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专题4.2 图形的初步（2）—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．如图，下列条件中能判断直线l1∥l2的是（　　）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠4 C．∠2=∠1 D．∠4=∠3
3．甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏东方向
C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏东方向
4． 如图，直线a截直线b、c所得的一对同位角是（　　）
A．∠2与∠3 B．∠1与∠4 C．∠5与∠7 D．∠1与∠8
5．利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角的度数为（　　）
A． B． C． D．
6． 如图，固定木条b， c，使∠1=85°，旋转木条a，要使得a∥b，则∠2应调整为（　　)
A．85° B．90° C．95° D．100°
7．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，惠州金山湖湿地公园有两段平行的步道，为增添景观特色，在其间建了景观桥，桥和步道在同一水平面上，桥两端连接点在上，在上，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．机器狗（四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景.如图所示，机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE=125°，∠CDE=145°，此时∠BED的度数为（　　)
A．80° B．85° C．90° D．95°
10．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（　　）
A．30° B．15° C．45° D．20°
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点A在直线a上，BC边在直线d上，直线b，c被AB所截.若∠1=60°，∠2=119°，∠3=59°，则（　　）
A．a∥b B．a∥c C．b∥c D．a∥d
12．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD= (　　)
A．70° B．100° C．110° D．130°
13．如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
14．已知货轮在海上以每小时50海里的速度沿南偏东的方向航行，当货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏东的方向上，则货轮到达处时与灯塔的距离是（　　）
A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．50海里
15．海平面上，有一个灯塔，测得海岛A在灯塔北偏东30°方向上，同时测得海岛B在灯塔北偏东60°的方向上，则灯塔的位置可以是（　　）
A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4
16．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”.如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O'A'水平射出，且OA∥O'A'，已知入射波AO与法线的夹角∠1=25°，则∠A'O'F的度数为（　　）
A．55° B．50° C．60° D．65°
17．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
18．如图为一个竖直悬挂的圆形时钟，3点30分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为3厘米，如图①.3点50分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为18厘米，如图②，则时钟的半径为（　　）
A．10厘米 B．13厘米 C．15厘米 D．厘米
19．如图，直线，直线与直线分别相交于点和，，垂足为点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
20．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（　　）
A． B． C． D．
21．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　）
A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角相等 D．两点确定一条直线
22．如图，已知，，，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
23．深圳市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务。图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=45°，当∠MAC为（　　)度时， AM∥BE.
A．45 B．60 C．75 D．105
24．如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜EF与挡板n形成的锐角为 一支激光笔从点A处发出的光束投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板m上的点C处。设光束AB所在直线与挡板m的交点为D，若∠DBF=∠CBE=52°，则∠BCD的度数为（　　）
A．75° B．76° C．85° D．105°
25． 如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①②的边线是否平行，甲、乙采用了两种不同的方法：甲把纸带①沿折叠，量得；乙把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，且点在同一直线上，点也在同一直线上．则下列判断正确的是（　　）
A．纸带①②的边线都平行
B．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
C．纸带①②的边线都不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
二、填空题
26．已知，则的余角的度数为　 　．
27． 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏. 如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜. 若四位投壶者分别站在直线 1 上的点 A， B， C， D 处往点 P 处的壶内投箭矢， 小明认为站在点 C 处的投壶者更容易获胜， 其中蕴含的数学道理是　 　.
28． 如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东63°方向走到C处，则的度数是　 　.
29．如图，已知点O 在直线AB上，OC为一条射线，射线 OM 和 ON 分别平分∠AOC 和∠BOC. 若∠CON=68°，则∠AOM 的度数为　 　.
30．如图，C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①∠ACF与∠BCH互余；②∠HCG=45°；③∠ECF与∠GCH互补；∠ACF-∠GCE=45°，则在下列选项中，正确的是　 　．
31．如图，平行于主光轴 MN 的光线 AB 和 CD 经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF 的反向延长线交于主光轴MN上一点 P .若∠ABE=138°， ∠CDF=162°， 则∠EPF 的度数是 　 　 .
32．如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB =∠FOB = 23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点 F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O 的切线FI所成的锐角)的大小为　 　°.
三、解答题
33． 如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
34．如图，为直线上一点，平分，.
(1)若，求和的度数；
(2)猜想：是否平分？请直接写出你猜想的结论；
(3)与互余的角有：______.
35．综合与实践
某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示．
（1）当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度？
（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
（3）问长方形的长应为多少？
36． 如图，码头在码头的正东方向，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可直达小岛.若甲船与乙船分别从码头，同时等速出发，均直接驶向小岛，两船可以同时到达.
（1）在图中，用尺规作图画出小岛的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，过点作正东方向，乙船从点出发，沿行驶且始终保持到，两边的距离相等，请用尺规法作出航向（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）以为直径的半圆在的右侧，若乙船沿运动不能到该半圆弧之外，当时，求乙船运动的最远距离的长（参考数据：，，）.
37．如图1，已知，射线OP从OA位置出发，以每秒的速度按顺时针方向向射线OB旋转：与此同时，射线OQ以每秒1的速度，从OB位置出发按逆时针方向向射线OA旋转，到达射线OA后立即以同样的速度按顺时针方向返回，当射线OP与射线OB重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）.
（1）当1=2时，求.的度数.
（2）当OP与OQ重合时，求t的值.
