资源简介

4月下旬之图形的相似—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点P、点Q分别是①号②号汽球的扎口，位似中心为点O，位似比是1：2，则P（-2，1）的对应点Q的坐标是（　　）
A．（-2，4） B．（4，-2） C．（-4，2） D．（2，-4）
2．已知：如图，D，E，F，G分别是△ABC边上的点，满足DE∥AB，FG∥AC，DE 交FG 于点M.若 其中 则四边形 AGME 面积的最小值为 (　　)
A． B． C． D．
3．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面的宽度为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A'的坐标分别为（-1，0）、（-2，0），△ABC的面积是6，则△A'B'C'的面积为（　　）
A．18 B．12 C．24 D．9
5．如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，则边BC的长等于（　　）
A．3 B．2 C． D．
6．如图，P是△ABC的重心，D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
7． 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，四边形的周长是1，则四边形的周长是（　　）
A．1 B．3 C．9 D．27
8．如图，在四边形ABCD中， 点 H，F分别在边 AD，BC上移动(不与端点重合)，连接FH，则下列为定值的是(　　)
A．∠EFG的大小 B．四边形EFGH的周长
C．线段FH的长 D．四边形EFGH的面积
二、填空题
9．如图，矩形ABCD， A'B'C'D'是以点O 为位似中心的位似图形，已知OA：OA'=5：2， AD=10，则B'C'的长是　 　.
10．直线A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D。设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且则m+n的最大值为　 　
11． 如图，在菱形ABCD 中， 点E在AD上， 连结BE， 作点A 关于直线BE对称点A'， 连结A'E 交BD 于点 F， 若点A' 恰为CD 的中点，则△BEF与△ABE 的面积比为　 　.
12．古书《墨子·天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为4的正方形ABCD对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若AB：A'B'=1：2，则A'， C两点之间的距离为　 　．
13． 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为　 　．
14．如图，在正方形ABCD中分割出四个全等三角形与两个正方形，延长AE交GH于点 F，若矩形GEHC的面积为a，△GFE 的面积与△HFE的面积乘积为b2，则阴影部分的面积之和用含a，b的代数式表示为　 　.
15．如图是笔直杠杆AB的示意图.已知AB=180cm，支点C离水平地面的高度为20cm.当杠杆的端点A落到地面时，端点B离地面的高度为30cm，则AC的长度为　 　cm.
16．如图，已知在△ABC中，AB=AC，AG是BC上的高线，点D是AG上的一点，BD交AC于点F.过点D作DE∥AB交AC于E，联结CD，若CF=2EF，△ABC的面积为2，则△ADF的面积为　 　.
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两个边长为1的正方形DEFG，GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，∠FGH=α（0°＜α＜90°），令=n，当α=60°时，n= 　 　 ；当n=时，S△ABC= 　 　 .
18．【阅读材料】过矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，会得到面积相等的两个矩形，如图（1），S矩形AEOM＝S矩形CFON．
【解决问题】如图（2），点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM．若CF＝4，EM＝3，DF＝2，则MF＝　 　 ．
三、解答题
19．小明在做数学练习时，遇到下面的题目：
如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AB=AC，∠DBA=∠A，BD=BC.若CD=2，△BDC的周长为14，求AB的长. 参考答案：AB=8
小明的计算结果与参考答案不同，因此他对参考答案产生了质疑.下面是他的分析、探究过程，请你补充完整：
第一步，读题，并顺次标记题目条件如下：在△ABC中，D为AC边上一点，①AB=AC；②∠DBA=∠A；③BD=BC；④CD=2；⑤△BDC的周长为14.
第二步，依据条件③、④、⑤可以求得BD=BC= ▲ ；
第三步，作出△BCD，如图2所示；
第四步，依据条件①，在图2中作出△ABC；（尺规作图，保留作图痕迹）
第五步，对所作图进行观察、测量，发现与标记的条件 ▲ 不符（填序号），去掉这个条件，题目中的其他部分保持不变，即可求得AB长.
请你写出去掉条件后求AB长的具体求解过程.
20．某学习小组同学学习了九年级上册《4.2由平行线截得的比例线段》，提出了另一种通过构造矩形来等分线段的方法：
①以AB为边构造矩形ABCD，连结AC、BD交点为O；
②过O作 于点E1，连结CE1交BD于点 P1；
③过P1作 于点E2，连结CE2交BD于点 P2；
④过P2作 于点 E3，连结CE3交BD于点 P3；……
则点E1、E2、E3即为线段AB的等分点；
（1）求证：
（2）已知AB=3BC，
①求∠ACE3的正弦值；
②按上述方法继续画图得到点 若 则n的值为 ▲ .
