
（3）如图3，若k＜1，连结EB并延长，交AC的延长线于点F，设△BCF的面积为S1，设△AEF面积为S2，用含k的代数式表示S1：S2．
30．如图，已知在△ABC中， ∠A=90°， AC=8， AB=6， E为CB边上一点，以EB为直径作圆，
（1）当圆与AC 相切时，求 EB的长；
（2）当圆与线段AC有交点时，记其一个交点为D，连接BD、DE，把 △DEC沿DE翻折得△DEN，证明： ∠ADB=∠NDB；
（3）在(2)的条件下，当N恰好落在圆上时，求BE 的长.
31．已知△DBC内接于圆O，作外角∠EDC的角平分线交圆O于点A，连结AB，AC.
（1）如图1，求证：△ABC为等腰三角形.
（2）如图2，若CD过圆心O，AB、CD交于点F，DB=5，DF=3，求BC.
（3）如图3，作直径AH交BC于点G，若BD∥AC，且求tan∠ADC。
32．已知圆O的内接四边形ABCD，对角线 AC，BD 相交于点E.
（1）如图1，AC平分 求证：
（2）如图2，AC平分 AB为圆O的直径，若AD=3，AB=5，求 BC的值.
（3）如图3，点 F 在对角线BD 上，连结AF， 若 与的长度之和为 ，请用含 的代数式表示线段AC的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在
阴影部分的面积
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的性质求出∠B的度数和BC长，然后根据解答即可.
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，取CD的中点O，连接OE，
∵菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°， CD=AB=6，
∴∠COE=2∠D=120°，OC=3
∴的长是.
故选：C.
【分析】取CD的中点O，连接OE，根据菱形的性质得∠D=∠B=60°，CD=AB=6，根据圆周角定理得∠COE=2∠D=120°，OC=3，再根据弧长公式计算即可.
3．【答案】C
【知识点】垂径定理；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接．
因为是的直径，，
所以垂直平分线段，．
所以，．
所以．
因为是的切线，
所以．
所以．
又因为．
所以．
所以．
所以．
故选：C.
【分析】根据垂径定理可得，然后根据勾股定理求出BD的长，然后根据两角对应相等得到，然后根据对应边成比例解答即可．
4．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；垂径定理；圆-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，∵，，
∴△AQP∽△APB，
∴AP：AB=AQ：AP，
∴，
过点M作MG⊥AB，垂足为G，连接MA，则AG=GB，
∵点M的横坐标为3，圆的半径为5，
∴MG=3，MA=5，
根据勾股定理，得AG==4，
∴AB=2AG=8，
∴，
∴或（舍去），
∵AQ=AB-QB，
∴AP+QB=+8-AQ=
=
∴AP+QB有最大值，且当时，有最大值10，
∴AQ=2，AP=4，
连接AE，设MA与PE的交点为N，
∵△AQP∽△APB，
∴∠APQ=∠ABP，
∵∠AEP=∠ABP，
∴∠APQ=∠AEP，
∴AP=AE=4，，
根据垂径定理的推论，得AM⊥PE，
设AN=x，则MN=5-x，
在Rt△AEN中，，
在Rt△MEN中，，
∴=，
解得x=，
∴，
∴EN=，
∴PE=2EN=，
故选D．
【分析】先证明△AQP∽△APB，即可得到，过点M作MG⊥AB，垂足为G，根据垂径定理可得AB=8，进而得到AP+QB关于AQ的二次函数，得到AQ=2，AP=4，即可得道AE=AP=4，连接MA，交PE于点N，根据垂径定理的推论得到AM⊥PE，设AN=x，利用勾股定理表示EN即可求出x的值，从而求得EN的值解答即可.
5．【答案】(4π-2)
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：已知扇形AOB的圆心角∠AOB=90 ，半径OA=4m，
根据扇形面积公式（其中n为圆心角度数，r为半径），计算大扇形AOB的面积：
因为点C、D分别为OA、OB的中点，
所以，又∠COD=90 ，
因此直角三角形COD的面积为：
阴影部分（花窗）的面积为大扇形AOB的面积减去直角三角形COD的面积，即：S阴影 =S扇形AOB S△COD =4π 2.
因此，花窗的面积为(4π 2)平方米。
故答案为：(4π 2).
【分析】花窗（阴影部分）的面积等于大扇形AOB的面积减去下方空白的直角三角形COD的面积，先分别计算大扇形和直角三角形的面积，再作差得到结果。
6．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意可知，，
为的中点，
，
在中，，，则，
，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
在中，，，，则，
由勾股定理可得，
图中阴影部分的面积
，
故答案为：.
【分析】在中，根据余弦的定义求出∠AOC的度数，进而得到∠BOD的度数，再在和中，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AC和OE长，再根据阴影部分的面积解答即可．
7．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连结BE，
∵AD=2DB， AD=AC，
∴AB=2DB+DB=3DB， AC=2DB， ∠C=∠ADC，
∵∠C=∠B， ∠ADC=∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE，
∵AF⊥CD于点F， AB是⊙O的直径，
∴∠AFC=∠AEB=90°，
∴△AFC∽△AEB，
∵CF=1，
于点F，
故答案为：
【分析】连结BE，得到AB=3DB，A 而 B，所以 则BE=DE，可证明 根据两角对应相等得到 根据对应边成比例得到 ，即可得到 然后根据线段的和差解答即可.
8．【答案】4，0
【知识点】点的坐标；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作轴于，交于，作于，连接，如图，
∵的圆心坐标是，
∴，
把代入得，
∴点坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
在中，，
，
，
∴，
∴，
故
【分析】作轴于，交于，作于，连接，即可得到，然后求出点D的坐标，进而求出PD长，进而求出∠PDE的正切，再根据垂径定理求出，在中，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，列方程解答即可课．
9．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，
设的半径为，
∵，，
∴，
∵是的切线，为切点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，设的半径为，根据圆周角定理可得，根据切线的定义求出，根据含角的直角三角形的性质解答即可．
10．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点O作于点E，连接，
∴，
∵，
∴在中，．
连接，则，
∴的最小值为．
连接，，
∵和所对圆周角都是，
∴，
∴，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：2.
【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理可得，再勾股定理得到OE=1，连接，即可得到．连接，，得到，根据三线合一得到，利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，进而得到的最小值即可解答．
11．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接并延长交于点M，
，
，，
，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接，延长交于点M，根据垂径定理可得，然后根据平行线分线段成比例得到，即可得到，设，则，利用勾股定理求出，即可得到，求出比例解答即可．
12．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：由作图可知，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由作图可知，，再根据圆周角定理的推论得到，，即可得到，根据对应边成比例解答即可．
13．【答案】30+ α；
【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：①如图，连接、，
是的直径，弦于点E，，，
、，
在中，，
∴，
，
，
，
；
②，
由①知、，
，
即，
解得，
，
，
设的半径为，则、，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
故答案为：30+ α， .
【分析】连接、，根据垂径定理可得、，然后根据圆周角定理及推论可得、，利然后根据角的和差求出∠BAF的度数；利用求出 α 的度数，即可得到，根据等角对等边可得，设的半径为，根据勾股定理求出的值，即可求出比值解答即可．
14．【答案】6；
【知识点】列二次函数关系式；直角三角形全等的判定-HL；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：①如图，连接，
∵平分角，
∴，
∴，
∵为的直径，且，
∴，
∴；
②连接，过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，
∵为直径，
∴，，
∵点为和平分线的交点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
整理得，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∵中，，，
∴，
整理得．
故答案为：6；.
