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专题4.1 图形的初步（1）—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．“力旺杯”足球赛在我校顺利进行，九年1班的足球队争得了冠军，如图所示为其获得的冠军奖杯，用数学的眼光观察这个奖杯，其中不包含的立体图形是（　　）
A．球体 B．圆柱体 C．长方体 D．四棱锥
2．几何图形由点、线、面组成，“点动成线、线动成面、面动成体”.下列现象中能反映“线动成面”的是(　　)
A．流星划过夜空 B．直角三角尺绕直角边旋转一周
C．打开折扇 D．笔尖在纸上快速滑动
3．经过圆锥顶点的截面可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
5．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．是如图所示正方体的表面展开图的是 (　　)
A． B．
C． D．
7．如图，在水平桌面上竖直放置一个直角梯形纸板，现绕其上底所在直线旋转一周，则旋转所得几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
8．七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案，小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）.已知AB=40cm，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
10． 如图，桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高6厘米，底面周长为 16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁与A相对的点 P 处有一只小虫，小虫离杯底的距离为1.5厘米，则小虫爬到蜜糖 A 处的最短路程是(　　)
A．厘米 B．10厘米 C．8厘米 D．8厘米
11．如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P、F分别是CD、AB的中点.若AB=4，则下列结论错误的是（　　）
A．PA+PB的最小值为2 B．PE+PF的最小值为2
C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为4
二、填空题
12．将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：　 　（不必化简）．
13．如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12cm，则折成立方体的棱长为　 　cm．
14．将正方体的一种展开图，按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则　 　.
15． 七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为　 　．
16．如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为　 　．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为　 　．
18．如图，矩形中，，，点F是矩形内部一个动点，E在上，且，当时，则的最小值为　 　．
19．木匠师傅锯木料时，一般先在末端上圈出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，这其中的数学原理是　 　，把弯曲的公路改直，能够缩短行程，这样做的道理是　 　.
20．七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的三个顶点作圆，则这个圆的半径长为　 　．
21．如图，线段AB与CD相交于点，则的最小值为　 　．
三、解答题
22．尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图．尺规作
图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决
不同的平面几何作图题．初中阶段同学们首次接触的尺规作图是“作一条线段等于已
知线段”
（1）如图1，在线段AB外有一点，现在利用尺规作图验证＂两点之间线段最短＂，
．请根据提示，用尺规完成作图，并补充验证步骤．
第一步，以为圆心，AC为半径作弧，交线段AB于点，则　 　
第二步，以为圆心，BC为半径作弧，交线段AB于点，则　 　
则　 　+　 　　 　．
故：．
（2）如图2，在直线上，从左往右依次有四个点，且．现以为圆心，半径长为作圆，与直线两个交点中右侧交点记为点．再以为圆心；相同半径长作圆，与直线两个交点中左侧交点记为点．若P，Q，F三点中，有一点分另外两点所连线段之比为1：2，求半径的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解： 底座的形状是长方形的，且有高度，符合长方体的定义；主体的横截面是圆形，且有高度，符合圆柱体的定义；
奖杯的顶部的形状是球形，符合球体的定义，选项A、B、C分别对应奖杯的顶部、主体和底座，而选项D四棱锥在奖杯中没有出现.
故答案为：D．
【分析】找出奖杯各立体图形的表面包含的平面图形，根据常见几何体解答即可.
2．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、流星划过夜空是点动成线，不符合题意；
B、直角三角尺绕直角边旋转一周是面动成体，不符合题意；
C、打开折扇是线动成面，符合题意；
D、笔尖在纸上快速滑动是点动成线，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据点、线、面、体的关系解答即可．
3．【答案】B
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：经过圆锥顶点的截面可能是三角形，
故答案为：B。
【分析】根据圆锥的图形可知，经过圆锥顶点的截面，它的顶点肯定是点，不是圆弧，从顶点垂直截下来，可以得到一个三角形，但不能得到直角三角形，截面图形的边是直线而不是曲线，从而即可做出判断。据此即可求解。
4．【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；垂线段最短及其应用；平行公理
【解析】【解答】解：用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是两点确定一条直线，
故答案为：C．
【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线，即可得到答案．
5．【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：选项A、C、D折叠后都符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点不符．
故选B．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
6．【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：根据展开图中各面的图形位置可得符合的为C选项，
故选：C.