21．某科学小组进行了小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体AB⊥BC，幕布EC⊥BC，光线经小孔O成像，物体成像后的顶端与E重合，底端落在点 D处.
（1）求证： △DEO∽△ABO.
（2）已知EC=1.6m， DC=1cm， AO=2DO，求物体AB 的高度(即线段AB 的长).
22．已知点C是以AB为直径的圆上一点，连结AC，在AB上截取AD＝AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，设AC＝kAB．
（1）如图1，若∠EAB＝25°时，求∠BAC度数；
（2）如图2，过点A作AF⊥CD，证明：2k；
（3）如图3，若k＜1，连结EB并延长，交AC的延长线于点F，设△BCF的面积为S1，设△AEF面积为S2，用含k的代数式表示S1：S2．
23．【问题情境】如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上运动，当点B回到O点时运动也随之停止．
（1）【问题提出】如图2．
当时，点A的坐标为；
（2）在运动过程中，取的中点Q，连接、，求和的长并直接写出的最大值；
（3）【问题探究】
如图3，点P为线段上一点，．
①在运动过程中，的大小是否会发生改变，如果不变，请求出这个角的正切值，如果改变，请说明理由；
②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程．
24．
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E.
①若求BC的长；
②试探究是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为求cos∠CBD的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵两个汽球恰好是位似图形，位似中心为点O，位似比是1：2，点P的坐标为(-2，1)，则点P的对应点Q的坐标为(-2×2，1×2)，即(-4，2)
故选：C.
【分析】根据位似变换的性质解答即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：
，即


，即
当时，随着a的增大而增大
当时有最小值，最小值
故答案为： B.
【分析】先由三角形相似的预备定理可得，再由面积比等于相似比的平方可得DF与BF的比值，同理可得DF与DC的比值，即DC与BC的比值可得，再由三角形相似的预备可得，再结合已知可得，再利用割补法可得是关于a的二次函数，且二次项系数为正，则在对称轴的右侧随着a的增大而增大，再利用二次函数图象上点的坐标特征结合已知a的取值范围求出的最小值即可.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-6=9(cm)
第二个高脚杯盛液体的高度为：9-6=3(cm)，
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
∴图1和图2中的两个三角形相似，
∴
解得：AB=2，
故答案为：B.
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、，
∴且相似比为，
∴的面积的面积，
∵的面积是6，
∴的面积为24，
故答案为：C.
【分析】根据位似可得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
5．【答案】C
【知识点】旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵将绕点旋转得到，
∴，
∴，，
∵点在边上，，
∴，
∵点在线段的延长线上 ，
∴ ，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据旋转可得得，继而可得，，然后推理得到，即可得到，根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
6．【答案】B
【知识点】三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接．
点是的重心，点是边的中点，
在上，，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为4，
，
，
的面积为6，
的面积是12．
故答案为：B.
【分析】连接，根据三角形重心的定义可得在上，即可根据高相等的两三角形的面积比等于对应底的比得到，然后根据平行线得到和，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，．
∴．
∴．
∴四边形的周长∶四边形的周长．
∵四边形的周长为1，
∴四边形的周长为3．
故选：B．
【分析】根据位似图形可得四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，，即可得到，然后根据相似多边形的周长比等于相似比解答即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，
∵，
∴，
∴四边形的面积．
∴四边形的面积为定值.
故答案为：D .
【分析】设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，即可得到，然后利用四边形的面积解答.
9．【答案】4
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据位似的性质即可得到，进而可得，根据对应边成比例解答即可．
10．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，
设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，
∵BD=4，
∴DM=y-4，DN=4-x，
∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
∴△ABE∽△BFC
∴，即
∴xy=mn，
∵∠ADN=∠CDM，
∴△CMD~△AND
∴，即
∴
∵
∴
∴
∴当m最大时，
∵
∴当时，
∴
∴m+n的最大值为
故答案为：.
【分析】过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，得到DM=y-4，DN=4-x，根据相似三角形的性质得到xy=mn，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可解答.
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长E'A交BC延长线于点G，取BD中点O，连接A'O，连接A'B，
设菱形的边长为4，DE=x，
则由菱形可得
，
∵点A为DC的中点，
∴△EDA'≌△GCA'(AAS).