（3）如图2，在旋转过程中，若射线OC始终平分.问：是否存在t的值，使得若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
38．阅读材料并回答问题：
数学课上，老师提出了如下问题：
已知点O在直线AB上，∠COE=90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC=2∠AOD，当
∠BOC=40°时，如图1所示，求∠DOE的度数
甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）
解：如图2，因为点O在直线AB上，
所以∠AOB=180°，
因为∠BOC=40°，
所以∠AOC =
因为∠AOC=2∠AOD，
所以OD平分∠AOC，
所以∠COD= ★ 。
乙同学：“我认为还有一种情况．”
请完成以下问题：
（1） 请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．
（2） 判断乙同学的说法是否正确，若正确，类比甲同学的解答过程，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由，
（3）将题目中"∠BOC=40°”的条件改成"∠BOC=α”，其余条件不变，当在90°到180°之间变化
时，如图3所示，为何值时，∠COD=∠BOE成立 请直接写出此时A的值，
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】钟面角
【解析】【解答】解：∵钟表一圈为360°，
∴每一大格的度数为360°÷12=30°，
∵上午9时整，时针指向9，分针指向12，
∴时针和分针间有3大格，
∴钟表的时针和分针构成的角的度数为3×30°=90°，
故答案为：C.
【分析】先求出每一大格的度数以及时针和分针间有3大格，据此即可求解.
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、∵∠1＝∠3，∠5＝∠3，
∴∠5＝∠1，同旁内角相等，不能得到l1∥l2，不符合题意；
B、∵∠2＝∠4，
∴a∥b，不能得到l1∥l2，不符合题意；
C、∵∠2＝∠1，
∴l1∥l2，符合题意；
D、∠4＝∠3，不能得到l1∥l2，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
3．【答案】D
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：如图，
A、丙家在甲家南偏东方向，故此选项原说法错误，不符合题意；
B、 甲家在丙家北偏西方向，故此选项原说法错误，不符合题意；
C、甲家在乙家北偏东方向，故此选项原说法错误，不符合题意；
D、 丙家在乙家北偏东方向，故此选项原说法正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度，据此逐一分析如下：
A、以甲家为观测点，从正北方向开始，顺时针旋转到丙家的方向线，角度是30°，所以丙家在甲家南偏东30°方向，而不是北偏西30°方向，因此选项A错误；
B、以丙家为观测点，从正北方向开始，逆时针旋转到甲家的方向线，角度是30°，所以甲家在丙家北偏西30°方向，而不是南偏东30°方向，因此选项B错误；
C、以乙家为观测点，从正北方向开始，顺时针旋转到甲家的方向线，角度是50°，所以甲家在乙家北偏东50°方向，而不是南偏西50°方向，因此选项B错误；
D、以乙家为观测点，从正北方向开始，顺时针旋转到甲家的方向线，角度是80°，所以丙家在乙家北偏东80°方向，因此选项D正确.
4．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、∠2与∠3是同旁内角，故A不符合题意，
B、∠1与∠4不是同位角，故B不符合题意，
C、∠5与∠7是同位角，故C符合题意，
D、∠1与∠8不是同位角，故D不符合题意，
故答案为：C .
【分析】根据同位角的定义，对各选项中角的关系进行判断即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；方位角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
故选：B．
【分析】
将实际问题转化为方向角的问题即可解答．
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b
∴∠2=180°-∠1=95°
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；内错角的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵， ，
，
∵
，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】
根据平行线的性质可得，再利用角度的和差运算可得；再通过平行线的性质可得，解答即可．
8．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；猪蹄模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
故选：C．
【分析】本题主要对平行线的性质，垂直的定义进行考查．
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB
∵∠ABE=125°
∴∠BEF=180°-∠B=55°
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∵∠CDE=145°
∴∠DEF=180°-∠D=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=90°
故答案为：C
【分析】过点E作EF∥AB，根据直线平行性质即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作直线，
由题意得，，，，
，
∴，
∴，，
∴，
∴
故选：B．
【分析】过点作直线，先求，再求，最后用平角减去，再减去即可．
11．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴的邻补角的度数为，故的邻补角即的同位角不等于，
∴不成立，故选项A不符合题意；
B、∵，，
∴的对顶角度数为，故的对顶角即的内错角不等于，
∴不成立，故选项B不符合题意；
C、，，
∴的邻补角，故的邻补角即的同位角不等于，
∴不成立，故选项C不符合题意；
D、∵，，，
∴，
∴，故选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理逐项判定解答即可．
12．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：
故选： C.
【分析】由平行线的性质推出即可求出的度数.
13．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由题意得，和为平行线间同旁内角，
故．
故选C．
【分析】根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，求解即可．
14．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；方位角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题知，，（海里），
如图，由两直线平行，内错角相等可知，，
，
为等边三角形，
海里，
故选：A．
【分析】
由方位角结合平角的概念可得，由平行线的性质结合方位角可得，则可判定为等边三角形，则BC等于AB，再利用距离公式求出AB的长即可．
15．【答案】A
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：由题意知，若海岛A在灯塔北偏东30°方向上、海岛B在灯塔北偏东60°的方向上， 如图所示，灯塔的位置可以是点O1
故答案为：A.
【分析】根据方向角的定义解答可得，也可作出以A为基准的南偏西30°、以点B为基准的南偏西60°方向的交点即为灯塔所在位置.