【分析】 利用正方体展开图的特征，根据各边图形在展开图中的位置逐项判断解答即可.
7．【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵直角梯形纸板绕其上底所在直线旋转一周所得的几何体是圆柱中挖空了一个底面相等的圆锥，
∴该几何体的主视图是D选项，
故答案为：D．
【分析】先确定旋转一周所得的几何体为圆柱中挖空了一个底面相等的圆锥，然后根据主视图的定义，从几何体正面观察，据此即可求解.
8．【答案】C
【知识点】七巧板与拼图制作；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
设EG=FG=x，
∴，
根据题意，得，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：C.
【分析】设EG=FG=x，利用勾股定理求出EF的值，根据题意可列出关于x的方程，解方程得EG=FG的值，从而得HG的值，进而即可求出阴影部分面积.
9．【答案】A
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：①当点A在B、C两点之间，则满足 ，
即 ，
解得： ，符合题意，故答案为：A正确；
②点B在A、C两点之间，则满足 ，
即 ，
解得： ，不符合题意，故答案为：B错误；
③点C在A、B两点之间，则满足 ，
即 ，
解得：a无解，不符合题意，故答案为：C错误；
故答案为：D错误；
故答案为：A.
【分析】分三种情况：①当点A在B、C两点之间，则满足 ，②点B在A、C两点之间，则满足 ，③点C在A、B两点之间，则满足 ，据此分别列出方程求解即可.
10．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，最短距离为PA'的长度，将圆柱展开，
由题意可知PE=8cm，
∴
最短路程为PA'=10cm.
故选：B．
【分析】将图形展开，根据“两点之间线段最短”得到最短距离为PA'的长度 ，利用勾股定理进行计算即可.
11．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解： 【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线如图：
和是等边三角形，
∴四边形DECM是平行四边形，
∵P为CD中点，
∴P为EM中点，
∵E在线段AB上运动，
∴P在直线l上运动，
由AB=4知等边三角形ABM的高为
∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB=PA'+PB最小，
此时PA+PB最小值故选项A正确，不符合题意；
∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，
∵F为AB的中点，
∴MF为等边三角形ABM的高，
'的最小值为，故选项B正确，不符合题意；
过D作于K，过C作于T，如图，
∵△ADE和△BCE是等边三角形，
∴CD≥2，
∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，
∴DE+CE+CD≥6，
∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；
设AE=2m，则BE=4-2m，
∴AK=KE=m，BT=ET=2-m，DKm，
∴当m=1时，四边形ABCD面积的最小值为，故选项D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB=PA'+PB最小，即可得PA+PB最小值判断选项A错误；由PM=PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT=KE+TE=有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE=2m，可得即知四边形ABCD面积的最小值为，判断选项D正确.
12．【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】由包装盒容积为360cm3可得，，
故答案为：．
【分析】
利用四棱柱的展开图分别确定出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：如图，设则
在 中，由勾股定理得，
即
解得 或 = - 4(舍去)，
所以正方体的棱长为
故答案为：
故答案为：.
【分析】设表示AE和EB长，在Rt△EAB中根据勾股定理列方程求解即可.
14．【答案】8
【知识点】相似三角形的判定；正方体的几种展开图的识别；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：∠EHE=∠EPB=90°，∠EFH=∠B
由图知：EH=1，FH=2，EP=3
∴△EFH∽△EBP，
，
，
∴BP=6
∴BC=PB+PC=6+2=8
故答案为：8．
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质．熟知相似三角形的性质是解题关键.