∴DE=CG=x， A'E=A'G，
由对称可知，
∴GE=GB，
∴8-2x=4+x，
解得
∵点A为DC的中点，点O为DB中点，
∴A'O∥BC，
∴A'O∥DE，
∴△DEF∽△OA'F，
故答案为：
【分析】延长EA'交BC延长线于点G，取BD中点O，连接A'O， 连接A'B， 先证明 则DE=CG=x，A'E=A'G， 然后证明GE=GB，则8-2x=4+x， 求出 可得A'O为 中位线，则可证明 则 再将共高三角形面积比化为底之比求解即可.
12．【答案】
【知识点】相似多边形；位似变换；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接B'D'，
∵四边形.A'B'C'D'是正方形，
是圆O的直径，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴正方形ABCD的边长为2，
∵正方形ABCD的与A'B'C'D'是位似图形，AB：A'B'=1：2，
∴A'C=3，
故答案为： .
【分析】连接B'D'， 根据正方形的性质得到 得到B'D'是圆O的直径，根据相似比的概念求出B'C'=C'D'=4， 根据勾股定理计算，得到答案.
13．【答案】80
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点B作交的延长线于N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴另一端B离地面的高度为．
故答案为：80．
【分析】过点B作交的延长线于N，即可得到，进而可得，根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵在正方形中分割出四个全等三角形与两个正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积与的面积乘积为，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵矩形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴阴影部分的面积之和为：．
故答案为： .
【分析】根据正方形的性质，利用两角对应相等得到，根据对应边成比例得到，根据题意求出，然后根据矩形的面积为求出，再利用勾股定理解答即可．
15．【答案】120
【知识点】相似三角形的实际应用
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，是边上的高线，的面积为，
平分，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，即
整理得，
，，
，
，，
如图，过点作交于点，
是的中点，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形三线合一和平行线的性质可得，即可得到，设，则，根据平行线的性质得到，然后根据对应边成比例求出的长，即可求得，的长，过点作交于点， 根据平行线分线段成比例求出的值，然后根据三角形的面积公式解答即可．
17．【答案】；
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，
当时，即时，
∵两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，
∴，，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
即；
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
设，则
∵
∴，
∵
∴
∴，
∴，
解得，
在中，
即，
解得（不合题意的解已经舍去）
∴，，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：，.
【分析】过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，求出，然后根据AAS得到，根据对应边成比例设，利用两角对应相等得到，即可求出，在中根据勾股定理求出，进而得到，，，根据线段的和差求出AC长，在推理得到，根据对应边成比例解答即可．
18．【答案】6
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
19．【答案】解：6； ②
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：第二步，∵，，周长为，
∴，
第四步，作线段的垂直平分线交的延长线于，连接，即为所求；
第五步，通过测量发现，所以②不符合；
故答案为：6；②；
【分析】第二步、根据三角形周长得到，解答即可；
第四步、作线段的垂直平分线交的延长线于，连接，即为所求；
第五步、先得到两角对应相等，即可得到，根据对应边成比例解答即可.
20．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD为矩形， 0°，
同理可证，
（2）解：
解：
类比(1)同理可证
设BC=x，则AB=3x，
记 到AC的距离为h，则
即
解得
② n=8
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（2）②类比(1)同理证得
∵四边形ABCD为矩形， AB=3BC，
解得n=8.
故答案为：8.
【分析】(1)利用矩形性质证明 利用相似三角形性质推出 ，再证明 最后利用相似三角形性质分析求解，即可解题；
(2)①先证明 推出 ，类比(1)同理证得 设BC=x，则AB=3x，结合勾股定理推出 AC， 记 到AC的距离为h，利用等面积法求出h，再根据正弦定义求解，即可解题；
②类比(1)同理证得 利用矩形性质推出CD=AB=3BC，根据 得到 再整理求解，即可解题.
21．【答案】（1）证明：因为物体AB⊥BC，幕布EC⊥BC，
所以AB∥EC，
所以∠EDO=∠BAO， ∠DEO=∠ABO，
所以△DEO∽△ABO.
（2）解：因为△DEO∽△ABO，
所以
因为AO=2DO，
所以AB=2DE，
因为BC=1.6m， DC=1m，所以 DE=0.6m，
所以AB=1.2m.