【分析】①如图，连接，根据角平分线的定义得到，即可得到，然后根据等腰直角三角形的性质解答即可；
②连接，过作三边的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的定义得到是的内心，即可得到，然后根据HL得到，即可求出AN的值，进而求出，再根据，求出，再在中根据勾股定理得到，解答即可．
15．【答案】（1）解：如图所示；射线AP即为所求；
（2）；垂径定理；∠CAP
【知识点】垂径定理；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（2）证明：连接，，，．
，，
点，在的垂直平分线上．
，即．
（垂径定理）（填推理的依据）．
．
是的角平分线，
故答案为：，垂径定理，．
【分析】（1）根据题目所给作图步骤作出图形解答；
（2）连接，，，．得到O，在的垂直平分线上．即可得到．根据垂径定理可得，再由同圆周角定理的推论可得，即可得到结论．
16．【答案】（1）解：根据题意可得为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：连接交于点，连接，如图：
∵与相切，
∴，
在平行四边形中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故点在的垂直平分线上，
又∵，
∴是的垂直平分线．
∴，
在和中，
，
∴，
即，
故阴影部分的面积即为扇形的面积，
扇形的面积．
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论得到，然后求出，再根据平行四边形的对角线等解答即可；
（2）连接交于点，连接，根据切线的性质可得，根据平行四边形的性质得出，即可根据垂径定理得出，，进而得到△OAC是等边三角形，进而得到，根据SAS得到△AOE≌△BCE，即可得到，然后根据扇形的面积公式计算即可．
17．【答案】（1）解：如图1，连结OA，AD.
∵AG⊥CD，G为OD的中点，
∴AO=AD.
又∵AO=DO，
∴△AOD 是等边三角形，
∴∠AOD=60°.
∵CD⊥AB，
∵∠E=∠ADC=60°.
（2）解：如图2，作△AGC 的外接圆O'，连结O'G.
∵∠AGC=90°，
∴AC 为⊙O'的直径.
∵∠AFC=90°，
∴点 F 在⊙O'上.
∴当点 E 从点 B 出发，逆时针运动到点 C 时，点 F 的运动轨迹为劣弧GC，
∴所求图形为弓形 CGF.
由答图1知，
∴∠O'CG=30°，∠CO'G=120°.
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OA，AD，根据垂直平分线的性质得到AO=AD，即可得到△AOD是等边三角形，然后根据正弦的定义求出AG长，即可根据垂径定理求出AB长解答即可再根据圆周角定理的推论得到∠E=∠ADC=60°，求出余弦值即可；
（2）作△AGC 的外接圆O'，连结O'G，根据90°的圆周角所对的弦是直径得到AC 为⊙O'的直径，即可得到点 F 在⊙O'上，然后求出∠ACG=30°，根据解直角三角形求出CO'和CG长，然后根据解答即可.
18．【答案】（1）解：理由：90°的圆周角所对的弦是直径.
因为矩形直尺ABCD，
所以∠A=90°，
所以
又因为AB=2， AE=6，
所以
（2）解：设圆心为O，连结OG， OM，圆形纸片半径为 rcm.
因为BC与⊙O 相切于点 G，
所以OG⊥BC.
又因为矩形直尺ABCD 对边平行，
所以OG⊥AD，
所以AE=EM=4，
所以
解得r=5，
即圆形薄板乙的直径为10cm.
(另法：延长GO交⊙O于点 P，根据△PEA∽△AEG，求得PG)
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；圆周角定理的推论
19．【答案】（1）解：∵正五边形ABCDE，
∴，
∴
∵，
∴∠AOC=3×72°=216°，
∴
（2）解：是正三角形，理由如下：
连接ON，FN，
由作图知：FN=FO，
∵ON=OF，
∴ON=OF=FN，
∴△OFN是正三角形，
∴∠OFN=60°，
∴∠AMN=∠OFN=60°
同理∠ANM=60°，
∴∠MAN=60°， 即∠AMN=∠ANM=∠MAN，
∴△AMN是正三角形；
（3）解：∵△AMN是正三角形，
∴∠AON=2∠AMN=120°
∵，
∴∠AOD=2×72°=144°，
∵，
∴∠NOD=144°-120°=24°，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】】(1)根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则∠AOC(优弧所对圆心角)=3×72°=216°，然后根据圆周角定理即可得出结论；
(2)根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
(3)运用圆周角定理并结合(1)(2)中结论得出∠NOD=144°-120°=24°，即可得出结论.
20．【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，，
∴∽，
∴，
即；

（2）(0，2)
（3）解：设A(x1，0) 、 B(x2，0)
∵OA· OB=OD· OC，即：
当y=0时，由韦达定理可得，
∴OD=3，则 D(0，3).
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；相交弦定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，，，
∴，
解得，
∴；
故答案为：(0，2)；
【分析】（1）根据圆周角定理，即可得到∽，根据对应边成比例即可得到结论；
（2）根据点A，B，C的坐标，利用（1）的结论解答即可；
（3）设A(x1，0) 、 B(x2，0)，根据，利用根与系数的关系得到 ，求出OC长解答即可.
21．【答案】（1）解：如图，连接、，
∵正六边形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴圆的直径为，
∴正六边形的周长为，
根据题意可得到，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵正八边形，
∴，
∵圆内切于正八边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴正八边形的周长为：，
圆的直径为，
根据题意可得到，
∴；
（3）解：∵这两个近似值为和，
故这两个近似值的平均数为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆内接正多边形；平均数及其计算；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）连接、，即可得到是等边三角形，进而得到，求出正六边形的周长，即可估算出的值；
（2）如图，连接，根据HL得到，根据对应角相等得到，然后根据正切的定义求出长，求出正八边形的周长，估算出的值；
（3）把（1）（2）估算出的π值求平均值解答即可.
22．【答案】（1）解：①∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∵AB与⊙O相切于点P，
∴PC⊥PB．
∵，
∴
∴BP=BC=6，
∴CP==8；
②连接CP，PD，如图，
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PDC=90°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=6，BC=AD=10，∠PAD=∠B，
∴∠APD+∠PDC=180°，cos∠PAD=cos∠B=，
∴∠APD=90°．
∵cos∠PAD=，
∴AP=6，
∴
∴
∴⊙O的半径长为PC=
（2）解：过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于点M，连接CF，CP，设PE与AD交于点N，如图，
由题意得：∠B=∠FB'E，
∵∠FB'E=∠FPE，
∴∠FPE=∠B．
∵PE⊥BE，
∴∠B=∠FPE=45°．
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PFC=90°，
∴△BFC为等腰直角三角形，
∴BF=FC=BC=5，
∴AF=AB-BF=．
∵AD∥BC，
∴∠MAF=∠B=45°，
∴MF=MA=AF=1，
∵FB=FB'=5，
∴MB'==7，
∴AB'=MB'-MA=6．
∵AD∥BC，PE⊥BC，
∴PN⊥AD．
∵EN为平行四边形ABCD的高，
∴NE=AB sin∠B==6，
∵△PAN为等腰直角三角形，
∴设PN=AN=x，则PE=x+6，NB'=6-x.
