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4月下旬之数与式—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．使 有意义的x的取值范围在数轴上表示为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：C .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得，求出x的取值范围，在数轴上表示解答即可．
2．下列各式：①a2 a3＝a5；②（﹣3ab3）2＝9a2b6；③；④1；⑤x2+2x2＝3x2，其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
3．DeepSeek-V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（　　）
A．6.71×1012 B．6.71×1011 C．67.1×1010 D．671×109
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：6710亿=671000000000=6.71×1011.
故选：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4． 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种有1个碳原子和4个氢原子，第2种有2个碳原子和6个氢原子，第3种有3个碳原子和8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1种有4个氢原子，，
第2种有6个氢原子，，
第3种有8个氢原子，，
……
以此类推，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是．
故答案为：B.
【分析】观察可得规律：氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可．
5．双江湖新区位于浙江省义乌市西南部，是义乌市重点建设的未来城市新区.2026年多项重大工程取得突破性进展或进入新阶段，年度计划完成投资超过65亿元，将数65亿用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 亿．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
6．我们知道”若则“，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（　　）
A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价
B．配制一种盐水，盐和水的质量比是1：8，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变
C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间
D．一个长方形的长和宽的比是3：2，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变
【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：题中给出性质：若，则，即两个比值相等时，前项和与后项和的比值仍等于原比值，据此分析各选项：
选项A是计算单价，通过总价除以数量得到结果，没有用到上述性质，不符合题意；
选项B中，设原盐水中盐质量为，水质量为，得，新加入盐，水，得，满足，根据性质得，盐和水的比不变，因此浓度不变，完全符合题中知识，符合题意；
选项C是根据速度不变列比例求时间，没有用到上述合比性质，不符合题意；
选项D中，原长宽比，增加的长和宽的比是，不满足的前提，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】结合各选项的实际场景，判断符合题中给出的性质的解答即可．
7．我们把M={1，3，x}叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）.已知集合A={0，|x|，y}，集合，若A=B，则x+y的值是（　　）
A．4 B．2 C．0 D．-2
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵集合，由集合互异性得，，
∴，，
又∵，集合，且，
∴
∴，即
∵，此时，，
由集合互异性得，故，，
又∵与元素对应相等，得，
∴，
∵，两边同除以得，
∴，
∴，即D选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据集合的定义，由得到、的关系求出、的值，然后代入计算的值即可．
8． 设 ，，，，，则 的值为（　　）
A．. B．. C．. D．.
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
，
，
∴，
．
故答案为：.
【分析】计算，，，得出一般规律，然后计算解答即可．
9．如图，矩形ABCD的周长为16，在它的每条边上各画一个以该边为边的正方形.若四个正方形的面积和是68m2，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．13 B．15 C．26 D．30
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设，，
由题意得，，，
，，
，
，
则长方形的面积是15平方米．
故答案为：B.
【分析】设，，根据题意可得，，然后根据完全平方公式的变形得到，然后整体代入解答即可．
10． 2026年1月，浙江省统计局公布2025年全省11个地市GDP 与增速，如右图所示。如果以2025年GDP 的增速预测舟山2026年全年GDP 增量，并且以元为单位表示这个数据，那么这个数据用科学记数法可以表示约为（　　)。
A．1. 55×10 B．
C．2. 5×10 D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，亿，
则
即这个数据用科学记数法可以表示约为．
故答案为：A.
【分析】先运算乘法，然后根据科学记数法记数，写为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为所有整数位的个数减1解答即可．
二、填空题
11．小于 的最大整数是　 　.
【答案】-2
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵ =-1.5，
∴ 小于 的最大整数是-2，
故答案为：-2 .
【分析】先计算的值，然后根据有理数的比较大小解答即可.
12．已知a，b为有理数，如果规定一种新运算：　 　 ．
【答案】﹣16
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
13．定义：a是不为1的有理数，我们把 称为a的衍生数.如：2的衍生数是 的衍生数是 已知 是a1的衍生数，a3是a2的衍生数，a4是a3的衍生数，…，依此类推，则a2026=　 　.
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：根据衍生数定义可得，
，
，
，
…，
显然每3个数循环一次，
又因为，故和的值相等，即．
故答案为：.
【分析】根据衍生数的定义求出、、、…，即可得到每3个数为一个循环组依次循环，用2026除以3，根据余数解答即可．
14．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）”展开式的系数规律.
当代数式的值为81时，则x的值为　 　.
【答案】5或-1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题意，得
即x-2=3或x-2=-3，
解得x=5或-1.
故答案为：5或-1.
【分析】根据题意得到(x-2)4=81，解方程求出x的值即可.