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据提议得到AB∥EC，即可得到∠EDO=∠BAO， ∠DEO=∠ABO，即可得到两三角形相似；
（2）根据相似三角形的对应边成比例求出AB=2DE，据此解答即可.
22．【答案】（1）解：如图1，
连接BE，作AF⊥CD于F，
∴∠AFC＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAF＝2∠DAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵，
∴∠C＝∠B，
∴∠CAF＝∠EAB＝25°，
∴∠BAC＝50°；
（2）证明：如图2，
连接BE，
∵∠AEB＝∠AFC＝90°，∠B＝∠C，
∴△AEB∽△AFC，
∴，∠BAE＝∠CAF，
∵AD＝AC，AF⊥CD，
∴∠C＝∠ADC，CFCD，∠CAD＝2∠CAF＝2∠BAE，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∴，
∴；
（3）解：如图3，
作AB的垂直平分线，交AE于H，
∴AH＝BH，
∴∠BAE＝∠ABH，
∴∠BHE＝∠BAE+∠ABH＝2∠BAE，
由（2）知：∠BAC＝2∠BAE，
∴∠BHE＝∠BAC，
∴cos∠BHE＝cos∠BAC，
∴，
不妨设AH＝BH＝1，EH＝k，BE，
∴AB，
∴，
在Rt△ABC中，
，
∴，
∵AB是直径，
∴∠CFB＝∠ACB＝∠AEB＝90°，
∵∠F＝∠F，
∴△FCB∽△FEA，
∴2﹣2k，
∴．
【知识点】圆周角定理；圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
23．【答案】（1）解：如图，作AE⊥OB于点E，
∵BC=5，OC=3，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°
∴∠ABE+∠OBC=90°
∵∠OBC+∠OCB=90°
∴∠ABE=∠OCB，
∵∠AEB=∠BOC=90°
∴△AEB∽△BOC，
∵AB=2
∴
∴
解得，
∴
∴点A的坐标为
（2）解：
（3）解：①大小不变，理由如下：
∵AP=1，AD=5，
∴PD=4
如图，连接PB，PC，
∵，
∴
∵∠A=∠D=90°
∴△BAP∽△PDC
∴∠ABP=∠CPD
∴
∴∠ABP+∠APB=90°
∴∠CPD+∠APB=90°
∴∠BPC=90°，∠BOC+∠BPC=180°，
∴B，O，C，P四点共圆
∴∠POC=∠PBC，
∴
即在运动过程中，∠POC的大小不变，且tan∠POC=2
②
【知识点】勾股定理；坐标系中的两点距离公式；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(2)如图，
∵Q为BC的中点，
∴
∴
当O，Q，A三点共线时，OA的值最大，此时
故答案为：.
(3)②记点P运动起点为P1，运动终点为P2，如图所示，
由①知∠POC的大小不变，且tan∠POC=2
∴P在直线y=2x上运动，
由①知，
当PB⊥y轴时，点P坐标为，
由题知P1的坐标为(2，4)，P2的坐标为(1，2)，运动变化过程为点P到y轴的距离从2(即P1所在位置)到最大为(即PB⊥y轴)，再回到距离2为直线到P2所在位置，
∴
∴，
∴点P所走过的路程为
故答案为：.
【分析】(1)作AE⊥OB于点E，利用勾股定理算出OB，利用矩形的性质证明△AEB∽△BOC，根据相似三角形性质得到AE，EB，进而得到OE，即可解题；
(2)利用直角三角形性质即可得到OQ，利用勾股定理即可算出AQ，根据题意可知当O，Q，A三点共线时，OA的值最大，利用线段和差求出OA的最大值即可；
(3)①根据，，可证△BAP∽△PDC，进而有∠ABP=∠CPD，，从而可得点B，O，C，P四点共PBAP圆，都在以BC为直径的圆上，∠POC=∠PBC，进而证得tan∠POC为定值；
②根据①的结论可知，点在直线y=2x上运动，运动变化过程为点P到y轴的距离从2(即P1所在位置)到最大为(即PB⊥y轴)，再回到距离2为直线到P2所在位置，利用两点距离公式可求出路径的长度，进而求解.