∵PE=BE=B'E，
∴B'E=x+6．
在Rt△NB'E中，
∵NB'2+NE2=B'E2，
∴（6-x）2+62=（x+6）2，
∴x=．
∴PN=AN=，
∴PA=PN=
【知识点】平行四边形的性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）①利用圆周角定理的推论得到PC为⊙O的直径，再根据切线的性质定理得到，然后根据余切的定义求出，根据勾股定理求出的长即可；
②连接，，利用圆周角定理的推论和平行四边形的性质推理得到∠APD=90°，再根据余弦的定义求出，根据勾股定理求得，长解答即可；
（2）过点F作，交的延长线于点M，连接，，设与交于点N，根据轴对称的性质，圆周角定理的推论和垂直的定义即可得到为等腰直角三角形，根据勾股定理求出，，再根据勾股定理解答即可．
23．【答案】（1）解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴∠ABG=∠DBC=α，
∴∠AGB=90°-α；
（2）证明：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠BEC=∠BDC=90°-α，
∴∠BEC=∠AGB，
∵∠CEF=180°-∠BEC，∠BGD=180°-∠AGB，
∴∠CEF=∠BGD，
又∵CE=BG，∠ECF=∠GBD，
∴△CFE≌△BDG(ASA)，
∴EF=DG；
（3）解：①如图，连接DE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A=∠BED=90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=，AD=2，
∴AB=，
∵，
∴，
即，
∴AD=CE，
∵CE=BG，
∴BG=AD=2，
∵在Rt△ABG中，，
∴∠AGB=60°，，
∴EF=DG=AD-AG=1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD=60°，
∴，
在Rt△FED中，，
∴FG+DG+DF=，
∴△FGD的周长为；
②如图，过点C作CH⊥BF于H，
∵△BDG≌△CFE，
∴BD=CF，∠CFH=∠BDA，
∵∠BAD=∠CHF=90°，
∴△BAD≌△CHF(AAS)，
∴FH=AD，
∵AD=BG，
∴FH=BG，
∵∠BCF=90°，
∴∠BCH+∠HCF=90°，
∵∠BCH+∠HBC=90°，
∴∠HCF=∠HBC，
∵∠BHC=∠CHF=90°，
∴△BHC∽△CHF，
∴，
设GH=x，
∴BH=2-x，
∴CH2=2(2-x)，
在Rt△GHC中，CG2=GH2+CH2，
∴CG2=x2+2(2-x)=(x-1)2+3，
当x=1时，CG2的最小值为3，
∴CG的最小值为．
【知识点】三角形全等的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等弧所对的圆周角相等得到，然后根据直角三角形的两锐角互余解得；
（2）得到，即可得到，然后根据等角的补角相等得到，再根据ASA证明，根据对应边相等得到结论即可；
（3）①连接．求出AB的长，即可得到，进而得到哦啊，在中，求出EF的长，再在中，求出EG及DE，根据勾股定理求出DF解答；
②过点C作于H，即可得到，进而得到，推理得到哦啊，根据对应边成比例设，求出，根据勾股定理得到求得，利用二次函数的性质解答即可．
24．【答案】（1）证明：∵点M为中点，
∴，
∵为直径，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，连接交于点，
∵点M为中点，
∴，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①延长交于点，
∵点M为中点，
∴，
∵，且为直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，，
∴，
由①可得：，，
∵，
∴，
过点作于点，
设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论得到，再由直径所对的圆周角是直角得出，再根据平行线的判定证明即可；
（2）连接交于点，想得到，，进而可得为的中位线，根据中位线定理得到，再由垂径定理可得，再根据AAS得到，得到，根据勾股定理求出，得到，再根据正切的定义解答即可；
（3）①延长交于点，得到，，即可得到，跟模弧、弦、圆心角的关系得到，再根据勾股定理解答；
②设，先得到，根据对应边成比例求出AH和BH长，根据勾股定理可得AM和BM长，求出，过点作于点，设，求出，，，由勾股定理可得，连接，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可.
25．【答案】（1）证明：，
．
，
；
（2）解：①连接，，如图，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
∵，
，
为圆的直径，
，
．
，
；
②连接，，延长交于点，如图，
设的半径为，则，
由（2）①知：，
，
由（2）①知：，
，
，，
，
为的中位线，
，
，
，，
，
解得，
，
．
答：的半径为．
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）根据等边对等角得到∠ABD=∠ADB，然后根据圆周角定理的推论得到∠ABD=∠ACE，然后根据等量代换证明即可；
（2）①连接，，根据SSS得到△AOB≌△AOC，得到，进而得到，然后根据两角对应相等得到△OBA∽△ECD，再根据相似三角形的对应边成比例求出，再根据余弦的定义解答即可；
②连接，，的延长线交于点，设的半径，则，，根据三角形的中位线定理得到，再根据勾股定理求出r的值解答即可．
26．【答案】（1）证明： ∵OG⊥OE，
∴∠EOG=90°，
∵GH⊥CD，
∴∠GHF=90°，
∴∠HGF=180°-∠GHF-∠H
∴GH=FH；
（2）解：延长GH交AB于M，过E作EN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB， ∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠BMH=90°，
∴四边形ENBC，四边形HMBC是矩形，
∴EN=HM=BC=2，
∵HG=FH=1，
∴GM=3，
∵∠ENO=∠EOG=∠GMO=90°，
∴∠OEN+∠EON=∠EON+∠GOM=90°，
∴∠OEN=∠GOM，
∵OE=OG，
∴△OEN≌△GOM(AAS)，
∴ON=GM=3，
（3）证明： ∵CG是⊙O的切线，
∴OG⊥CG，
∵OG⊥OE，
∴OE∥CG，
∴∠GCH=∠OEC，
∵CD∥AB，
∴∠OEC=∠EON，
∵∠ONE=∠CHG，
∴△OEN∽△CGH，
由(1)(2)知， EN=HM=BC， ON=GM=GN+HM， GH=FH，
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
(2)延长GH交AB于M，过E作 于N，根据矩形的性质得到求得∠ ，根据矩形的性质得到EN=HM=BC=2，得到HG=FH=1，求得GM=3，根据全等三角形的性质得到ON=GM=3，根据勾股定理即可得到结论；
(3)根据切线的性质得到根据平行线的性质得到 根据相似三角形的性质即可得到结论.
27．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴是直径．
∵是圆的切线，
∴．
∵的平分线交于，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）①证明：连接，
∵，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

【知识点】平行四边形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据90°的直角三角形的性质得到是直径，根据切线的性质得到，即可求出∠BCE=45°，再利用等弧所对的圆周角相等证明即可；
（2）①连接，即可得到，进而得到，再根据内错角相等得到，推理得到，证明结论；
②延长相较于点H，根据等腰直角三角形的性质得到，，然后根据等角对等边得到，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
28．【答案】（1）解： ① 解：因为∠DOC=150°， OD=OC，
所以∠ODC=15°，
因为∠DOC=150°，
所以∠A=75°，
因为CD=CA，
所以∠ADC=∠A=75°，
所以∠ADO=∠ADC-∠ODC=60°.
② 解：如图，延长CO交AB 于点 M，
因为∠OCD+∠ADC=15°+75°=90°，
所以CM⊥AB，
因为CD=CA，
所以AM=DM，
因为∠ADO=60°，
所以AM=DM=OD·cos60°=1， OM=OD·sin60°=
所以
因为tanB=1，
所以
所以
（2）证明：如图，连结CE， AO，
设∠AEO=α，
因为∠ACB=2∠AEO，
所以∠ACB=2α，
因为AO=OE，
所以∠AOE=180°-2α，
所以
因为 DE∥BC，
所以∠B=∠ADE=90°-α，
因为∠ACB=2α，
所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°-α，
所以∠B=∠BAC，
所以AC=BC，
因为∠DEC=∠BAC=90°-α，
所以∠DEC=∠ADE，
所以CE∥BA，
所以四边形BCED是平行四边形，
所以BC=DE，
所以AC=DE.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—含30°角直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ODC=15°，再根据圆周角定理求出∠A=75°，进而求出∠ADC的度数，利用角的和差解答即可；
②延长CO交AB 于点 M，先求出CM⊥AB，然后根据三线合一得到AM=DM，然后根据解直角三角形求出AM和OM的值，再根据正切的定义求出BM长，利用线段的和差解答即可；
（2）连结CE， AO，设∠AEO=α，即可得到∠ACB=2α，根据三角形的内角和定理和等边对等角求出∠AOE的度数，然后根据圆周角定理求出∠ADE的度数，进而得到∠B=∠BAC，可以得到AC=BC，再推理得到∠DEC=∠ADE，即可得到CE∥BA，进而证明四边形BCED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等证明解即可.