16．【答案】B
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图
∵∠1=25°
∴∠AOF=2∠1=50°
∵EG⊥OA
∴∠OFN=90°-∠AOF=40°
∴∠O'FM=∠OFN=40°
∵EG⊥O'A'
∴∠A'O'F=90°-∠O'FM=50°
故答案为：B
【分析】根据折射可得∠AOF=2∠1=50°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
17．【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：光线平行，
，
水面和玻璃底部平行，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
18．【答案】B
【知识点】解一元一次方程；含30°角的直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题；列一元一次方程；钟面角
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作，过点作，两线交于点，设厘米，由题意得：，
∴厘米，
∵钟面显示为3点50分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为18厘米，
∴半径为厘米，
∵当钟面显示为3点30分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为3厘米，
∴半径为厘米，
∴，解得，
∴半径为（厘米）．
故答案为：B．
【分析】
连接，过点作，过点作，两线交于点，设厘米，利用角度的和差表示出，再根据角的性质得到，在两个图中分别表示出半径，根据半径相等，列出方程计算即可解答．
19．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示，
直线交于点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：C 。
【分析】根据直线 交于点A，可得，根据平行线的性质以及垂直的定义，可得，，即，由此即可求解。
20．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：如图，∵BM⊥CD，∠ABC=50°，
∴∠ABM=∠CBM+∠ABC=90°+50°=140°，
∴∠ABE+∠MBF=180°-∠ABM=40°，
由题意知∠ABE=∠MBF，
∴∠ABE=∠MBF=20°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°；
故答案为：B.
【分析】由垂直的定义及角的和差可得∠ABM=∠CBM+∠ABC=140°，从而求出∠ABE+∠MBF=180°-∠ABM=40°，根据“ 反射角等于入射角 ”可得∠ABE=∠MBF=20°，从而求出∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°.
21．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴a//b（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：A．
【分析】根据内错角相等，两直线平行进行求解．
22．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；铅笔头模型；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过作，延长交于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A.
【分析】过作，延长交于，得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可得到，再根据三等分线得到，根据三角形外角的性质解答即可．
23．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：∵ AB，CD都与地面l平行，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ACD=135°，
∵∠BCD=60°，
∴∠ACB=75°，
当∠MAC=∠ACB=75°时， AM∥BE。
故答案为：C.
【分析】首先根据平行公理的推论得出AB∥CD，进而可得出∠ACD=135°，再根据∠BCD=60°，可得出∠MAC=∠ACB=75°。
24．【答案】A
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：延长CB交n于K，
∵平面镜EF与挡板n形成的锐角为23°，
∴∠EFK＝23°，
∵∠FBK＝∠CBE＝52°，
∴∠CKL＝∠FBK＋∠EFK＝75°，
∵m∥n，
∴∠BCD＝∠CKL＝75°．
故答案为：A．
【分析】延长CB交n于K，由三角形的外角性质得到∠CKL＝∠FBK＋∠EFK＝75°，由平行线的性质推出∠BCD＝∠CKL＝75°．
25．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：对于纸带①，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
∴与不平行，
对于纸带②，由折叠的性质得，，，
又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行．
故答案为：D.
【分析】纸带①中根据对顶角相等可得，然后根据三角形内角和定理求出，利用折叠的性质得到，再根据平行线的判定解答；纸带②中根据折叠可得，，然后根据平角的定义得到，，然后利用平行线的判定解答即可．
26．【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；余角
【解析】【解答】解：的余角的度数为，
故答案为： ．
【分析】根据余角的定义（两个角和为90°）即可求解。
27．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
CD为垂线段，最短
故答案为：垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
28．【答案】
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：根据题意标注字母如图所示：
可知∠1=45°，∠1=45°，∠3=63°，
故∠ABC=∠2+∠3=45°+63°=108°，
故答案为： 108°.
【分析】结合题意画出如图所示，然后根据角的和差即可得到∠ABC的度数.
29．【答案】22°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ON平分
∵OM 平分
故答案为：22°.
【分析】根据角平分线的定义求得 利用平角是 求得 的度数，进而求得 M的度数.
30．【答案】①②④
【知识点】角的运算；角的双角平分线和型；余角；补角
【解析】【解答】解：①平分，平分，
，
，
，
，
，
与互余；故此项正确；
②平分，平分，
，
，
为直角，
，
；故此项正确；
③，
，
，
，
，
，
，
与互补；
，
与不互补，故此项错误；
④平分， 平分，
，
，
，
，
，
故此项正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据角平分线的定义得到，，然后根据角的和差得，然后根据互余的定义即可判断①；同理可得判断②；由角的和差得，判断③；④根据角的和差得到判断④解答即可.
31．【答案】60°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据邻补角的定义得到和的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出和的度数，然后根据角的和差解答即可．
32．【答案】43
【知识点】平行线的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DOB=∠FOB=23.5°
∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°
∵GD∥HF
∴∠OFH=180°-∠DOF=133°
∵FI是⊙O 的切线
∴OF⊥FI
∴∠OFI=90°
∴∠IFH=133°-90°=43°
故答案为： 43
【分析】根据角之间的关系可得∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°，再根据直线平行性质可得∠OFH=180°-∠DOF=133°，根据切线性质可得OF⊥FI，即∠OFI=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
33．【答案】解：如图，点即为所求；
理由如下：
由作图可知：是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求．
【知识点】平行线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】由作图可知：是的平分线，根据角平分线定义可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
34．【答案】(1)解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
；
(2)平分；
(3)、.
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】(2)平分，理由如下
证明：∵平分，
∴，
∵
∴∠DOC+∠COE=90°，∠AOD+∠BOE=180°-∠DOE=90°，
∴∠DOC+∠COE=∠AOD+∠BOE，
∴∠COE=∠BOE，
∴平分；
(3)由题意，得∠DOE=∠DOC+∠COE=90°
∠AOD+∠BOE=90°，∠AOD=∠DOC
∴与互余的角有、；
故答案为：（2）平分；（3）、.