24．【答案】（1）解：①∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
②∵，
∴．
由①可得，
∴．
∴．
∴是定值，定值为1．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
设，则．
∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
如图，过点D作于H．
∵，
∴．
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；求余弦值；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
②根据平行线可得，由①可得，然后求差解答即可；
（2）根据平行线可得、进而得到，又，即可求出，设，则．推理得到，即可得到，过点D作于H．求得，利用余弦的定义解答即可．
1 / 14月下旬之图形的相似—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点P、点Q分别是①号②号汽球的扎口，位似中心为点O，位似比是1：2，则P（-2，1）的对应点Q的坐标是（　　）
A．（-2，4） B．（4，-2） C．（-4，2） D．（2，-4）
【答案】C
【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵两个汽球恰好是位似图形，位似中心为点O，位似比是1：2，点P的坐标为(-2，1)，则点P的对应点Q的坐标为(-2×2，1×2)，即(-4，2)
故选：C.
【分析】根据位似变换的性质解答即可.
2．已知：如图，D，E，F，G分别是△ABC边上的点，满足DE∥AB，FG∥AC，DE 交FG 于点M.若 其中 则四边形 AGME 面积的最小值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：
，即


，即
当时，随着a的增大而增大
当时有最小值，最小值
故答案为： B.
【分析】先由三角形相似的预备定理可得，再由面积比等于相似比的平方可得DF与BF的比值，同理可得DF与DC的比值，即DC与BC的比值可得，再由三角形相似的预备可得，再结合已知可得，再利用割补法可得是关于a的二次函数，且二次项系数为正，则在对称轴的右侧随着a的增大而增大，再利用二次函数图象上点的坐标特征结合已知a的取值范围求出的最小值即可.
3．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面的宽度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-6=9(cm)
第二个高脚杯盛液体的高度为：9-6=3(cm)，
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
∴图1和图2中的两个三角形相似，
∴
解得：AB=2，
故答案为：B.
【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB.
4．如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A'的坐标分别为（-1，0）、（-2，0），△ABC的面积是6，则△A'B'C'的面积为（　　）
A．18 B．12 C．24 D．9
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、，
∴且相似比为，
∴的面积的面积，
∵的面积是6，
∴的面积为24，
故答案为：C.
【分析】根据位似可得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
5．如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，则边BC的长等于（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵将绕点旋转得到，
∴，
∴，，
∵点在边上，，
∴，
∵点在线段的延长线上 ，
∴ ，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据旋转可得得，继而可得，，然后推理得到，即可得到，根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
6．如图，P是△ABC的重心，D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【知识点】三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接．
点是的重心，点是边的中点，
在上，，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为4，
，
，
的面积为6，
的面积是12．
故答案为：B.
【分析】连接，根据三角形重心的定义可得在上，即可根据高相等的两三角形的面积比等于对应底的比得到，然后根据平行线得到和，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
7． 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，四边形的周长是1，则四边形的周长是（　　）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，．
∴．
∴．
∴四边形的周长∶四边形的周长．
∵四边形的周长为1，
∴四边形的周长为3．
故选：B．
【分析】根据位似图形可得四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，，即可得到，然后根据相似多边形的周长比等于相似比解答即可．
8．如图，在四边形ABCD中， 点 H，F分别在边 AD，BC上移动(不与端点重合)，连接FH，则下列为定值的是(　　)
A．∠EFG的大小 B．四边形EFGH的周长
C．线段FH的长 D．四边形EFGH的面积
【答案】D
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，
∵，
∴，
∴四边形的面积．
∴四边形的面积为定值.
故答案为：D .
【分析】设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，即可得到，然后利用四边形的面积解答.
二、填空题
9．如图，矩形ABCD， A'B'C'D'是以点O 为位似中心的位似图形，已知OA：OA'=5：2， AD=10，则B'C'的长是　 　.
【答案】4
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：4.
【分析】根据位似的性质即可得到，进而可得，根据对应边成比例解答即可．
10．直线A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D。设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且则m+n的最大值为　 　
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，
设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，
∵BD=4，
∴DM=y-4，DN=4-x，
∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
∴△ABE∽△BFC
∴，即
∴xy=mn，
∵∠ADN=∠CDM，
∴△CMD~△AND
∴，即
∴
∵
∴
∴
∴当m最大时，
∵
∴当时，
∴
∴m+n的最大值为
故答案为：.
【分析】过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，得到DM=y-4，DN=4-x，根据相似三角形的性质得到xy=mn，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可解答.
11． 如图，在菱形ABCD 中， 点E在AD上， 连结BE， 作点A 关于直线BE对称点A'， 连结A'E 交BD 于点 F， 若点A' 恰为CD 的中点，则△BEF与△ABE 的面积比为　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长E'A交BC延长线于点G，取BD中点O，连接A'O，连接A'B，
设菱形的边长为4，DE=x，
则由菱形可得
，
∵点A为DC的中点，
∴△EDA'≌△GCA'(AAS).