29．【答案】（1）解：如图1，
连接BE，作AF⊥CD于F，
∴∠AFC＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAF＝2∠DAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵，
∴∠C＝∠B，
∴∠CAF＝∠EAB＝25°，
∴∠BAC＝50°；
（2）证明：如图2，
连接BE，
∵∠AEB＝∠AFC＝90°，∠B＝∠C，
∴△AEB∽△AFC，
∴，∠BAE＝∠CAF，
∵AD＝AC，AF⊥CD，
∴∠C＝∠ADC，CFCD，∠CAD＝2∠CAF＝2∠BAE，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∴，
∴；
（3）解：如图3，
作AB的垂直平分线，交AE于H，
∴AH＝BH，
∴∠BAE＝∠ABH，
∴∠BHE＝∠BAE+∠ABH＝2∠BAE，
由（2）知：∠BAC＝2∠BAE，
∴∠BHE＝∠BAC，
∴cos∠BHE＝cos∠BAC，
∴，
不妨设AH＝BH＝1，EH＝k，BE，
∴AB，
∴，
在Rt△ABC中，
，
∴，
∵AB是直径，
∴∠CFB＝∠ACB＝∠AEB＝90°，
∵∠F＝∠F，
∴△FCB∽△FEA，
∴2﹣2k，
∴．
【知识点】圆周角定理；圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
30．【答案】（1）解：在中，，
由勾股定理得：，
设的中点为，圆与的切点为，设圆的半径为，则、、，
圆与相切，
，
，
，
，
，
，
解得
；
（2）证明：是圆的直径，
，
，
，
由翻折的性质可知：，
，
，
；
（3）解：、，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
，
在中，，
在中，，
，
，
解得．
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出的长，设的中点为，圆与的切点为，设圆的半径为，然后根据切线的性质，利用两角对应相等得到，然后根据对应边成比例求出r的值，即可求解；
（2）根据圆周角定理的推论可得，进而可得，由翻折的性质得到，再根据等交的余角相等进而证明结论即可；
（3）根据圆周角定理的推论得到，根据等角对等边可得，设，在中根据勾股定理求出的值，然后根据余弦的额定义求出的长解答即可．
31．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
由题意可得四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴∠DBC=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，连接，在上取点，使得，
∵，
∵，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∵为直径，由（2）可知，
∴，，
∴，
∵，
∴
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补和角平分线定义可得，再根据等角对等边得到结论即可；
（2）连接，先得到∠DBC=90°，然后根据弦、弧、圆心角的关系和垂径定理得到，即可推理得到，根据对应边成比例求得，即可得到，然后根据勾股定理解答即可；
（3）连接，在上取点，使得，根据平行线可得，即可得到，设，，然后推理得到，然后根据对应边成比例得到得到，然后根据BK=BD+DK求出，即可得到，然后根据勾股定理求得，然后根据正切的定义解答即可．
32．【答案】（1）证明：因为AC平分∠BAD，
所以∠CAD=∠BAC=∠BDC.
又因为∠DCE=∠ACD，
所以△ADC∽△DEC.
（2）解：如图，延长BC，AD相交于点 F.
因为AB是直径，
所以∠ADB=∠ACB=90°.
因为AC平分∠BAD，
所以∠F=∠ABF，
所以AB=AF=5，
所以DF=2.
在直角三角形ADB中，根据勾股定理可得DB=4.
在直角三角形BDF中，FB=2
（3）解：设圆O的半径为r.
因为∠BAF=∠CAD=∠CBD，
所以∠BAF+∠ABD=∠CBD+∠ABD，即∠AFE=∠ABC.
因为 tan∠AFE=k1，
所以
因为AC⊥BD.
所以∠ABD+∠BAC=90°，
所以AD与BCE的长度之和等于πr，所以r=k2.
过圆心O作AC 的垂线OG，连结 OA，
所以 sin∠ABC=
所以
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与四边形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1) 利用圆周角定理(同弧所对圆周角相等)和角平分线性质，找到两组对应角相等，用 “AA” 判定相似；
(2) 由直径得直角，结合角平分线证等腰，用勾股定理求BD，再用相似或面积法求BC；
(3) 由弧长和得圆心角和，结合垂直、等角条件，用三角函数设参数，结合弧长公式与相似，用k1 ，k2 表示AC。
1 / 14月下旬之圆—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，分别以点A、B为圆心，AC、BC的长为半径作弧，与AB交于点D、E.若AB=4，则图中阴影部分的面积为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在
阴影部分的面积
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的性质求出∠B的度数和BC长，然后根据解答即可.
2．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则的长是（　　）
A．3π B． C．4π D．5π
【答案】C
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，取CD的中点O，连接OE，
∵菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°， CD=AB=6，
∴∠COE=2∠D=120°，OC=3
∴的长是.
故选：C.
【分析】取CD的中点O，连接OE，根据菱形的性质得∠D=∠B=60°，CD=AB=6，根据圆周角定理得∠COE=2∠D=120°，OC=3，再根据弧长公式计算即可.
3．如图， AB是⊙O的直径， CD是⊙O的弦， AB⊥CD，垂足为E，连接BD并延长，与过点A的切线AM相交于点P，连接AC.若⊙O的半径为6.5， AC =12，则AP的长是(　　)
A． B．26 C． D．24
【答案】C
【知识点】垂径定理；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接．
因为是的直径，，
所以垂直平分线段，．
所以，．
所以．
因为是的切线，
所以．
所以．
又因为．
所以．
所以．
所以．
故选：C.
【分析】根据垂径定理可得，然后根据勾股定理求出BD的长，然后根据两角对应相等得到，然后根据对应边成比例解答即可．
4．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作⊙M，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦AB上的一个动点，延长PQ交⊙M于点E，运动过程中，始终保持∠AQP=∠APB，当AP+QB的结果最大时，PE长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；垂径定理；圆-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，∵，，
∴△AQP∽△APB，
∴AP：AB=AQ：AP，
∴，
过点M作MG⊥AB，垂足为G，连接MA，则AG=GB，
∵点M的横坐标为3，圆的半径为5，
∴MG=3，MA=5，
根据勾股定理，得AG==4，
∴AB=2AG=8，
∴，
∴或（舍去），
∵AQ=AB-QB，
∴AP+QB=+8-AQ=
=
∴AP+QB有最大值，且当时，有最大值10，
∴AQ=2，AP=4，
连接AE，设MA与PE的交点为N，
∵△AQP∽△APB，
∴∠APQ=∠ABP，
∵∠AEP=∠ABP，
∴∠APQ=∠AEP，
∴AP=AE=4，，
根据垂径定理的推论，得AM⊥PE，
设AN=x，则MN=5-x，
在Rt△AEN中，，
在Rt△MEN中，，
∴=，
解得x=，
∴，
∴EN=，
∴PE=2EN=，
故选D．
【分析】先证明△AQP∽△APB，即可得到，过点M作MG⊥AB，垂足为G，根据垂径定理可得AB=8，进而得到AP+QB关于AQ的二次函数，得到AQ=2，AP=4，即可得道AE=AP=4，连接MA，交PE于点N，根据垂径定理的推论得到AM⊥PE，设AN=x，利用勾股定理表示EN即可求出x的值，从而求得EN的值解答即可.
二、填空题
5．图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗).扇形AOB 的圆心角为90°，OA=4m，点C，D分别为OA，OB 的中点，则花窗的面积为　 　m2.（结果保留π)
【答案】(4π-2)
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：已知扇形AOB的圆心角∠AOB=90 ，半径OA=4m，
根据扇形面积公式（其中n为圆心角度数，r为半径），计算大扇形AOB的面积：
因为点C、D分别为OA、OB的中点，
所以，又∠COD=90 ，
因此直角三角形COD的面积为：
阴影部分（花窗）的面积为大扇形AOB的面积减去直角三角形COD的面积，即：S阴影 =S扇形AOB S△COD =4π 2.
因此，花窗的面积为(4π 2)平方米。
故答案为：(4π 2).
【分析】花窗（阴影部分）的面积等于大扇形AOB的面积减去下方空白的直角三角形COD的面积，先分别计算大扇形和直角三角形的面积，再作差得到结果。
6．如图，已知扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，AC⊥AO，OC交于点D，且D为OC的中点，过点D作DE⊥OB，交OB于点E，则图中阴影部分的面积是　 　.