三、解答题
15．观察连续两个正整数的立方差：
①
②
③
（1）写出第n个等式（n为正整数），并给出证明.
（2）问2025能否写成这样的两个连续正整数的立方差 如果能，请写出这两个正整数；如果不能，请说明理由.
【答案】（1）解：
左边
右边
∵左边=右边
∴等式成立
（2）解：设两个连续的正整数分别为n和n+1
由可知，若其中一个数为正整数，则另一个数也为整数，此时n1·n2也为整数，这与相矛盾，
∴2025不能写成两个连续正整数的立方差。
也可：其中24297不是完全平方数，
∴2025不能写成两个连续正整数的立方差。
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【分析】(1)仿照示例，写出第n个等式，对等式的左右两边分别化简，可得到结果；
(2)根据示例，设3n2+3n+1=2025，利用求根公式判断方程的整数根，得到结果.
16．如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米．
（1）草坪的周长为　 　米(含a的代数式表示)；
（2） 当a=2.3 米时， 求草坪的周长.
【答案】（1）(54-8a)
（2）解：当a=2.3时， 54-2a=54-8×2.3=35.6(米)
答：草坪的周长为35.6米
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解： (1)草坪的长为(15-2a)米，宽为(12-2a)米，所以草坪的周长为22[(15-2a)+(12-2a)]=2(27-4a)=(54-8a)米，
故答案为： (54-8a)；
【分析】(1)分别求出草坪的长、宽，即可求出其周长；
(2)把a的值代入(1)中的代数式求值即可.
17．（1）探寻规律
直接写出右边各式的值：(
（2）提炼规律
请你观察上述各式的运算结果，猜测( 的运算结果，并证明你的结论.
（3）应用规律
根据上面的规律，化简(
【答案】（1）解：8，24，0.72.
（2）解：运算结果：4ab.
证明：
=(a+b+a-b)(a+b-a+b)
=2a·2b
=4ab.
（3）解：
=4(a+b)·c
=4ac+4bc.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索规律-等式类规律；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】（1）(2+1)2-(2-1)2=8-1=8；
(3+2)2-(3-2)2=25-1=24；
(0.6+0.3)2-(0.6-0.3)2=0.91-0.09=0.72；
故答案为：8，24，0.72.
【分析】（1）利用有理数的混合运算法则逐一计算即可；
（2）根据平方差公式分解因式，燃弧计算解答即可；
（3）根据（2）的结论计算即可.
18． 小山根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小山的探究过程．请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：
特例2：
特例3：
特例4：　 　．（填写一个符合上述运算特征的例子）：
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：　 　．
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简：．
【答案】（1）解：
（2）
（3）解：等式左边右边，
故猜想成立；
（4）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；探索规律-等式类规律；猜想与证明
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2）
解：特例1：
特例2：
特例3：
用含的式子表示为：；
故答案为：；
【分析】（1）仿照所给的特例写出符合上述运算特征的例子即可；
（2）分析所给的等式的形式，得到规律解答即可；
（3）根据二次根式的运算法则证明即可；
（4）利用（2）中的规律解解答即可．
19．【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法.
例如求的近似值.
因为64<67<81，
所以
则可以设成以下两种形式：
其中0其中0小明以①的形式求的近似值的过程如表.
因为 所以 即 因为s2比较小， 将s2忽略不计， 所以67≈64+16s， 即16s≈67-64， 得 故
【尝试探究】
（1）请用①的形式求的近似值（结果保留2位小数）.
（2）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）.
【答案】（1）解：因为，
所以．
设，其中．
所以，即．
因为比较小，将忽略不计，
所以，即．
所以．
所以．
（2）解：根据题意可知，设，其中．
因为，
所以，
即
因为比较小，将忽略不计，
所以，即，
所以．
所以．
【知识点】无理数的估值；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】（1）仿照阅读中所给的计算过程解答即可；
（2） 仿照阅读中所给的计算过程解答即可 ．
20．在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由可得的整数部分为1，接下来如何进一步估算的值呢 小明同学在查询资料后，发现了一种方法：以为例，易知的整数部分为10，且更接近11；则（实际上，）
（1）的整数部分为　 　；　 　（结果保留两位小数）.
（2）小明在采用这种方法估算时，得到与熟知的数据相差较大；小明仔细思考后发现问题在于的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替会产生较大的误差.请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算的值（结果保留三位小数）.