【分析】（1）根据角平分线的定义求出，结合直角的性质和角度作差即可得出∠COE=65°，最后根据平角的性质代入作差计算即可得出∠BOE=65°；
（2）根据角平分线的定义得出，然后根据条件以及图中信息得出∠DOC+∠COE=90°，而依据平角的性质得出∠AOD+∠BOE=180°-∠DOE=90°，此时对比得出∠COE=∠BOE，从而得出答案；
（3）结合（2）的证明结果，并根据余角的性质发现，因此与互余的角有、。
35．【答案】（1）解：∵周角的度数为360度，
∴当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是；
（2）解：作的平分线，与的交点就是1的位置；
（3）解：∵，
∴，
∴长方形的长为厘米．
【知识点】矩形的性质；尺规作图-作角的平分线；钟面角；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）根据钟面角12个数字平分一个周角计算即可求解；
（2）根据数字1和数字12与时针中心连线的夹角为30度可知，只需要作的角平分线与的交点就是1的位置；
（3）根据锐角三角函数tan∠AOC=即可求解．
36．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：连接BP，
由题可知∠CAB=90°-40°=50°，
∵CA=CB，
∴∠CBA=∠CAB=50°，
又∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠CBA=50°，
又∵CP平分∠DCB，
∴∠PCB=25°，
∵BC是直径，
∴∠CPB=90°，
∴PC=BC×cos∠BCP=20×0.906=18.12km.
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系；方位角；尺规作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角作图即可；
（2）过点C作CD∥AB，然后作∠BCD的角平分线即可；
（3）根据等边对等角和平行线的性质得到DCB=∠CBA=50°，再根据角平分线得到∠PCB=25°，然后根据余弦的定义解答即可.
37．【答案】（1）解：当t=2时，∠AOP=2×5°=10°，∠BOQ=2×10°=20°
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=150°-10°-20°=120°
（2）解：存在，
当0≤t≤15时，
∵当OP与OQ重合时
∴∠AOP+∠BOQ=∠AOB=150°
∵∠AOP=（5t）°，∠BOQ=（10t）°，
∴5t+10t=150
∴t=10s
当15∵当OP与OQ重合时
∴∠AOQ=∠AOP
∵∠AOQ=（10t-150）°，∠AOP=（5t）°，
∴10t-150=5t，
∴t=30s
综上，当OP与OQ重合时，求t的值是10s或30s.
（3）解：存在性问题：∠POQ-∠COQ=15°
∵OC平分∠AOQ，
∴
当0≤t≤10时，
∵∠AOQ=（150-10t）°
OC平分∠AOQ
∴∠COQ=（75-5t）°
∵∠AOP=（5t）°，∠BOQ=（10t）°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=（150-15t）°
∵∠POQ-∠COQ=15°
∴150-15t-（75-5t）=15
∴t=6s.
当10∵∠AOQ=（150-10t）°
OC平分∠AOQ
∴∠COQ=（75-5t）°
∵∠AOP=（5t）°，∠BOQ=（10t）°，
∴∠POQ=∠AOP+∠BOQ-∠AOB=（15t-150）°
∵∠POQ-∠COQ=15°
∴15t-150-（75-5t）=15
∴t=12s.
当15≤t≤30时，
∵∠AOQ=（10t-150）°
OC平分∠AOQ
∵∠AOP=（5t）°，∠AOQ=（10t-150）°
∵∠POQ-∠COQ=15
∴150-5t-（5t-75）=15
∴t=21s.
∴t的值为6s，12s，21s.
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【分析】(1)先根据旋转速度和时间计算∠AOP=10°，∠BOQ=20°，再依据角的和差关系求出∠POQ=120°；
(2)先分OQ逆时针，顺时针两段，再依据“重合时角度相等”列方程求解，即可求出t的值是10s或30s；
(3)先根据角平分线定义表示∠COQ，即，再分三段表示∠POQ，最后依据角度差列方程求解，即可求出t的值为6s，12s，21s．
38．【答案】（1）故答案为：140，70，160
（2）解：乙同学说的正确+
当OD在∠AOC外部时，如图所示，
因为点O在直线AB上
所以∠AOB=180°
因为∠BOC=40°
所以∠AOC=140°
因为∠AOC=2∠AOD
所以∠AOD=70°
因为∠COE=90°，
所以∠BOE=50°，
所以∠DOE=∠AOB-∠AOD-∠BOE=60°，
综上所述，∠DOE=160°或60°
（3）解：如图中，当OD在AB的上方时，
由题意， (180°-a)=a-90°
解得α=120°
当OD在AB的下方时，
则有180°-α+（180°-a)=α-90°，
解得α=144°．
综上所述，的值为120°或144°
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：如图2，因为点在直线上，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以平分．
所以．
因为，，
所以．
故答案为：140，70，160；
【分析】（1）根据平角定义求出∠AOC的度数，然后利用角平分线的定义解答即可；
（2）根据在的外部时画图，先求出∠AOC的度数，然后根据∠AOC=2∠AOD求出∠AOD的度数，然后根据角的和差解答即可；
（3）由题意，先表示∠BOE和∠AOC的度数，然后分为在的内部和在的外部，根据 ∠COD=∠BOE列方程，求出的值解答即可．
1 / 1专题4.2 图形的初步（2）—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
【知识点】钟面角
【解析】【解答】解：∵钟表一圈为360°，
∴每一大格的度数为360°÷12=30°，
∵上午9时整，时针指向9，分针指向12，
∴时针和分针间有3大格，
∴钟表的时针和分针构成的角的度数为3×30°=90°，
故答案为：C.