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意可知，，
为的中点，
，
在中，，，则，
，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
在中，，，，则，
由勾股定理可得，
图中阴影部分的面积
，
故答案为：.
【分析】在中，根据余弦的定义求出∠AOC的度数，进而得到∠BOD的度数，再在和中，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AC和OE长，再根据阴影部分的面积解答即可．
7．如图，已知点D为⊙O的直径AB上一点，且AD=2DB．C为⊙O上一点，满足AD=AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，过点A作AF⊥CD．若CF=1，则EF的长为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连结BE，
∵AD=2DB， AD=AC，
∴AB=2DB+DB=3DB， AC=2DB， ∠C=∠ADC，
∵∠C=∠B， ∠ADC=∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE，
∵AF⊥CD于点F， AB是⊙O的直径，
∴∠AFC=∠AEB=90°，
∴△AFC∽△AEB，
∵CF=1，
于点F，
故答案为：
【分析】连结BE，得到AB=3DB，A 而 B，所以 则BE=DE，可证明 根据两角对应相等得到 根据对应边成比例得到 ，即可得到 然后根据线段的和差解答即可.
8．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是 半径为2，函数 的图象被⊙P 截得的弦AB的长为，则a=　 　．
【答案】4，0
【知识点】点的坐标；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作轴于，交于，作于，连接，如图，
∵的圆心坐标是，
∴，
把代入得，
∴点坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
在中，，
，
，
∴，
∴，
故
【分析】作轴于，交于，作于，连接，即可得到，然后求出点D的坐标，进而求出PD长，进而求出∠PDE的正切，再根据垂径定理求出，在中，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，列方程解答即可课．
9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD.若∠A=∠D，且AC=3，则AB的长度是　 　.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，
设的半径为，
∵，，
∴，
∵是的切线，为切点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，设的半径为，根据圆周角定理可得，根据切线的定义求出，根据含角的直角三角形的性质解答即可．
10． 如图，是的弦，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连结并延长交于点，点是的中点，连结．若半径，则的最小值为　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点O作于点E，连接，
∴，
∵，
∴在中，．
连接，则，
∴的最小值为．
连接，，
∵和所对圆周角都是，
∴，
∴，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：2.
【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理可得，再勾股定理得到OE=1，连接，即可得到．连接，，得到，根据三线合一得到，利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，进而得到的最小值即可解答．
11．如图，以△ABC的顶点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点 D，经过A，B，D三点的⊙O交 AC 于点 E， 连接OD，BE交于点 F.若 则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接并延长交于点M，
，
，，
，
，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】连接，延长交于点M，根据垂径定理可得，然后根据平行线分线段成比例得到，即可得到，设，则，利用勾股定理求出，即可得到，求出比例解答即可．
12．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=5，AC=3.
按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①以点A为圆心，以AC的长为半径作弧，交边BC于点D； ②连接AD； ③分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧交于点E，连接AE，交BC于点F； ④连接AO，并延长AO交⊙O于点G，连接BG.
若设AF，AG的长度分别为x，y，则y与x的函数关系式为　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：由作图可知，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由作图可知，，再根据圆周角定理的推论得到，，即可得到，根据对应边成比例解答即可．
13．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， OE=BE.点P是劣弧AD上任意一点(不与点A，D重合)，CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点 F，设∠PCD=α.①则∠A=　 　， (用含α的代数式表示)； ②当∠F=3∠PCD时，则 　 　.
【答案】30+ α；
【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：①如图，连接、，
是的直径，弦于点E，，，
、，
在中，，
∴，
，
，
，
；
②，
由①知、，
，
即，
解得，
，
，
设的半径为，则、，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
故答案为：30+ α， .
【分析】连接、，根据垂径定理可得、，然后根据圆周角定理及推论可得、，利然后根据角的和差求出∠BAF的度数；利用求出 α 的度数，即可得到，根据等角对等边可得，设的半径为，根据勾股定理求出的值，即可求出比值解答即可．
14． 如图， △ABC为⊙O内接三角形，其中AB为直径，且. 点E为∠BAC和∠ACB平分线的交点，连结CE 并延长交⊙O于点 P，连结 OE，BP。
①BP=　 　；
②若OE=x， CE=y， y与x之间的函数关系为　 　。
【答案】6；
【知识点】列二次函数关系式；直角三角形全等的判定-HL；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：①如图，连接，
∵平分角，
∴，
∴，
∵为的直径，且，
∴，
∴；
②连接，过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，
∵为直径，
∴，，
∵点为和平分线的交点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
整理得，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∵中，，，
∴，
整理得．
故答案为：6；.
【分析】①如图，连接，根据角平分线的定义得到，即可得到，然后根据等腰直角三角形的性质解答即可；
②连接，过作三边的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的定义得到是的内心，即可得到，然后根据HL得到，即可求出AN的值，进而求出，再根据，求出，再在中根据勾股定理得到，解答即可．
三、解答题
15．下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程.
已知：锐角∠MAN.
求作：射线AP，使得AP平分∠MAN.
作法：如图，
①在∠MAN内部任取一点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆，分别交射线AM，AN于点B，C；
③连接BC，分别以点B，C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的同样长为半径画弧，两弧交于点D（点O，D在BC两侧）；
④作射线OD，交⊙O于点P，作射线AP.
所以射线AP就是所求作的射线.
根据小智设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接OB，OC，BD，CD.
，，
∴点O，D在BC的垂直平分线上.
，即.
=　 　　 　（填推理的依据）.
∴∠BAP=　 　.
是的角平分线
【答案】（1）解：如图所示；射线AP即为所求；
（2）；垂径定理；∠CAP
【知识点】垂径定理；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（2）证明：连接，，，．
，，
点，在的垂直平分线上．
，即．
（垂径定理）（填推理的依据）．
．
是的角平分线，
故答案为：，垂径定理，．
【分析】（1）根据题目所给作图步骤作出图形解答；
（2）连接，，，．得到O，在的垂直平分线上．即可得到．根据垂径定理可得，再由同圆周角定理的推论可得，即可得到结论．
16．如图，点A，B，C在⊙O上，以AB，BC为边作
（1）如图1，当AB经过圆心O时，求的度数.
（2）如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为2，求与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积.
【答案】（1）解：根据题意可得为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：连接交于点，连接，如图：
∵与相切，
∴，
在平行四边形中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
故点在的垂直平分线上，
又∵，
∴是的垂直平分线．
∴，
在和中，
，
∴，
即，
故阴影部分的面积即为扇形的面积，
扇形的面积．
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论得到，然后求出，再根据平行四边形的对角线等解答即可；
（2）连接交于点，连接，根据切线的性质可得，根据平行四边形的性质得出，即可根据垂径定理得出，，进而得到△OAC是等边三角形，进而得到，根据SAS得到△AOE≌△BCE，即可得到，然后根据扇形的面积公式计算即可．
17．如图，半径为6的⊙O中，CD 为直径，弦 且过半径OD 的中点G，E 为 上一个动点(不包括端点 B)，CF⊥AE 于点 F.
（1）求线段 AB 的长和 cos∠AEC 的值.
（2）当点 E 从点 B 出发，逆时针运动到点 C 时，求点 F 经过的路径与线段 CG 所围成图形的面积.
【答案】（1）解：如图1，连结OA，AD.
∵AG⊥CD，G为OD的中点，
∴AO=AD.
又∵AO=DO，
∴△AOD 是等边三角形，
∴∠AOD=60°.
∵CD⊥AB，
∵∠E=∠ADC=60°.
（2）解：如图2，作△AGC 的外接圆O'，连结O'G.
∵∠AGC=90°，
∴AC 为⊙O'的直径.
∵∠AFC=90°，
∴点 F 在⊙O'上.