根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形相似可得：△EFH∽△EBP，再根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例可知：，代入数据可求得BP=6；再根据线段的和差运算 可求得：BC=PB+PC=8，由此可得出答案．
15．【答案】
【知识点】点的坐标；七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：由图可知，正方形边长为，
所以最小三角形最长边为2，高为，平行四边形长边长为2，小正方形可由两个最小三角形拼成，
且点在负半轴，
则点的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据七巧板图形的特征得到点A的坐标即可．
16．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；正方形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：如图1，连接，
由七巧板可知，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，，
如图2，连接、，则，
∴，
由七巧板可知，，
则，
∴．
故答案为：．
【分析】在图1中连接GH，证明四边形HEFG是正方形，得到在图2中可得根据三角函数计算即可.
17．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；圆的相关概念；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，
∴BF=BD－DF=，
故答案为：．
【分析】根据折叠性质可得F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，根据勾股定理可得BC，BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，，
在中，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】
先在上截取，连接，，利用SAS证明，根据全等三角形的性质得到， 再利用三边关系得，根据两点之间线段最短得到当且仅当C、F、G三点共线时取得最小值，先计算出， 在计算线段的差得到BG=4，根据矩形的性质得到，， 再利用勾股定理计算得，从而得到最小值为 ，解答即可．
19．【答案】两点确定一条直线；两点之间线段最短.
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短
【解析】【解答】解： 木匠师傅锯木料时，一般先在末端上圈出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，这其中的数学原理是两点确定一条直线， 把弯曲的公路改直，能够缩短行程，这样做的道理是两点之间线段最短.
故答案为：两点确定一条直线；两点之间线段最短.
【分析】根据两点确定一条直线和两点之间线段最短的应用解答即可.
20．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图2，设圆心为O，延长AF交PH于点E，交⊙O于点D， 连接EI，
∴四边形EFGH是平行四边形，且平行四边形 平行四边形BILK，
且
∴四边形EILH是平行四边形，
∵大正方形的边长为4，
且
∴EI垂直平分BC，
∴圆心O在EI上，
∴EI垂直平分AD，
，
连接OD、OB， 则
解得
∴这个圆的半径长为
故答案为：
【分析】在图2中标出相应的字母，设圆心为O，延长AF交PH于点E，交⊙O于点D，连接EI，则四边形EFGH是平行四边形，且 可证明四边形EILH是平行四边形，由大正方形的边长为4， 可知 则 得. 则EI垂直平分BC，所以圆心O在EI上，则EI垂直平分AD，连接OD、OB，由 根据勾股定理求得即可求出OD长于是得到问题的答案.
21．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作 过点D作 于点M， 过点B作BC∥AC交CM于点F， 如图所示：
在 中，
由勾股定理得： ，
∴四边形ABFC是平行四边形，
，
∴当 为最小时， 为最小，根据“两点之间线段最短”得：
∴当点D， B， F在同一条直线上时， 为最小，最小值是线段DF的长，
的最小值是线段DF的长，在 中，
由勾股定理得： ，
的最小值是
故答案为：
【分析】过点C作CM∥AB，过点D作DM⊥CM于点M， 过点B作BC'IAC交CM于点F， 则∠MCD=∠AOC =30°， 进而得 证明四边形ABFC是平行四边形， AF= AB=6，AC = BF， 则AC+BD=BF+BD， 由此得当iBF+BD为最小时，AC+BD为最小，根据“两点之间线段最短”得： BF+BD≤DF， 因此当点D， B， F在同一条直线上时，BF+BD为最小，最小值是线段DF的长，然后在Rt△DFM中， 由勾股定理求出 即可得出AC+BD的最小值.
22．【答案】（1）AM；BN；AM；BN；MN
（2）解：如图1，当时，
解得
如图2，当时，
，解得r=6
如图3，当时，
，解得r=9
答：半径的长为2或6或9。
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）第一步，以为圆心，AC为半径作弧，交线段AB于点，则；第二步，以为圆心，BC为半径作弧，交线段AB于点，则；
则．
故：．
【分析】（1）根据边之间的关系即可求出答案.