∴DE=CG=x， A'E=A'G，
由对称可知，
∴GE=GB，
∴8-2x=4+x，
解得
∵点A为DC的中点，点O为DB中点，
∴A'O∥BC，
∴A'O∥DE，
∴△DEF∽△OA'F，
故答案为：
【分析】延长EA'交BC延长线于点G，取BD中点O，连接A'O， 连接A'B， 先证明 则DE=CG=x，A'E=A'G， 然后证明GE=GB，则8-2x=4+x， 求出 可得A'O为 中位线，则可证明 则 再将共高三角形面积比化为底之比求解即可.
12．古书《墨子·天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，以面积为4的正方形ABCD对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若AB：A'B'=1：2，则A'， C两点之间的距离为　 　．
【答案】
【知识点】相似多边形；位似变换；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接B'D'，
∵四边形.A'B'C'D'是正方形，
是圆O的直径，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴正方形ABCD的边长为2，
∵正方形ABCD的与A'B'C'D'是位似图形，AB：A'B'=1：2，
∴A'C=3，
故答案为： .
【分析】连接B'D'， 根据正方形的性质得到 得到B'D'是圆O的直径，根据相似比的概念求出B'C'=C'D'=4， 根据勾股定理计算，得到答案.
13． 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为　 　．
【答案】80
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点B作交的延长线于N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴另一端B离地面的高度为．
故答案为：80．
【分析】过点B作交的延长线于N，即可得到，进而可得，根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
14．如图，在正方形ABCD中分割出四个全等三角形与两个正方形，延长AE交GH于点 F，若矩形GEHC的面积为a，△GFE 的面积与△HFE的面积乘积为b2，则阴影部分的面积之和用含a，b的代数式表示为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵在正方形中分割出四个全等三角形与两个正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积与的面积乘积为，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵矩形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴阴影部分的面积之和为：．
故答案为： .
【分析】根据正方形的性质，利用两角对应相等得到，根据对应边成比例得到，根据题意求出，然后根据矩形的面积为求出，再利用勾股定理解答即可．
15．如图是笔直杠杆AB的示意图.已知AB=180cm，支点C离水平地面的高度为20cm.当杠杆的端点A落到地面时，端点B离地面的高度为30cm，则AC的长度为　 　cm.
【答案】120
【知识点】相似三角形的实际应用
16．如图，已知在△ABC中，AB=AC，AG是BC上的高线，点D是AG上的一点，BD交AC于点F.过点D作DE∥AB交AC于E，联结CD，若CF=2EF，△ABC的面积为2，则△ADF的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，是边上的高线，的面积为，
平分，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，即
整理得，
，，
，
，，
如图，过点作交于点，
是的中点，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形三线合一和平行线的性质可得，即可得到，设，则，根据平行线的性质得到，然后根据对应边成比例求出的长，即可求得，的长，过点作交于点， 根据平行线分线段成比例求出的值，然后根据三角形的面积公式解答即可．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两个边长为1的正方形DEFG，GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，∠FGH=α（0°＜α＜90°），令=n，当α=60°时，n= 　 　 ；当n=时，S△ABC= 　 　 .
【答案】；
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，
当时，即时，
∵两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，
∴，，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
即；
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
设，则
∵
∴，
∵
∴
∴，
∴，
解得，
在中，
即，
解得（不合题意的解已经舍去）
∴，，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：，.
【分析】过点J作于点K，过点G作于点L，过点J作于点M，求出，然后根据AAS得到，根据对应边成比例设，利用两角对应相等得到，即可求出，在中根据勾股定理求出，进而得到，，，根据线段的和差求出AC长，在推理得到，根据对应边成比例解答即可．
18．【阅读材料】过矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，会得到面积相等的两个矩形，如图（1），S矩形AEOM＝S矩形CFON．
【解决问题】如图（2），点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM．若CF＝4，EM＝3，DF＝2，则MF＝　 　 ．
【答案】6
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
三、解答题
19．小明在做数学练习时，遇到下面的题目：
如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AB=AC，∠DBA=∠A，BD=BC.若CD=2，△BDC的周长为14，求AB的长. 参考答案：AB=8
小明的计算结果与参考答案不同，因此他对参考答案产生了质疑.下面是他的分析、探究过程，请你补充完整：
第一步，读题，并顺次标记题目条件如下：在△ABC中，D为AC边上一点，①AB=AC；②∠DBA=∠A；③BD=BC；④CD=2；⑤△BDC的周长为14.