【分析】先求出每一大格的度数以及时针和分针间有3大格，据此即可求解.
2．如图，下列条件中能判断直线l1∥l2的是（　　）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠4 C．∠2=∠1 D．∠4=∠3
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
A、∵∠1＝∠3，∠5＝∠3，
∴∠5＝∠1，同旁内角相等，不能得到l1∥l2，不符合题意；
B、∵∠2＝∠4，
∴a∥b，不能得到l1∥l2，不符合题意；
C、∵∠2＝∠1，
∴l1∥l2，符合题意；
D、∠4＝∠3，不能得到l1∥l2，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
3．甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏东方向
C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏东方向
【答案】D
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：如图，
A、丙家在甲家南偏东方向，故此选项原说法错误，不符合题意；
B、 甲家在丙家北偏西方向，故此选项原说法错误，不符合题意；
C、甲家在乙家北偏东方向，故此选项原说法错误，不符合题意；
D、 丙家在乙家北偏东方向，故此选项原说法正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度，据此逐一分析如下：
A、以甲家为观测点，从正北方向开始，顺时针旋转到丙家的方向线，角度是30°，所以丙家在甲家南偏东30°方向，而不是北偏西30°方向，因此选项A错误；
B、以丙家为观测点，从正北方向开始，逆时针旋转到甲家的方向线，角度是30°，所以甲家在丙家北偏西30°方向，而不是南偏东30°方向，因此选项B错误；
C、以乙家为观测点，从正北方向开始，顺时针旋转到甲家的方向线，角度是50°，所以甲家在乙家北偏东50°方向，而不是南偏西50°方向，因此选项B错误；
D、以乙家为观测点，从正北方向开始，顺时针旋转到甲家的方向线，角度是80°，所以丙家在乙家北偏东80°方向，因此选项D正确.
4． 如图，直线a截直线b、c所得的一对同位角是（　　）
A．∠2与∠3 B．∠1与∠4 C．∠5与∠7 D．∠1与∠8
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、∠2与∠3是同旁内角，故A不符合题意，
B、∠1与∠4不是同位角，故B不符合题意，
C、∠5与∠7是同位角，故C符合题意，
D、∠1与∠8不是同位角，故D不符合题意，
故答案为：C .
【分析】根据同位角的定义，对各选项中角的关系进行判断即可.
5．利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；方位角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
故选：B．
【分析】
将实际问题转化为方向角的问题即可解答．
6． 如图，固定木条b， c，使∠1=85°，旋转木条a，要使得a∥b，则∠2应调整为（　　)
A．85° B．90° C．95° D．100°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b
∴∠2=180°-∠1=95°
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
7．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；内错角的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵， ，
，
∵
，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】
根据平行线的性质可得，再利用角度的和差运算可得；再通过平行线的性质可得，解答即可．
8．如图，惠州金山湖湿地公园有两段平行的步道，为增添景观特色，在其间建了景观桥，桥和步道在同一水平面上，桥两端连接点在上，在上，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；猪蹄模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
故选：C．
【分析】本题主要对平行线的性质，垂直的定义进行考查．
9．机器狗（四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景.如图所示，机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE=125°，∠CDE=145°，此时∠BED的度数为（　　)
A．80° B．85° C．90° D．95°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB
∵∠ABE=125°
∴∠BEF=180°-∠B=55°
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∵∠CDE=145°
∴∠DEF=180°-∠D=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=90°
故答案为：C
【分析】过点E作EF∥AB，根据直线平行性质即可求出答案.
10．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，∠CDF的度数是（　　）
A．30° B．15° C．45° D．20°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作直线，
由题意得，，，，
，
∴，
∴，，
∴，
∴
故选：B．
【分析】过点作直线，先求，再求，最后用平角减去，再减去即可．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点A在直线a上，BC边在直线d上，直线b，c被AB所截.若∠1=60°，∠2=119°，∠3=59°，则（　　）
A．a∥b B．a∥c C．b∥c D．a∥d
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴的邻补角的度数为，故的邻补角即的同位角不等于，
∴不成立，故选项A不符合题意；
B、∵，，
∴的对顶角度数为，故的对顶角即的内错角不等于，
∴不成立，故选项B不符合题意；
C、，，
∴的邻补角，故的邻补角即的同位角不等于，
∴不成立，故选项C不符合题意；
D、∵，，，
∴，
∴，故选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理逐项判定解答即可．
12．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD= (　　)
A．70° B．100° C．110° D．130°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：
故选： C.
【分析】由平行线的性质推出即可求出的度数.
13．如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由题意得，和为平行线间同旁内角，
故．
故选C．
【分析】根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，求解即可．
14．已知货轮在海上以每小时50海里的速度沿南偏东的方向航行，当货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏东的方向上，则货轮到达处时与灯塔的距离是（　　）
A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．50海里
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；方位角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题知，，（海里），
如图，由两直线平行，内错角相等可知，，
，
为等边三角形，
海里，
故选：A．
【分析】
由方位角结合平角的概念可得，由平行线的性质结合方位角可得，则可判定为等边三角形，则BC等于AB，再利用距离公式求出AB的长即可．
15．海平面上，有一个灯塔，测得海岛A在灯塔北偏东30°方向上，同时测得海岛B在灯塔北偏东60°的方向上，则灯塔的位置可以是（　　）
A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角
【解析】【解答】解：由题意知，若海岛A在灯塔北偏东30°方向上、海岛B在灯塔北偏东60°的方向上， 如图所示，灯塔的位置可以是点O1
故答案为：A.