（2）分情况讨论：当时，当时，当时，根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1专题4.1 图形的初步（1）—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．“力旺杯”足球赛在我校顺利进行，九年1班的足球队争得了冠军，如图所示为其获得的冠军奖杯，用数学的眼光观察这个奖杯，其中不包含的立体图形是（　　）
A．球体 B．圆柱体 C．长方体 D．四棱锥
【答案】D
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解： 底座的形状是长方形的，且有高度，符合长方体的定义；主体的横截面是圆形，且有高度，符合圆柱体的定义；
奖杯的顶部的形状是球形，符合球体的定义，选项A、B、C分别对应奖杯的顶部、主体和底座，而选项D四棱锥在奖杯中没有出现.
故答案为：D．
【分析】找出奖杯各立体图形的表面包含的平面图形，根据常见几何体解答即可.
2．几何图形由点、线、面组成，“点动成线、线动成面、面动成体”.下列现象中能反映“线动成面”的是(　　)
A．流星划过夜空 B．直角三角尺绕直角边旋转一周
C．打开折扇 D．笔尖在纸上快速滑动
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、流星划过夜空是点动成线，不符合题意；
B、直角三角尺绕直角边旋转一周是面动成体，不符合题意；
C、打开折扇是线动成面，符合题意；
D、笔尖在纸上快速滑动是点动成线，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据点、线、面、体的关系解答即可．
3．经过圆锥顶点的截面可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：经过圆锥顶点的截面可能是三角形，
故答案为：B。
【分析】根据圆锥的图形可知，经过圆锥顶点的截面，它的顶点肯定是点，不是圆弧，从顶点垂直截下来，可以得到一个三角形，但不能得到直角三角形，截面图形的边是直线而不是曲线，从而即可做出判断。据此即可求解。
4．如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；垂线段最短及其应用；平行公理
【解析】【解答】解：用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是两点确定一条直线，
故答案为：C．
【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线，即可得到答案．
5．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：选项A、C、D折叠后都符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点不符．
故选B．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
6．是如图所示正方体的表面展开图的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：根据展开图中各面的图形位置可得符合的为C选项，
故选：C.
【分析】 利用正方体展开图的特征，根据各边图形在展开图中的位置逐项判断解答即可.
7．如图，在水平桌面上竖直放置一个直角梯形纸板，现绕其上底所在直线旋转一周，则旋转所得几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵直角梯形纸板绕其上底所在直线旋转一周所得的几何体是圆柱中挖空了一个底面相等的圆锥，
∴该几何体的主视图是D选项，
故答案为：D．
【分析】先确定旋转一周所得的几何体为圆柱中挖空了一个底面相等的圆锥，然后根据主视图的定义，从几何体正面观察，据此即可求解.
8．七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案，小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）.已知AB=40cm，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】七巧板与拼图制作；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
设EG=FG=x，
∴，
根据题意，得，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：C.
【分析】设EG=FG=x，利用勾股定理求出EF的值，根据题意可列出关于x的方程，解方程得EG=FG的值，从而得HG的值，进而即可求出阴影部分面积.
9．互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
【答案】A
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：①当点A在B、C两点之间，则满足 ，
即 ，
解得： ，符合题意，故答案为：A正确；
②点B在A、C两点之间，则满足 ，
即 ，
解得： ，不符合题意，故答案为：B错误；
③点C在A、B两点之间，则满足 ，
即 ，
解得：a无解，不符合题意，故答案为：C错误；
故答案为：D错误；
故答案为：A.
【分析】分三种情况：①当点A在B、C两点之间，则满足 ，②点B在A、C两点之间，则满足 ，③点C在A、B两点之间，则满足 ，据此分别列出方程求解即可.
10． 如图，桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高6厘米，底面周长为 16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁与A相对的点 P 处有一只小虫，小虫离杯底的距离为1.5厘米，则小虫爬到蜜糖 A 处的最短路程是(　　)
A．厘米 B．10厘米 C．8厘米 D．8厘米
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，最短距离为PA'的长度，将圆柱展开，
由题意可知PE=8cm，
∴
最短路程为PA'=10cm.