∴当点 E 从点 B 出发，逆时针运动到点 C 时，点 F 的运动轨迹为劣弧GC，
∴所求图形为弓形 CGF.
由答图1知，
∴∠O'CG=30°，∠CO'G=120°.
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OA，AD，根据垂直平分线的性质得到AO=AD，即可得到△AOD是等边三角形，然后根据正弦的定义求出AG长，即可根据垂径定理求出AB长解答即可再根据圆周角定理的推论得到∠E=∠ADC=60°，求出余弦值即可；
（2）作△AGC 的外接圆O'，连结O'G，根据90°的圆周角所对的弦是直径得到AC 为⊙O'的直径，即可得到点 F 在⊙O'上，然后求出∠ACG=30°，根据解直角三角形求出CO'和CG长，然后根据解答即可.
18．综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径(已知甲的直径小于乙的直径).
工具：自制的矩形直尺ABCD (边AB长2cm，边AD从点A至点D标有刻度).
小明的做法：如图1，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板甲上，使点A，B都恰好落在薄板的边缘，边AD，BC分别交薄板的边缘于点E，F，从直尺刻度中读出AE=6cm.小明认为线段 BE就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出 BE长度.
如图2，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边AD与薄板的边缘交于点 M，边BC与薄板的边缘相切于点 G，从直尺刻度中读出AM=8cm.接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度.
（1）请你帮助小明说出图1中BE是圆形薄板甲的直径的理由，并求出 BE的长度.
（2）按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度.
【答案】（1）解：理由：90°的圆周角所对的弦是直径.
因为矩形直尺ABCD，
所以∠A=90°，
所以
又因为AB=2， AE=6，
所以
（2）解：设圆心为O，连结OG， OM，圆形纸片半径为 rcm.
因为BC与⊙O 相切于点 G，
所以OG⊥BC.
又因为矩形直尺ABCD 对边平行，
所以OG⊥AD，
所以AE=EM=4，
所以
解得r=5，
即圆形薄板乙的直径为10cm.
(另法：延长GO交⊙O于点 P，根据△PEA∽△AEG，求得PG)
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；圆周角定理的推论
19．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
（1）求的度数．
（2）是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【答案】（1）解：∵正五边形ABCDE，
∴，
∴
∵，
∴∠AOC=3×72°=216°，
∴
（2）解：是正三角形，理由如下：
连接ON，FN，
由作图知：FN=FO，
∵ON=OF，
∴ON=OF=FN，
∴△OFN是正三角形，
∴∠OFN=60°，
∴∠AMN=∠OFN=60°
同理∠ANM=60°，
∴∠MAN=60°， 即∠AMN=∠ANM=∠MAN，
∴△AMN是正三角形；
（3）解：∵△AMN是正三角形，
∴∠AON=2∠AMN=120°
∵，
∴∠AOD=2×72°=144°，
∵，
∴∠NOD=144°-120°=24°，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】】(1)根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则∠AOC(优弧所对圆心角)=3×72°=216°，然后根据圆周角定理即可得出结论；
(2)根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
(3)运用圆周角定理并结合(1)(2)中结论得出∠NOD=144°-120°=24°，即可得出结论.
20．综合与实践
【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦AB与CD交于点 P，则有AP·BP=CP·DP．
（1）【猜想验证】请证明上述结论．
（2）【实践应用】如图2，若A(-1，0)、B(3，0)、C(0，-1.5)，则D的坐标为　 　．
（3）【综合拓展】如图3，已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(A在y轴左侧，B在y轴右侧)，与y轴负半轴交于点C．经过A、B、C三点的圆与y轴正半轴交于点 D，求点D的坐标．
【答案】（1）证明：如图1，连接，
∵，，
∴∽，
∴，
即；

（2）(0，2)
（3）解：设A(x1，0) 、 B(x2，0)
∵OA· OB=OD· OC，即：
当y=0时，由韦达定理可得，
∴OD=3，则 D(0，3).
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；相交弦定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，，，
∴，
解得，
∴；
故答案为：(0，2)；
【分析】（1）根据圆周角定理，即可得到∽，根据对应边成比例即可得到结论；
（2）根据点A，B，C的坐标，利用（1）的结论解答即可；
（3）设A(x1，0) 、 B(x2，0)，根据，利用根与系数的关系得到 ，求出OC长解答即可.
21．【文化欣赏】π(圆周率)的估算方法贯穿了数学发展史.其中阿基米德使用正九十六边形，利用(其中C为周长，d为直径)，估算出π的值.
【应用体验】
（1）如图1，正六边形内接于半径为1的圆内，求这个正六边形的周长并用此值估算π的值.
（2）如图2，半径为1的圆内切于正八边形，请求这个正八边形的周长并用此值估算π的值.
（3）实际圆的周长介于内接正六边形周长与外切正八边形周长之间，请用这两个近似值的平均数来估算π的值．[（取1.41）]
【答案】（1）解：如图，连接、，
∵正六边形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴圆的直径为，
∴正六边形的周长为，
根据题意可得到，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵正八边形，
∴，
∵圆内切于正八边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴正八边形的周长为：，
圆的直径为，
根据题意可得到，
∴；
（3）解：∵这两个近似值为和，
故这两个近似值的平均数为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆内接正多边形；平均数及其计算；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）连接、，即可得到是等边三角形，进而得到，求出正六边形的周长，即可估算出的值；
（2）如图，连接，根据HL得到，根据对应角相等得到，然后根据正切的定义求出长，求出正八边形的周长，估算出的值；
（3）把（1）（2）估算出的π值求平均值解答即可.
22．如图，在 ABCD中，∠B是锐角，，BC=10.在射线BA上取一点P，过P作PE⊥BC于点E，过P，E，C三点作⊙O.
（1）当时，
①如图1，若AB与⊙O相切于点P，连结CP，求CP的长；
②如图2，若⊙O经过点D，求⊙O的半径长.
（2）如图3，已知⊙O与射线BA交于另一点F，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B'，且B'恰好同时落在⊙O和边AD上，求此时PA的长.
【答案】（1）解：①∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∵AB与⊙O相切于点P，
∴PC⊥PB．
∵，
∴
∴BP=BC=6，
∴CP==8；
②连接CP，PD，如图，
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PDC=90°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=6，BC=AD=10，∠PAD=∠B，
∴∠APD+∠PDC=180°，cos∠PAD=cos∠B=，
∴∠APD=90°．
∵cos∠PAD=，
∴AP=6，
∴
∴
∴⊙O的半径长为PC=
（2）解：过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于点M，连接CF，CP，设PE与AD交于点N，如图，
由题意得：∠B=∠FB'E，
∵∠FB'E=∠FPE，
∴∠FPE=∠B．
∵PE⊥BE，
∴∠B=∠FPE=45°．
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PFC=90°，
∴△BFC为等腰直角三角形，
∴BF=FC=BC=5，
∴AF=AB-BF=．
∵AD∥BC，
∴∠MAF=∠B=45°，
∴MF=MA=AF=1，
∵FB=FB'=5，
∴MB'==7，
∴AB'=MB'-MA=6．
∵AD∥BC，PE⊥BC，
∴PN⊥AD．
∵EN为平行四边形ABCD的高，
∴NE=AB sin∠B==6，
∵△PAN为等腰直角三角形，
∴设PN=AN=x，则PE=x+6，NB'=6-x.
∵PE=BE=B'E，
∴B'E=x+6．
在Rt△NB'E中，
∵NB'2+NE2=B'E2，
∴（6-x）2+62=（x+6）2，
∴x=．
∴PN=AN=，
∴PA=PN=
【知识点】平行四边形的性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）①利用圆周角定理的推论得到PC为⊙O的直径，再根据切线的性质定理得到，然后根据余切的定义求出，根据勾股定理求出的长即可；
②连接，，利用圆周角定理的推论和平行四边形的性质推理得到∠APD=90°，再根据余弦的定义求出，根据勾股定理求得，长解答即可；
（2）过点F作，交的延长线于点M，连接，，设与交于点N，根据轴对称的性质，圆周角定理的推论和垂直的定义即可得到为等腰直角三角形，根据勾股定理求出，，再根据勾股定理解答即可．
23．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G.