【分析】根据方向角的定义解答可得，也可作出以A为基准的南偏西30°、以点B为基准的南偏西60°方向的交点即为灯塔所在位置.
16．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”.如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O'A'水平射出，且OA∥O'A'，已知入射波AO与法线的夹角∠1=25°，则∠A'O'F的度数为（　　）
A．55° B．50° C．60° D．65°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图
∵∠1=25°
∴∠AOF=2∠1=50°
∵EG⊥OA
∴∠OFN=90°-∠AOF=40°
∴∠O'FM=∠OFN=40°
∵EG⊥O'A'
∴∠A'O'F=90°-∠O'FM=50°
故答案为：B
【分析】根据折射可得∠AOF=2∠1=50°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
17．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：光线平行，
，
水面和玻璃底部平行，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
18．如图为一个竖直悬挂的圆形时钟，3点30分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为3厘米，如图①.3点50分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为18厘米，如图②，则时钟的半径为（　　）
A．10厘米 B．13厘米 C．15厘米 D．厘米
【答案】B
【知识点】解一元一次方程；含30°角的直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题；列一元一次方程；钟面角
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作，过点作，两线交于点，设厘米，由题意得：，
∴厘米，
∵钟面显示为3点50分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为18厘米，
∴半径为厘米，
∵当钟面显示为3点30分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为3厘米，
∴半径为厘米，
∴，解得，
∴半径为（厘米）．
故答案为：B．
【分析】
连接，过点作，过点作，两线交于点，设厘米，利用角度的和差表示出，再根据角的性质得到，在两个图中分别表示出半径，根据半径相等，列出方程计算即可解答．
19．如图，直线，直线与直线分别相交于点和，，垂足为点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示，
直线交于点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：C 。
【分析】根据直线 交于点A，可得，根据平行线的性质以及垂直的定义，可得，，即，由此即可求解。
20．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：如图，∵BM⊥CD，∠ABC=50°，
∴∠ABM=∠CBM+∠ABC=90°+50°=140°，
∴∠ABE+∠MBF=180°-∠ABM=40°，
由题意知∠ABE=∠MBF，
∴∠ABE=∠MBF=20°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°；
故答案为：B.
【分析】由垂直的定义及角的和差可得∠ABM=∠CBM+∠ABC=140°，从而求出∠ABE+∠MBF=180°-∠ABM=40°，根据“ 反射角等于入射角 ”可得∠ABE=∠MBF=20°，从而求出∠EBC=∠ABE+∠ABC=70°.
21．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　）
A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角相等 D．两点确定一条直线
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴a//b（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：A．
【分析】根据内错角相等，两直线平行进行求解．
22．如图，已知，，，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；铅笔头模型；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过作，延长交于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A.
【分析】过作，延长交于，得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可得到，再根据三等分线得到，根据三角形外角的性质解答即可．
23．深圳市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务。图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=45°，当∠MAC为（　　)度时， AM∥BE.
A．45 B．60 C．75 D．105
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：∵ AB，CD都与地面l平行，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ACD=135°，
∵∠BCD=60°，
∴∠ACB=75°，
当∠MAC=∠ACB=75°时， AM∥BE。
故答案为：C.
【分析】首先根据平行公理的推论得出AB∥CD，进而可得出∠ACD=135°，再根据∠BCD=60°，可得出∠MAC=∠ACB=75°。
24．如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜EF与挡板n形成的锐角为 一支激光笔从点A处发出的光束投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板m上的点C处。设光束AB所在直线与挡板m的交点为D，若∠DBF=∠CBE=52°，则∠BCD的度数为（　　）
A．75° B．76° C．85° D．105°
【答案】A
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：延长CB交n于K，
∵平面镜EF与挡板n形成的锐角为23°，
∴∠EFK＝23°，
∵∠FBK＝∠CBE＝52°，
∴∠CKL＝∠FBK＋∠EFK＝75°，
∵m∥n，
∴∠BCD＝∠CKL＝75°．
故答案为：A．
【分析】延长CB交n于K，由三角形的外角性质得到∠CKL＝∠FBK＋∠EFK＝75°，由平行线的性质推出∠BCD＝∠CKL＝75°．
25． 如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①②的边线是否平行，甲、乙采用了两种不同的方法：甲把纸带①沿折叠，量得；乙把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，且点在同一直线上，点也在同一直线上．则下列判断正确的是（　　）
A．纸带①②的边线都平行
B．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
C．纸带①②的边线都不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：对于纸带①，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
∴与不平行，
对于纸带②，由折叠的性质得，，，
又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行．
故答案为：D.
【分析】纸带①中根据对顶角相等可得，然后根据三角形内角和定理求出，利用折叠的性质得到，再根据平行线的判定解答；纸带②中根据折叠可得，，然后根据平角的定义得到，，然后利用平行线的判定解答即可．
二、填空题
26．已知，则的余角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；余角
【解析】【解答】解：的余角的度数为，
故答案为： ．
【分析】根据余角的定义（两个角和为90°）即可求解。
27． 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏. 如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜. 若四位投壶者分别站在直线 1 上的点 A， B， C， D 处往点 P 处的壶内投箭矢， 小明认为站在点 C 处的投壶者更容易获胜， 其中蕴含的数学道理是　 　.