【答案】（1）8；8.88
（2）解：
，更接近1.4，
，，
，
．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
，
的整数部分为8；
的整数部分为8，且更接近9，则，，
，
；
故答案为：8；8.88；
【分析】（1）根据无理数的估算求出 的整数部分，然后根据题目所给方法估算 的值即可；
（2）先根据无理数的估算得到，再仿照目所给方法进行估算即可.
21．【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法.
例如求的近似值.因为49＜53＜64，所以.
则可以设成以下两种形式：
①，其中0＜m＜1；
②，其中0＜n＜1.
小明用①的形式求的近似值的过程如下：
因为，所以53=（7+m）2.即53=49+14m+m2. 因为m2比较小，将m2忽略不计， 所以53≈49+14m，即14m≈53-49， 得.所以.
（1）【尝试探究】用②的形式求的近似值.（结果保留2位小数）
（2）【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由.
【答案】（1）解：因为，
所以53=(8-n)2，
即53=64-16n+n2
因为n2比较小，将n2忽略不计，
所以53≈64-16n，
即
所以
（2）解：用①的形式求的近似值精确度更高，理由如下：
因为7.28×7.28=52.9984，7.29×7.29=53.1441，且，
所以，
所以①得出近似值的精确度更高
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】(1)根据53=64-16n+n2，其中n2忽略不计，可得答案；
(2)先确定，可得答案.
22．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①∵，又∵1000＜59319＜1000000，
∴，∴能确定59319的立方根是个两位数.
②59319的个位数是9，又∵93=729，能确定59319的立方根的个位数是9.
③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39.
（1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是　 　位数；
②它的立方根的个位数字是　 　；
③19683的立方根是　 　.
（2）求110592的立方根.（过程可按题目中的步骤写）
【答案】（1）两；7；27
（2）解：∵，，
又∵1000<110529<1000000，
∴
∴能确定110592的立方根是个两位数
∵110592的个位数是2，
又∵83=512
∴能确定110592的立方根的个位数是8
若划去110592后面的三位592得到数110，
而
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48.
【知识点】无理数的估值；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：(1)①∵，，
又∵1000<19683<1000000
∴，
∴能确定19683的立方根是个两位数
②∵19683的个位数是3，
又∵73=343
∴能确定19683的立方根的个位数是7，
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27
故答案为：两，7，27.
【分析】(1)仿照例题，进行推理得结论；
(2)先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论.
1 / 14月下旬之数与式—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．使 有意义的x的取值范围在数轴上表示为(　　)
A． B．
C． D．
2．下列各式：①a2 a3＝a5；②（﹣3ab3）2＝9a2b6；③；④1；⑤x2+2x2＝3x2，其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．DeepSeek-V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（　　）
A．6.71×1012 B．6.71×1011 C．67.1×1010 D．671×109
4． 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种有1个碳原子和4个氢原子，第2种有2个碳原子和6个氢原子，第3种有3个碳原子和8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
5．双江湖新区位于浙江省义乌市西南部，是义乌市重点建设的未来城市新区.2026年多项重大工程取得突破性进展或进入新阶段，年度计划完成投资超过65亿元，将数65亿用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
6．我们知道”若则“，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（　　）
A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价
B．配制一种盐水，盐和水的质量比是1：8，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变
C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间
D．一个长方形的长和宽的比是3：2，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变
7．我们把M={1，3，x}叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）.已知集合A={0，|x|，y}，集合，若A=B，则x+y的值是（　　）
A．4 B．2 C．0 D．-2
8． 设 ，，，，，则 的值为（　　）
A．. B．. C．. D．.
9．如图，矩形ABCD的周长为16，在它的每条边上各画一个以该边为边的正方形.若四个正方形的面积和是68m2，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．13 B．15 C．26 D．30
10． 2026年1月，浙江省统计局公布2025年全省11个地市GDP 与增速，如右图所示。如果以2025年GDP 的增速预测舟山2026年全年GDP 增量，并且以元为单位表示这个数据，那么这个数据用科学记数法可以表示约为（　　)。
A．1. 55×10 B．
C．2. 5×10 D．
二、填空题
11．小于 的最大整数是　 　.
12．已知a，b为有理数，如果规定一种新运算：　 　 ．
13．定义：a是不为1的有理数，我们把 称为a的衍生数.如：2的衍生数是 的衍生数是 已知 是a1的衍生数，a3是a2的衍生数，a4是a3的衍生数，…，依此类推，则a2026=　 　.
14．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）”展开式的系数规律.
当代数式的值为81时，则x的值为　 　.
三、解答题
15．观察连续两个正整数的立方差：
①
②
③
（1）写出第n个等式（n为正整数），并给出证明.
（2）问2025能否写成这样的两个连续正整数的立方差 如果能，请写出这两个正整数；如果不能，请说明理由.