（1）若∠DBC=α，请用含α的代数式表示∠AGB.
（2）如图2，连结CE，CE=BG.求证：EF=DG.
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD=2.
①若tan∠ADB=，求△FGD的周长.
②求CG的最小值.
【答案】（1）解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴∠ABG=∠DBC=α，
∴∠AGB=90°-α；
（2）证明：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠BEC=∠BDC=90°-α，
∴∠BEC=∠AGB，
∵∠CEF=180°-∠BEC，∠BGD=180°-∠AGB，
∴∠CEF=∠BGD，
又∵CE=BG，∠ECF=∠GBD，
∴△CFE≌△BDG(ASA)，
∴EF=DG；
（3）解：①如图，连接DE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A=∠BED=90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=，AD=2，
∴AB=，
∵，
∴，
即，
∴AD=CE，
∵CE=BG，
∴BG=AD=2，
∵在Rt△ABG中，，
∴∠AGB=60°，，
∴EF=DG=AD-AG=1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD=60°，
∴，
在Rt△FED中，，
∴FG+DG+DF=，
∴△FGD的周长为；
②如图，过点C作CH⊥BF于H，
∵△BDG≌△CFE，
∴BD=CF，∠CFH=∠BDA，
∵∠BAD=∠CHF=90°，
∴△BAD≌△CHF(AAS)，
∴FH=AD，
∵AD=BG，
∴FH=BG，
∵∠BCF=90°，
∴∠BCH+∠HCF=90°，
∵∠BCH+∠HBC=90°，
∴∠HCF=∠HBC，
∵∠BHC=∠CHF=90°，
∴△BHC∽△CHF，
∴，
设GH=x，
∴BH=2-x，
∴CH2=2(2-x)，
在Rt△GHC中，CG2=GH2+CH2，
∴CG2=x2+2(2-x)=(x-1)2+3，
当x=1时，CG2的最小值为3，
∴CG的最小值为．
【知识点】三角形全等的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等弧所对的圆周角相等得到，然后根据直角三角形的两锐角互余解得；
（2）得到，即可得到，然后根据等角的补角相等得到，再根据ASA证明，根据对应边相等得到结论即可；
（3）①连接．求出AB的长，即可得到，进而得到哦啊，在中，求出EF的长，再在中，求出EG及DE，根据勾股定理求出DF解答；
②过点C作于H，即可得到，进而得到，推理得到哦啊，根据对应边成比例设，求出，根据勾股定理得到求得，利用二次函数的性质解答即可．
24．如图， AB为⊙O直径， C为圆O上一动点，且C在直径AB上方，连结AC， BC，点M为中点，连结BM，与AC相交于点 N．
（1）如图1，连结OM，求证： OM∥BC；
（2）如图2，连结 ON， AM，当ON⊥BM时，求tan∠BAC的值；
（3）如图3，作 MH⊥AB于 H， ∠BMK=∠BAC，与⊙O交于点K(点K在AB下方)， MK与AB交于点E．若 求： ①⊙O的直径； ②EK的长．
【答案】（1）证明：∵点M为中点，
∴，
∵为直径，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，连接交于点，
∵点M为中点，
∴，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①延长交于点，
∵点M为中点，
∴，
∵，且为直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，，
∴，
由①可得：，，
∵，
∴，
过点作于点，
设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论得到，再由直径所对的圆周角是直角得出，再根据平行线的判定证明即可；
（2）连接交于点，想得到，，进而可得为的中位线，根据中位线定理得到，再由垂径定理可得，再根据AAS得到，得到，根据勾股定理求出，得到，再根据正切的定义解答即可；
（3）①延长交于点，得到，，即可得到，跟模弧、弦、圆心角的关系得到，再根据勾股定理解答；
②设，先得到，根据对应边成比例求出AH和BH长，根据勾股定理可得AM和BM长，求出，过点作于点，设，求出，，，由勾股定理可得，连接，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可.
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D位于⊙O外一点，连接AD， BD， CD， BD交⊙O于点E，连接CE.已知AB=AC=AD.
（1）如图1，求证： ∠ACE=∠ADE.
（2）如图2，BD经过圆心O，
① 求cos∠BAC的值；
② 若AB =4，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：，
．
，
；
（2）解：①连接，，如图，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
∵，
，
为圆的直径，
，
．
，
；
②连接，，延长交于点，如图，
设的半径为，则，
由（2）①知：，
，
由（2）①知：，
，
，，
，
为的中位线，
，
，
，，
，
解得，
，
．
答：的半径为．
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】
（1）根据等边对等角得到∠ABD=∠ADB，然后根据圆周角定理的推论得到∠ABD=∠ACE，然后根据等量代换证明即可；
（2）①连接，，根据SSS得到△AOB≌△AOC，得到，进而得到，然后根据两角对应相等得到△OBA∽△ECD，再根据相似三角形的对应边成比例求出，再根据余弦的定义解答即可；
②连接，，的延长线交于点，设的半径，则，，根据三角形的中位线定理得到，再根据勾股定理求出r的值解答即可．
26．如图，在矩形ABCD中，以AB为直径的⊙O交 CD于点E， F，连结OE，过点O作OG⊥OE交 于点 G，过点G作GH⊥CD于点 H，连结GF， GC.
（1）求证： GH=FH；
（2）若FH=1， BC=2，求AB的长；
（3）若CG是⊙O的切线，求证：
【答案】（1）证明： ∵OG⊥OE，
∴∠EOG=90°，
∵GH⊥CD，
∴∠GHF=90°，
∴∠HGF=180°-∠GHF-∠H
∴GH=FH；
（2）解：延长GH交AB于M，过E作EN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB， ∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠BMH=90°，
∴四边形ENBC，四边形HMBC是矩形，
∴EN=HM=BC=2，
∵HG=FH=1，
∴GM=3，
∵∠ENO=∠EOG=∠GMO=90°，
∴∠OEN+∠EON=∠EON+∠GOM=90°，
∴∠OEN=∠GOM，
∵OE=OG，
∴△OEN≌△GOM(AAS)，
∴ON=GM=3，
（3）证明： ∵CG是⊙O的切线，
∴OG⊥CG，
∵OG⊥OE，
∴OE∥CG，
∴∠GCH=∠OEC，
∵CD∥AB，
∴∠OEC=∠EON，
∵∠ONE=∠CHG，
∴△OEN∽△CGH，
由(1)(2)知， EN=HM=BC， ON=GM=GN+HM， GH=FH，
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
(2)延长GH交AB于M，过E作 于N，根据矩形的性质得到求得∠ ，根据矩形的性质得到EN=HM=BC=2，得到HG=FH=1，求得GM=3，根据全等三角形的性质得到ON=GM=3，根据勾股定理即可得到结论；
(3)根据切线的性质得到根据平行线的性质得到 根据相似三角形的性质即可得到结论.
27． 如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接．
（1）求的度数；
（2）当是圆的直径，
①求证：四边形是平行四边形；
②若是的中点，，求的长．
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴是直径．
∵是圆的切线，
∴．
∵的平分线交于，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）①证明：连接，
∵，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

【知识点】平行四边形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据90°的直角三角形的性质得到是直径，根据切线的性质得到，即可求出∠BCE=45°，再利用等弧所对的圆周角相等证明即可；
（2）①连接，即可得到，进而得到，再根据内错角相等得到，推理得到，证明结论；
②延长相较于点H，根据等腰直角三角形的性质得到，，然后根据等角对等边得到，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
28．如图，在 中， D 是边AB上一点(不与点A， B 重合)， ⊙O经过点A， C， D.
（1）如图1，连结OC， OD， CD，若
① 求 的度数；
② 若又满足tanB=1，OD=2，求AB的长.