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
CD为垂线段，最短
故答案为：垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
28． 如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东63°方向走到C处，则的度数是　 　.
【答案】
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：根据题意标注字母如图所示：
可知∠1=45°，∠1=45°，∠3=63°，
故∠ABC=∠2+∠3=45°+63°=108°，
故答案为： 108°.
【分析】结合题意画出如图所示，然后根据角的和差即可得到∠ABC的度数.
29．如图，已知点O 在直线AB上，OC为一条射线，射线 OM 和 ON 分别平分∠AOC 和∠BOC. 若∠CON=68°，则∠AOM 的度数为　 　.
【答案】22°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ON平分
∵OM 平分
故答案为：22°.
【分析】根据角平分线的定义求得 利用平角是 求得 的度数，进而求得 M的度数.
30．如图，C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①∠ACF与∠BCH互余；②∠HCG=45°；③∠ECF与∠GCH互补；∠ACF-∠GCE=45°，则在下列选项中，正确的是　 　．
【答案】①②④
【知识点】角的运算；角的双角平分线和型；余角；补角
【解析】【解答】解：①平分，平分，
，
，
，
，
，
与互余；故此项正确；
②平分，平分，
，
，
为直角，
，
；故此项正确；
③，
，
，
，
，
，
，
与互补；
，
与不互补，故此项错误；
④平分， 平分，
，
，
，
，
，
故此项正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据角平分线的定义得到，，然后根据角的和差得，然后根据互余的定义即可判断①；同理可得判断②；由角的和差得，判断③；④根据角的和差得到判断④解答即可.
31．如图，平行于主光轴 MN 的光线 AB 和 CD 经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF 的反向延长线交于主光轴MN上一点 P .若∠ABE=138°， ∠CDF=162°， 则∠EPF 的度数是 　 　 .
【答案】60°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据邻补角的定义得到和的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出和的度数，然后根据角的和差解答即可．
32．如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB =∠FOB = 23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点 F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O 的切线FI所成的锐角)的大小为　 　°.
【答案】43
【知识点】平行线的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DOB=∠FOB=23.5°
∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°
∵GD∥HF
∴∠OFH=180°-∠DOF=133°
∵FI是⊙O 的切线
∴OF⊥FI
∴∠OFI=90°
∴∠IFH=133°-90°=43°
故答案为： 43
【分析】根据角之间的关系可得∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°，再根据直线平行性质可得∠OFH=180°-∠DOF=133°，根据切线性质可得OF⊥FI，即∠OFI=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
三、解答题
33． 如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，点即为所求；
理由如下：
由作图可知：是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴点即为所求．
【知识点】平行线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】由作图可知：是的平分线，根据角平分线定义可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
34．如图，为直线上一点，平分，.
(1)若，求和的度数；
(2)猜想：是否平分？请直接写出你猜想的结论；
(3)与互余的角有：______.
【答案】(1)解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
；
(2)平分；
(3)、.
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】(2)平分，理由如下
证明：∵平分，
∴，
∵
∴∠DOC+∠COE=90°，∠AOD+∠BOE=180°-∠DOE=90°，
∴∠DOC+∠COE=∠AOD+∠BOE，
∴∠COE=∠BOE，
∴平分；
(3)由题意，得∠DOE=∠DOC+∠COE=90°
∠AOD+∠BOE=90°，∠AOD=∠DOC
∴与互余的角有、；
故答案为：（2）平分；（3）、.
【分析】（1）根据角平分线的定义求出，结合直角的性质和角度作差即可得出∠COE=65°，最后根据平角的性质代入作差计算即可得出∠BOE=65°；
（2）根据角平分线的定义得出，然后根据条件以及图中信息得出∠DOC+∠COE=90°，而依据平角的性质得出∠AOD+∠BOE=180°-∠DOE=90°，此时对比得出∠COE=∠BOE，从而得出答案；
（3）结合（2）的证明结果，并根据余角的性质发现，因此与互余的角有、。
35．综合与实践
某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示．
（1）当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度？
（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；
（3）问长方形的长应为多少？
【答案】（1）解：∵周角的度数为360度，
∴当时针指向数字2时，时针与分针的夹角是；
（2）解：作的平分线，与的交点就是1的位置；
（3）解：∵，
∴，
∴长方形的长为厘米．
【知识点】矩形的性质；尺规作图-作角的平分线；钟面角；已知正切值求边长
【解析】【分析】
（1）根据钟面角12个数字平分一个周角计算即可求解；
（2）根据数字1和数字12与时针中心连线的夹角为30度可知，只需要作的角平分线与的交点就是1的位置；
（3）根据锐角三角函数tan∠AOC=即可求解．
36． 如图，码头在码头的正东方向，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可直达小岛.若甲船与乙船分别从码头，同时等速出发，均直接驶向小岛，两船可以同时到达.
（1）在图中，用尺规作图画出小岛的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，过点作正东方向，乙船从点出发，沿行驶且始终保持到，两边的距离相等，请用尺规法作出航向（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）以为直径的半圆在的右侧，若乙船沿运动不能到该半圆弧之外，当时，求乙船运动的最远距离的长（参考数据：，，）.
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：连接BP，
由题可知∠CAB=90°-40°=50°，
∵CA=CB，
∴∠CBA=∠CAB=50°，
又∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠CBA=50°，
又∵CP平分∠DCB，
∴∠PCB=25°，
∵BC是直径，
∴∠CPB=90°，
∴PC=BC×cos∠BCP=20×0.906=18.12km.