故选：B．
【分析】将图形展开，根据“两点之间线段最短”得到最短距离为PA'的长度 ，利用勾股定理进行计算即可.
11．如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P、F分别是CD、AB的中点.若AB=4，则下列结论错误的是（　　）
A．PA+PB的最小值为2 B．PE+PF的最小值为2
C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为4
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解： 【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线如图：
和是等边三角形，
∴四边形DECM是平行四边形，
∵P为CD中点，
∴P为EM中点，
∵E在线段AB上运动，
∴P在直线l上运动，
由AB=4知等边三角形ABM的高为
∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB=PA'+PB最小，
此时PA+PB最小值故选项A正确，不符合题意；
∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，
∵F为AB的中点，
∴MF为等边三角形ABM的高，
'的最小值为，故选项B正确，不符合题意；
过D作于K，过C作于T，如图，
∵△ADE和△BCE是等边三角形，
∴CD≥2，
∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，
∴DE+CE+CD≥6，
∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；
设AE=2m，则BE=4-2m，
∴AK=KE=m，BT=ET=2-m，DKm，
∴当m=1时，四边形ABCD面积的最小值为，故选项D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB=PA'+PB最小，即可得PA+PB最小值判断选项A错误；由PM=PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT=KE+TE=有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE=2m，可得即知四边形ABCD面积的最小值为，判断选项D正确.
二、填空题
12．将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：　 　（不必化简）．
【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】由包装盒容积为360cm3可得，，
故答案为：．
【分析】
利用四棱柱的展开图分别确定出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．
13．如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12cm，则折成立方体的棱长为　 　cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：如图，设则
在 中，由勾股定理得，
即
解得 或 = - 4(舍去)，
所以正方体的棱长为
故答案为：
故答案为：.
【分析】设表示AE和EB长，在Rt△EAB中根据勾股定理列方程求解即可.
14．将正方体的一种展开图，按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则　 　.
【答案】8
【知识点】相似三角形的判定；正方体的几种展开图的识别；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：∠EHE=∠EPB=90°，∠EFH=∠B
由图知：EH=1，FH=2，EP=3
∴△EFH∽△EBP，
，
，
∴BP=6
∴BC=PB+PC=6+2=8
故答案为：8．
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质．熟知相似三角形的性质是解题关键.
根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形相似可得：△EFH∽△EBP，再根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例可知：，代入数据可求得BP=6；再根据线段的和差运算 可求得：BC=PB+PC=8，由此可得出答案．
15． 七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：由图可知，正方形边长为，
所以最小三角形最长边为2，高为，平行四边形长边长为2，小正方形可由两个最小三角形拼成，
且点在负半轴，
则点的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据七巧板图形的特征得到点A的坐标即可．
16．如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；正方形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：如图1，连接，
由七巧板可知，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，，
如图2，连接、，则，
∴，
由七巧板可知，，
则，
∴．
故答案为：．
【分析】在图1中连接GH，证明四边形HEFG是正方形，得到在图2中可得根据三角函数计算即可.
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；圆的相关概念；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，
∴BF=BD－DF=，
故答案为：．
【分析】根据折叠性质可得F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，根据勾股定理可得BC，BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．如图，矩形中，，，点F是矩形内部一个动点，E在上，且，当时，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，，
在中，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】
先在上截取，连接，，利用SAS证明，根据全等三角形的性质得到， 再利用三边关系得，根据两点之间线段最短得到当且仅当C、F、G三点共线时取得最小值，先计算出， 在计算线段的差得到BG=4，根据矩形的性质得到，， 再利用勾股定理计算得，从而得到最小值为 ，解答即可．
19．木匠师傅锯木料时，一般先在末端上圈出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，这其中的数学原理是　 　，把弯曲的公路改直，能够缩短行程，这样做的道理是　 　.
【答案】两点确定一条直线；两点之间线段最短.