第二步，依据条件③、④、⑤可以求得BD=BC= ▲ ；
第三步，作出△BCD，如图2所示；
第四步，依据条件①，在图2中作出△ABC；（尺规作图，保留作图痕迹）
第五步，对所作图进行观察、测量，发现与标记的条件 ▲ 不符（填序号），去掉这个条件，题目中的其他部分保持不变，即可求得AB长.
请你写出去掉条件后求AB长的具体求解过程.
【答案】解：6； ②
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：第二步，∵，，周长为，
∴，
第四步，作线段的垂直平分线交的延长线于，连接，即为所求；
第五步，通过测量发现，所以②不符合；
故答案为：6；②；
【分析】第二步、根据三角形周长得到，解答即可；
第四步、作线段的垂直平分线交的延长线于，连接，即为所求；
第五步、先得到两角对应相等，即可得到，根据对应边成比例解答即可.
20．某学习小组同学学习了九年级上册《4.2由平行线截得的比例线段》，提出了另一种通过构造矩形来等分线段的方法：
①以AB为边构造矩形ABCD，连结AC、BD交点为O；
②过O作 于点E1，连结CE1交BD于点 P1；
③过P1作 于点E2，连结CE2交BD于点 P2；
④过P2作 于点 E3，连结CE3交BD于点 P3；……
则点E1、E2、E3即为线段AB的等分点；
（1）求证：
（2）已知AB=3BC，
①求∠ACE3的正弦值；
②按上述方法继续画图得到点 若 则n的值为 ▲ .
【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD为矩形， 0°，
同理可证，
（2）解：
解：
类比(1)同理可证
设BC=x，则AB=3x，
记 到AC的距离为h，则
即
解得
② n=8
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（2）②类比(1)同理证得
∵四边形ABCD为矩形， AB=3BC，
解得n=8.
故答案为：8.
【分析】(1)利用矩形性质证明 利用相似三角形性质推出 ，再证明 最后利用相似三角形性质分析求解，即可解题；
(2)①先证明 推出 ，类比(1)同理证得 设BC=x，则AB=3x，结合勾股定理推出 AC， 记 到AC的距离为h，利用等面积法求出h，再根据正弦定义求解，即可解题；
②类比(1)同理证得 利用矩形性质推出CD=AB=3BC，根据 得到 再整理求解，即可解题.
21．某科学小组进行了小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体AB⊥BC，幕布EC⊥BC，光线经小孔O成像，物体成像后的顶端与E重合，底端落在点 D处.
（1）求证： △DEO∽△ABO.
（2）已知EC=1.6m， DC=1cm， AO=2DO，求物体AB 的高度(即线段AB 的长).
【答案】（1）证明：因为物体AB⊥BC，幕布EC⊥BC，
所以AB∥EC，
所以∠EDO=∠BAO， ∠DEO=∠ABO，
所以△DEO∽△ABO.
（2）解：因为△DEO∽△ABO，
所以
因为AO=2DO，
所以AB=2DE，
因为BC=1.6m， DC=1m，所以 DE=0.6m，
所以AB=1.2m.
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据提议得到AB∥EC，即可得到∠EDO=∠BAO， ∠DEO=∠ABO，即可得到两三角形相似；
（2）根据相似三角形的对应边成比例求出AB=2DE，据此解答即可.