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系；方位角；尺规作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角作图即可；
（2）过点C作CD∥AB，然后作∠BCD的角平分线即可；
（3）根据等边对等角和平行线的性质得到DCB=∠CBA=50°，再根据角平分线得到∠PCB=25°，然后根据余弦的定义解答即可.
37．如图1，已知，射线OP从OA位置出发，以每秒的速度按顺时针方向向射线OB旋转：与此同时，射线OQ以每秒1的速度，从OB位置出发按逆时针方向向射线OA旋转，到达射线OA后立即以同样的速度按顺时针方向返回，当射线OP与射线OB重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）.
（1）当1=2时，求.的度数.
（2）当OP与OQ重合时，求t的值.
（3）如图2，在旋转过程中，若射线OC始终平分.问：是否存在t的值，使得若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当t=2时，∠AOP=2×5°=10°，∠BOQ=2×10°=20°
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=150°-10°-20°=120°
（2）解：存在，
当0≤t≤15时，
∵当OP与OQ重合时
∴∠AOP+∠BOQ=∠AOB=150°
∵∠AOP=（5t）°，∠BOQ=（10t）°，
∴5t+10t=150
∴t=10s
当15∵当OP与OQ重合时
∴∠AOQ=∠AOP
∵∠AOQ=（10t-150）°，∠AOP=（5t）°，
∴10t-150=5t，
∴t=30s
综上，当OP与OQ重合时，求t的值是10s或30s.
（3）解：存在性问题：∠POQ-∠COQ=15°
∵OC平分∠AOQ，
∴
当0≤t≤10时，
∵∠AOQ=（150-10t）°
OC平分∠AOQ
∴∠COQ=（75-5t）°
∵∠AOP=（5t）°，∠BOQ=（10t）°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=（150-15t）°
∵∠POQ-∠COQ=15°
∴150-15t-（75-5t）=15
∴t=6s.
当10∵∠AOQ=（150-10t）°
OC平分∠AOQ
∴∠COQ=（75-5t）°
∵∠AOP=（5t）°，∠BOQ=（10t）°，
∴∠POQ=∠AOP+∠BOQ-∠AOB=（15t-150）°
∵∠POQ-∠COQ=15°
∴15t-150-（75-5t）=15
∴t=12s.
当15≤t≤30时，
∵∠AOQ=（10t-150）°
OC平分∠AOQ
∵∠AOP=（5t）°，∠AOQ=（10t-150）°
∵∠POQ-∠COQ=15
∴150-5t-（5t-75）=15
∴t=21s.
∴t的值为6s，12s，21s.
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【分析】(1)先根据旋转速度和时间计算∠AOP=10°，∠BOQ=20°，再依据角的和差关系求出∠POQ=120°；
(2)先分OQ逆时针，顺时针两段，再依据“重合时角度相等”列方程求解，即可求出t的值是10s或30s；
(3)先根据角平分线定义表示∠COQ，即，再分三段表示∠POQ，最后依据角度差列方程求解，即可求出t的值为6s，12s，21s．
38．阅读材料并回答问题：
数学课上，老师提出了如下问题：
已知点O在直线AB上，∠COE=90°，在同一平面内，过点O作射线OD，满足∠AOC=2∠AOD，当
∠BOC=40°时，如图1所示，求∠DOE的度数
甲同学：以下是我的解答过程（部分空缺）
解：如图2，因为点O在直线AB上，
所以∠AOB=180°，
因为∠BOC=40°，
所以∠AOC =
因为∠AOC=2∠AOD，
所以OD平分∠AOC，
所以∠COD= ★ 。
乙同学：“我认为还有一种情况．”
请完成以下问题：
（1） 请将甲同学解答过程中空缺的部分补充完整．
（2） 判断乙同学的说法是否正确，若正确，类比甲同学的解答过程，请在图1中画出另一种情况对应的图形，并求∠DOE的度数，写出解答过程；若不正确，请说明理由，
（3）将题目中"∠BOC=40°”的条件改成"∠BOC=α”，其余条件不变，当在90°到180°之间变化
时，如图3所示，为何值时，∠COD=∠BOE成立 请直接写出此时A的值，
【答案】（1）故答案为：140，70，160
（2）解：乙同学说的正确+
当OD在∠AOC外部时，如图所示，
因为点O在直线AB上
所以∠AOB=180°
因为∠BOC=40°
所以∠AOC=140°
因为∠AOC=2∠AOD
所以∠AOD=70°
因为∠COE=90°，
所以∠BOE=50°，
所以∠DOE=∠AOB-∠AOD-∠BOE=60°，
综上所述，∠DOE=160°或60°
（3）解：如图中，当OD在AB的上方时，
由题意， (180°-a)=a-90°
解得α=120°
当OD在AB的下方时，
则有180°-α+（180°-a)=α-90°，
解得α=144°．
综上所述，的值为120°或144°
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：如图2，因为点在直线上，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以平分．
所以．
因为，，
所以．
故答案为：140，70，160；
【分析】（1）根据平角定义求出∠AOC的度数，然后利用角平分线的定义解答即可；
（2）根据在的外部时画图，先求出∠AOC的度数，然后根据∠AOC=2∠AOD求出∠AOD的度数，然后根据角的和差解答即可；
（3）由题意，先表示∠BOE和∠AOC的度数，然后分为在的内部和在的外部，根据 ∠COD=∠BOE列方程，求出的值解答即可．
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