16．如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米．
（1）草坪的周长为　 　米(含a的代数式表示)；
（2） 当a=2.3 米时， 求草坪的周长.
17．（1）探寻规律
直接写出右边各式的值：(
（2）提炼规律
请你观察上述各式的运算结果，猜测( 的运算结果，并证明你的结论.
（3）应用规律
根据上面的规律，化简(
18． 小山根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小山的探究过程．请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
特例1：
特例2：
特例3：
特例4：　 　．（填写一个符合上述运算特征的例子）：
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：　 　．
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简：．
19．【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法.
例如求的近似值.
因为64<67<81，
所以
则可以设成以下两种形式：
其中0其中0小明以①的形式求的近似值的过程如表.
因为 所以 即 因为s2比较小， 将s2忽略不计， 所以67≈64+16s， 即16s≈67-64， 得 故
【尝试探究】
（1）请用①的形式求的近似值（结果保留2位小数）.
（2）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）.
20．在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由可得的整数部分为1，接下来如何进一步估算的值呢 小明同学在查询资料后，发现了一种方法：以为例，易知的整数部分为10，且更接近11；则（实际上，）
（1）的整数部分为　 　；　 　（结果保留两位小数）.
（2）小明在采用这种方法估算时，得到与熟知的数据相差较大；小明仔细思考后发现问题在于的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替会产生较大的误差.请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算的值（结果保留三位小数）.
21．【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法.
例如求的近似值.因为49＜53＜64，所以.
则可以设成以下两种形式：
①，其中0＜m＜1；
②，其中0＜n＜1.
小明用①的形式求的近似值的过程如下：
因为，所以53=（7+m）2.即53=49+14m+m2. 因为m2比较小，将m2忽略不计， 所以53≈49+14m，即14m≈53-49， 得.所以.
（1）【尝试探究】用②的形式求的近似值.（结果保留2位小数）
（2）【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由.
22．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①∵，又∵1000＜59319＜1000000，
∴，∴能确定59319的立方根是个两位数.
②59319的个位数是9，又∵93=729，能确定59319的立方根的个位数是9.
③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39.
（1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是　 　位数；
②它的立方根的个位数字是　 　；
③19683的立方根是　 　.
（2）求110592的立方根.（过程可按题目中的步骤写）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：
故答案为：C .
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得，求出x的取值范围，在数轴上表示解答即可．
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：6710亿=671000000000=6.71×1011.
故选：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1种有4个氢原子，，
第2种有6个氢原子，，
第3种有8个氢原子，，
……
以此类推，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是．
故答案为：B.
【分析】观察可得规律：氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可．
5．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 亿．
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
6．【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：题中给出性质：若，则，即两个比值相等时，前项和与后项和的比值仍等于原比值，据此分析各选项：
选项A是计算单价，通过总价除以数量得到结果，没有用到上述性质，不符合题意；
选项B中，设原盐水中盐质量为，水质量为，得，新加入盐，水，得，满足，根据性质得，盐和水的比不变，因此浓度不变，完全符合题中知识，符合题意；
选项C是根据速度不变列比例求时间，没有用到上述合比性质，不符合题意；
选项D中，原长宽比，增加的长和宽的比是，不满足的前提，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】结合各选项的实际场景，判断符合题中给出的性质的解答即可．
7．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵集合，由集合互异性得，，
∴，，
又∵，集合，且，
∴
∴，即
∵，此时，，
由集合互异性得，故，，
又∵与元素对应相等，得，
∴，
∵，两边同除以得，
∴，
∴，即D选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据集合的定义，由得到、的关系求出、的值，然后代入计算的值即可．
8．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
，
，
，
∴，
．
故答案为：.
【分析】计算，，，得出一般规律，然后计算解答即可．
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设，，
由题意得，，，
，，
，
，
则长方形的面积是15平方米．
故答案为：B.
【分析】设，，根据题意可得，，然后根据完全平方公式的变形得到，然后整体代入解答即可．
10．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，亿，
则
即这个数据用科学记数法可以表示约为．
故答案为：A.
【分析】先运算乘法，然后根据科学记数法记数，写为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为所有整数位的个数减1解答即可．
11．【答案】-2
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵ =-1.5，
∴ 小于 的最大整数是-2，
故答案为：-2 .
【分析】先计算的值，然后根据有理数的比较大小解答即可.
12．【答案】﹣16
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
13．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：根据衍生数定义可得，
，
，
，
…，
显然每3个数循环一次，
又因为，故和的值相等，即．
故答案为：.
