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上海市张江集团学校等学校2025-2026学年八年级期中学习素养分析数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，，，，则( )
A. B. C. D.
2.在直角坐标系中，点在第四象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变当时，如图，测得当时，如图，( )
A. B. C. D.
4.如图，四边形是平行四边形，在对角线上取两点，，连接，，，下列条件：
；
；
，；
；
；
能得到四边形是平行四边形的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.如图，四个内角的平分线两两相交，构成四边形，则四边形的形状是( )
A. 任意四边形 B. 正方形 C. 矩形 D. 平行四边形
6.如图，菱形中，为对角线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，若，则长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为 ．
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果轴，那么的长为 ．
9.如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，则的长为 ．
10.在平面直角坐标系中，点与点，则长度为 ．
11.已知点坐标为，点的坐标为，若轴，则 ．
12.已知点到两个坐标轴的距离相等，则 ．
13.已知平面直角坐标系内，、、三点的坐标分别为，为坐标原点，点在线段上，若为等腰三角形，则点坐标为 ．
14.如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第次碰到长方形边上的坐标为 ．
15.在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后停止运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当 时，以点为顶点的四边形为平行四边形．
16.如图，在边长为的正方形中，，分别是，上的动点，，分别是，的中点，则的最大值为 ．
17.如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则 ．
18.如图，菱形的边长为，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长度为 ．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连接，．
求证：四边形为矩形．
20.如图，为正方形内一点，连接并延长交边于，过点的直线与边，分别交于，求证：．
21.在平行四边形中，点是的中点，连接，将沿直线翻折，得到如图，延长交于点，求证：；
22.如图，在平面直角坐标系中，，，．
点与点关于原点对称，则点的坐标为 ，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ．
若点在轴上，且，试求点的坐标．
23.平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题．
如图，在菱形中，若点，则点坐标为 ．
如图，线段、关于点对称，若点，，，则点的坐标为 ．
如图，在直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、分别是轴、轴上的点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的横坐标为 ．
24.【问题情境】如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点，延长交于点．
【猜想证明】
试判断四边形的形状，并说明理由；
如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．
25.综合与探究
如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作直线，交于点，交于点，连接，，且平分．
求证：四边形是菱形；
直接写出的度数．
把中菱形进行分离研究，如图，，分别在，边上，且，连接，为的中点，连接，并延长交于点，连接，，，试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.或或
14.
15.或
16.
17.
18.
19.证明：四边形是菱形，
，．
，，
，
四边形为平行四边形．
，
四边形为矩形．
20.证明：如图所示，过点作分别交于点，点，
四边形为正方形，
，
又，
四边形是平行四边形，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

21.证明：如图，延长交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
；
点是的中点，
；
在和中，
，
，
即为的中点；
；
由折叠的性质可得，
点到的距离等于点到的距离，
设点到的距离分别为，则；
，
；
，
，
即，
．

22.【小题】
【小题】
解：设点的坐标为，
，，，
，，，
，
，
，
解得：或，
或．

23.【小题】
【小题】
【小题】
，，

24.【小题】
解：四边形是正方形，理由如下：
将绕点按顺时针方向旋转，
，．
又，
四边形是矩形．
又，
四边形是正方形．
【小题】
；理由如下：
如图，过点作于，
，，
，．
四边形是正方形，
，，
，
．
又，，
，
．
将绕点按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
．

25.【小题】
证明：由题意知，，，，
，
，
是的垂直平分线，
，，，
在和中，
≌，
，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
【小题】
解：，，理由如下：
延长到，使，连接，如图所示：
四边形是菱形，，
，，
，，，
为的中点，
，
在和中，
≌，
，，
，
，
，，
是等边三角形，
，
又，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
在和中，
≌，
，，
在中，，
，
，
又，
是等边三角形，
，，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，．

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