22．已知点C是以AB为直径的圆上一点，连结AC，在AB上截取AD＝AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，设AC＝kAB．
（1）如图1，若∠EAB＝25°时，求∠BAC度数；
（2）如图2，过点A作AF⊥CD，证明：2k；
（3）如图3，若k＜1，连结EB并延长，交AC的延长线于点F，设△BCF的面积为S1，设△AEF面积为S2，用含k的代数式表示S1：S2．
【答案】（1）解：如图1，
连接BE，作AF⊥CD于F，
∴∠AFC＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAF＝2∠DAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵，
∴∠C＝∠B，
∴∠CAF＝∠EAB＝25°，
∴∠BAC＝50°；
（2）证明：如图2，
连接BE，
∵∠AEB＝∠AFC＝90°，∠B＝∠C，
∴△AEB∽△AFC，
∴，∠BAE＝∠CAF，
∵AD＝AC，AF⊥CD，
∴∠C＝∠ADC，CFCD，∠CAD＝2∠CAF＝2∠BAE，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∴，
∴；
（3）解：如图3，
作AB的垂直平分线，交AE于H，
∴AH＝BH，
∴∠BAE＝∠ABH，
∴∠BHE＝∠BAE+∠ABH＝2∠BAE，
由（2）知：∠BAC＝2∠BAE，
∴∠BHE＝∠BAC，
∴cos∠BHE＝cos∠BAC，
∴，
不妨设AH＝BH＝1，EH＝k，BE，
∴AB，
∴，
在Rt△ABC中，
，
∴，
∵AB是直径，
∴∠CFB＝∠ACB＝∠AEB＝90°，
∵∠F＝∠F，
∴△FCB∽△FEA，
∴2﹣2k，
∴．
【知识点】圆周角定理；圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
23．【问题情境】如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上运动，当点B回到O点时运动也随之停止．
（1）【问题提出】如图2．
当时，点A的坐标为；
（2）在运动过程中，取的中点Q，连接、，求和的长并直接写出的最大值；
（3）【问题探究】
如图3，点P为线段上一点，．
①在运动过程中，的大小是否会发生改变，如果不变，请求出这个角的正切值，如果改变，请说明理由；
②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程．
【答案】（1）解：如图，作AE⊥OB于点E，
∵BC=5，OC=3，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°
∴∠ABE+∠OBC=90°
∵∠OBC+∠OCB=90°
∴∠ABE=∠OCB，
∵∠AEB=∠BOC=90°
∴△AEB∽△BOC，
∵AB=2
∴
∴
解得，
∴
∴点A的坐标为
（2）解：
（3）解：①大小不变，理由如下：
∵AP=1，AD=5，
∴PD=4
如图，连接PB，PC，
∵，
∴
∵∠A=∠D=90°
∴△BAP∽△PDC
∴∠ABP=∠CPD
∴
∴∠ABP+∠APB=90°
∴∠CPD+∠APB=90°
∴∠BPC=90°，∠BOC+∠BPC=180°，
∴B，O，C，P四点共圆
∴∠POC=∠PBC，
∴
即在运动过程中，∠POC的大小不变，且tan∠POC=2
②
【知识点】勾股定理；坐标系中的两点距离公式；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(2)如图，
∵Q为BC的中点，
∴
∴
当O，Q，A三点共线时，OA的值最大，此时
故答案为：.
(3)②记点P运动起点为P1，运动终点为P2，如图所示，
由①知∠POC的大小不变，且tan∠POC=2
∴P在直线y=2x上运动，
由①知，
当PB⊥y轴时，点P坐标为，
由题知P1的坐标为(2，4)，P2的坐标为(1，2)，运动变化过程为点P到y轴的距离从2(即P1所在位置)到最大为(即PB⊥y轴)，再回到距离2为直线到P2所在位置，
∴
∴，
∴点P所走过的路程为
故答案为：.
【分析】(1)作AE⊥OB于点E，利用勾股定理算出OB，利用矩形的性质证明△AEB∽△BOC，根据相似三角形性质得到AE，EB，进而得到OE，即可解题；
(2)利用直角三角形性质即可得到OQ，利用勾股定理即可算出AQ，根据题意可知当O，Q，A三点共线时，OA的值最大，利用线段和差求出OA的最大值即可；
(3)①根据，，可证△BAP∽△PDC，进而有∠ABP=∠CPD，，从而可得点B，O，C，P四点共PBAP圆，都在以BC为直径的圆上，∠POC=∠PBC，进而证得tan∠POC为定值；
②根据①的结论可知，点在直线y=2x上运动，运动变化过程为点P到y轴的距离从2(即P1所在位置)到最大为(即PB⊥y轴)，再回到距离2为直线到P2所在位置，利用两点距离公式可求出路径的长度，进而求解.
24．
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E.
①若求BC的长；
②试探究是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为求cos∠CBD的值.
【答案】（1）解：①∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
②∵，
∴．
由①可得，
∴．
∴．
∴是定值，定值为1．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
设，则．
∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
如图，过点D作于H．
∵，
∴．
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；求余弦值；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
②根据平行线可得，由①可得，然后求差解答即可；
（2）根据平行线可得、进而得到，又，即可求出，设，则．推理得到，即可得到，过点D作于H．求得，利用余弦的定义解答即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