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短
【解析】【解答】解： 木匠师傅锯木料时，一般先在末端上圈出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，这其中的数学原理是两点确定一条直线， 把弯曲的公路改直，能够缩短行程，这样做的道理是两点之间线段最短.
故答案为：两点确定一条直线；两点之间线段最短.
【分析】根据两点确定一条直线和两点之间线段最短的应用解答即可.
20．七巧板是中国古代人民创造的益智玩具，被誉为“东方魔板”．小明用一个边长为4的正方形制作出如图1的七巧板，再用这副七巧板拼出了如图2的“灵蛇献瑞”图．过该图形的三个顶点作圆，则这个圆的半径长为　 　．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图2，设圆心为O，延长AF交PH于点E，交⊙O于点D， 连接EI，
∴四边形EFGH是平行四边形，且平行四边形 平行四边形BILK，
且
∴四边形EILH是平行四边形，
∵大正方形的边长为4，
且
∴EI垂直平分BC，
∴圆心O在EI上，
∴EI垂直平分AD，
，
连接OD、OB， 则
解得
∴这个圆的半径长为
故答案为：
【分析】在图2中标出相应的字母，设圆心为O，延长AF交PH于点E，交⊙O于点D，连接EI，则四边形EFGH是平行四边形，且 可证明四边形EILH是平行四边形，由大正方形的边长为4， 可知 则 得. 则EI垂直平分BC，所以圆心O在EI上，则EI垂直平分AD，连接OD、OB，由 根据勾股定理求得即可求出OD长于是得到问题的答案.
21．如图，线段AB与CD相交于点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作 过点D作 于点M， 过点B作BC∥AC交CM于点F， 如图所示：
在 中，
由勾股定理得： ，
∴四边形ABFC是平行四边形，
，
∴当 为最小时， 为最小，根据“两点之间线段最短”得：
∴当点D， B， F在同一条直线上时， 为最小，最小值是线段DF的长，
的最小值是线段DF的长，在 中，
由勾股定理得： ，
的最小值是
故答案为：
【分析】过点C作CM∥AB，过点D作DM⊥CM于点M， 过点B作BC'IAC交CM于点F， 则∠MCD=∠AOC =30°， 进而得 证明四边形ABFC是平行四边形， AF= AB=6，AC = BF， 则AC+BD=BF+BD， 由此得当iBF+BD为最小时，AC+BD为最小，根据“两点之间线段最短”得： BF+BD≤DF， 因此当点D， B， F在同一条直线上时，BF+BD为最小，最小值是线段DF的长，然后在Rt△DFM中， 由勾股定理求出 即可得出AC+BD的最小值.
三、解答题
22．尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图．尺规作
图是起源于古希腊的数学课题．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决
不同的平面几何作图题．初中阶段同学们首次接触的尺规作图是“作一条线段等于已
知线段”
（1）如图1，在线段AB外有一点，现在利用尺规作图验证＂两点之间线段最短＂，
．请根据提示，用尺规完成作图，并补充验证步骤．
第一步，以为圆心，AC为半径作弧，交线段AB于点，则　 　
第二步，以为圆心，BC为半径作弧，交线段AB于点，则　 　
则　 　+　 　　 　．
故：．
（2）如图2，在直线上，从左往右依次有四个点，且．现以为圆心，半径长为作圆，与直线两个交点中右侧交点记为点．再以为圆心；相同半径长作圆，与直线两个交点中左侧交点记为点．若P，Q，F三点中，有一点分另外两点所连线段之比为1：2，求半径的长．
【答案】（1）AM；BN；AM；BN；MN
（2）解：如图1，当时，
解得
如图2，当时，
，解得r=6
如图3，当时，
，解得r=9
答：半径的长为2或6或9。
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）第一步，以为圆心，AC为半径作弧，交线段AB于点，则；第二步，以为圆心，BC为半径作弧，交线段AB于点，则；
则．
故：．
【分析】（1）根据边之间的关系即可求出答案.
（2）分情况讨论：当时，当时，当时，根据边之间的关系即可求出答案.
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