【分析】根据衍生数的定义求出、、、…，即可得到每3个数为一个循环组依次循环，用2026除以3，根据余数解答即可．
14．【答案】5或-1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题意，得
即x-2=3或x-2=-3，
解得x=5或-1.
故答案为：5或-1.
【分析】根据题意得到(x-2)4=81，解方程求出x的值即可.
15．【答案】（1）解：
左边
右边
∵左边=右边
∴等式成立
（2）解：设两个连续的正整数分别为n和n+1
由可知，若其中一个数为正整数，则另一个数也为整数，此时n1·n2也为整数，这与相矛盾，
∴2025不能写成两个连续正整数的立方差。
也可：其中24297不是完全平方数，
∴2025不能写成两个连续正整数的立方差。
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【分析】(1)仿照示例，写出第n个等式，对等式的左右两边分别化简，可得到结果；
(2)根据示例，设3n2+3n+1=2025，利用求根公式判断方程的整数根，得到结果.
16．【答案】（1）(54-8a)
（2）解：当a=2.3时， 54-2a=54-8×2.3=35.6(米)
答：草坪的周长为35.6米
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解： (1)草坪的长为(15-2a)米，宽为(12-2a)米，所以草坪的周长为22[(15-2a)+(12-2a)]=2(27-4a)=(54-8a)米，
故答案为： (54-8a)；
【分析】(1)分别求出草坪的长、宽，即可求出其周长；
(2)把a的值代入(1)中的代数式求值即可.
17．【答案】（1）解：8，24，0.72.
（2）解：运算结果：4ab.
证明：
=(a+b+a-b)(a+b-a+b)
=2a·2b
=4ab.
（3）解：
=4(a+b)·c
=4ac+4bc.
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索规律-等式类规律；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】（1）(2+1)2-(2-1)2=8-1=8；
(3+2)2-(3-2)2=25-1=24；
(0.6+0.3)2-(0.6-0.3)2=0.91-0.09=0.72；
故答案为：8，24，0.72.
【分析】（1）利用有理数的混合运算法则逐一计算即可；
（2）根据平方差公式分解因式，燃弧计算解答即可；
（3）根据（2）的结论计算即可.
18．【答案】（1）解：
（2）
（3）解：等式左边右边，
故猜想成立；
（4）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算；探索规律-等式类规律；猜想与证明
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2）
解：特例1：
特例2：
特例3：
用含的式子表示为：；
故答案为：；
【分析】（1）仿照所给的特例写出符合上述运算特征的例子即可；
（2）分析所给的等式的形式，得到规律解答即可；
（3）根据二次根式的运算法则证明即可；
（4）利用（2）中的规律解解答即可．
19．【答案】（1）解：因为，
所以．
设，其中．
所以，即．
因为比较小，将忽略不计，
所以，即．
所以．
所以．
（2）解：根据题意可知，设，其中．
因为，
所以，
即
因为比较小，将忽略不计，
所以，即，
所以．
所以．
【知识点】无理数的估值；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】（1）仿照阅读中所给的计算过程解答即可；
（2） 仿照阅读中所给的计算过程解答即可 ．
20．【答案】（1）8；8.88
（2）解：
，更接近1.4，
，，
，
．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
，
的整数部分为8；
的整数部分为8，且更接近9，则，，
，
；
故答案为：8；8.88；
【分析】（1）根据无理数的估算求出 的整数部分，然后根据题目所给方法估算 的值即可；
（2）先根据无理数的估算得到，再仿照目所给方法进行估算即可.
21．【答案】（1）解：因为，
所以53=(8-n)2，
即53=64-16n+n2
因为n2比较小，将n2忽略不计，
所以53≈64-16n，
即
所以
（2）解：用①的形式求的近似值精确度更高，理由如下：
因为7.28×7.28=52.9984，7.29×7.29=53.1441，且，
所以，
所以①得出近似值的精确度更高
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】(1)根据53=64-16n+n2，其中n2忽略不计，可得答案；
(2)先确定，可得答案.
22．【答案】（1）两；7；27
（2）解：∵，，
又∵1000<110529<1000000，
∴
∴能确定110592的立方根是个两位数
∵110592的个位数是2，
又∵83=512
∴能确定110592的立方根的个位数是8
若划去110592后面的三位592得到数110，
而
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48.
【知识点】无理数的估值；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：(1)①∵，，
又∵1000<19683<1000000
∴，
∴能确定19683的立方根是个两位数
②∵19683的个位数是3，
又∵73=343
∴能确定19683的立方根的个位数是7，
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27
故答案为：两，7，27.
【分析】(1)仿照例题，进行推理得结论；
(2)先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论.
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