（2）如图2，过点 D 作 交⊙O于点E，连 结OE，若 求证：DE=AC.
【答案】（1）解： ① 解：因为∠DOC=150°， OD=OC，
所以∠ODC=15°，
因为∠DOC=150°，
所以∠A=75°，
因为CD=CA，
所以∠ADC=∠A=75°，
所以∠ADO=∠ADC-∠ODC=60°.
② 解：如图，延长CO交AB 于点 M，
因为∠OCD+∠ADC=15°+75°=90°，
所以CM⊥AB，
因为CD=CA，
所以AM=DM，
因为∠ADO=60°，
所以AM=DM=OD·cos60°=1， OM=OD·sin60°=
所以
因为tanB=1，
所以
所以
（2）证明：如图，连结CE， AO，
设∠AEO=α，
因为∠ACB=2∠AEO，
所以∠ACB=2α，
因为AO=OE，
所以∠AOE=180°-2α，
所以
因为 DE∥BC，
所以∠B=∠ADE=90°-α，
因为∠ACB=2α，
所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°-α，
所以∠B=∠BAC，
所以AC=BC，
因为∠DEC=∠BAC=90°-α，
所以∠DEC=∠ADE，
所以CE∥BA，
所以四边形BCED是平行四边形，
所以BC=DE，
所以AC=DE.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—含30°角直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ODC=15°，再根据圆周角定理求出∠A=75°，进而求出∠ADC的度数，利用角的和差解答即可；
②延长CO交AB 于点 M，先求出CM⊥AB，然后根据三线合一得到AM=DM，然后根据解直角三角形求出AM和OM的值，再根据正切的定义求出BM长，利用线段的和差解答即可；
（2）连结CE， AO，设∠AEO=α，即可得到∠ACB=2α，根据三角形的内角和定理和等边对等角求出∠AOE的度数，然后根据圆周角定理求出∠ADE的度数，进而得到∠B=∠BAC，可以得到AC=BC，再推理得到∠DEC=∠ADE，即可得到CE∥BA，进而证明四边形BCED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等证明解即可.
29．已知点C是以AB为直径的圆上一点，连结AC，在AB上截取AD＝AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，设AC＝kAB．
（1）如图1，若∠EAB＝25°时，求∠BAC度数；
（2）如图2，过点A作AF⊥CD，证明：2k；
（3）如图3，若k＜1，连结EB并延长，交AC的延长线于点F，设△BCF的面积为S1，设△AEF面积为S2，用含k的代数式表示S1：S2．
【答案】（1）解：如图1，
连接BE，作AF⊥CD于F，
∴∠AFC＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAF＝2∠DAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵，
∴∠C＝∠B，
∴∠CAF＝∠EAB＝25°，
∴∠BAC＝50°；
（2）证明：如图2，
连接BE，
∵∠AEB＝∠AFC＝90°，∠B＝∠C，
∴△AEB∽△AFC，
∴，∠BAE＝∠CAF，
∵AD＝AC，AF⊥CD，
∴∠C＝∠ADC，CFCD，∠CAD＝2∠CAF＝2∠BAE，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∴，
∴；
（3）解：如图3，
作AB的垂直平分线，交AE于H，
∴AH＝BH，
∴∠BAE＝∠ABH，
∴∠BHE＝∠BAE+∠ABH＝2∠BAE，
由（2）知：∠BAC＝2∠BAE，
∴∠BHE＝∠BAC，
∴cos∠BHE＝cos∠BAC，
∴，
不妨设AH＝BH＝1，EH＝k，BE，
∴AB，
∴，
在Rt△ABC中，
，
∴，
∵AB是直径，
∴∠CFB＝∠ACB＝∠AEB＝90°，
∵∠F＝∠F，
∴△FCB∽△FEA，
∴2﹣2k，
∴．
【知识点】圆周角定理；圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
30．如图，已知在△ABC中， ∠A=90°， AC=8， AB=6， E为CB边上一点，以EB为直径作圆，
（1）当圆与AC 相切时，求 EB的长；
（2）当圆与线段AC有交点时，记其一个交点为D，连接BD、DE，把 △DEC沿DE翻折得△DEN，证明： ∠ADB=∠NDB；
（3）在(2)的条件下，当N恰好落在圆上时，求BE 的长.
【答案】（1）解：在中，，
由勾股定理得：，
设的中点为，圆与的切点为，设圆的半径为，则、、，
圆与相切，
，
，
，
，
，
，
解得
；
（2）证明：是圆的直径，
，
，
，
由翻折的性质可知：，
，
，
；
（3）解：、，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得，
，
在中，，
在中，，
，
，
解得．
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出的长，设的中点为，圆与的切点为，设圆的半径为，然后根据切线的性质，利用两角对应相等得到，然后根据对应边成比例求出r的值，即可求解；
（2）根据圆周角定理的推论可得，进而可得，由翻折的性质得到，再根据等交的余角相等进而证明结论即可；
（3）根据圆周角定理的推论得到，根据等角对等边可得，设，在中根据勾股定理求出的值，然后根据余弦的额定义求出的长解答即可．
31．已知△DBC内接于圆O，作外角∠EDC的角平分线交圆O于点A，连结AB，AC.
（1）如图1，求证：△ABC为等腰三角形.
（2）如图2，若CD过圆心O，AB、CD交于点F，DB=5，DF=3，求BC.
（3）如图3，作直径AH交BC于点G，若BD∥AC，且求tan∠ADC。
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
由题意可得四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴∠DBC=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，连接，在上取点，使得，
∵，
∵，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∵为直径，由（2）可知，
∴，，
∴，
∵，
∴
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补和角平分线定义可得，再根据等角对等边得到结论即可；
（2）连接，先得到∠DBC=90°，然后根据弦、弧、圆心角的关系和垂径定理得到，即可推理得到，根据对应边成比例求得，即可得到，然后根据勾股定理解答即可；
（3）连接，在上取点，使得，根据平行线可得，即可得到，设，，然后推理得到，然后根据对应边成比例得到得到，然后根据BK=BD+DK求出，即可得到，然后根据勾股定理求得，然后根据正切的定义解答即可．
32．已知圆O的内接四边形ABCD，对角线 AC，BD 相交于点E.
（1）如图1，AC平分 求证：
（2）如图2，AC平分 AB为圆O的直径，若AD=3，AB=5，求 BC的值.
（3）如图3，点 F 在对角线BD 上，连结AF， 若 与的长度之和为 ，请用含 的代数式表示线段AC的长.
【答案】（1）证明：因为AC平分∠BAD，
所以∠CAD=∠BAC=∠BDC.
又因为∠DCE=∠ACD，
所以△ADC∽△DEC.
（2）解：如图，延长BC，AD相交于点 F.
因为AB是直径，
所以∠ADB=∠ACB=90°.
因为AC平分∠BAD，
所以∠F=∠ABF，
所以AB=AF=5，
所以DF=2.
在直角三角形ADB中，根据勾股定理可得DB=4.
在直角三角形BDF中，FB=2
（3）解：设圆O的半径为r.
因为∠BAF=∠CAD=∠CBD，
所以∠BAF+∠ABD=∠CBD+∠ABD，即∠AFE=∠ABC.
因为 tan∠AFE=k1，
所以
因为AC⊥BD.
所以∠ABD+∠BAC=90°，
所以AD与BCE的长度之和等于πr，所以r=k2.
过圆心O作AC 的垂线OG，连结 OA，
所以 sin∠ABC=
所以
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与四边形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1) 利用圆周角定理(同弧所对圆周角相等)和角平分线性质，找到两组对应角相等，用 “AA” 判定相似；
(2) 由直径得直角，结合角平分线证等腰，用勾股定理求BD，再用相似或面积法求BC；
(3) 由弧长和得圆心角和，结合垂直、等角条件，用三角函数设参数，结合弧长公式与相似，用k1 ，k2 表示AC。
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