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专题4.3三角形及其基本性质—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．若是锐角三角形，且，则可能的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．若一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程，则此三角形的周长是(　　)
A．11 B．19 C．20 D．11或19
3．已知中，， ，第三边的长为一元二次方程的一个根，则三角形的周长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　）
A．线段CD是ABC的AC边上的高线 B．线段CD是ABC的AB边上的高线
C．线段AD是ABC的BC边上的高线 D．线段AD是ABC的AC边上的高线
5．如图，在中，，，平分，交于，，交于点，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（　　）
A． B．
C． D．
7．在中，的对边分别为，若，则的形状是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
8．线段a、b、c首尾顺次相接组成三角形，若a=1，b=3，则c的长度可以是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（　　）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
10． 如图，在 中，点 ， 分别是 的中点， 和交于点 . 若 的面积为 24， 则四边形 的面积为(　　)
A．6 B．8 C．9 D．12
11．如图，在中，，，分别是边上的中线和高，若，，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
12．如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，则阴影部分的面积为（　　）
A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2
13．如图，P是△ABC的重心，D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
14． 如图所示，O 是△ABC 的三条角平分线的交点，连结OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC 的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系中，正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
15．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（　　）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线
16．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的高、中线、角平分线都在三角形的内部
B．所有的等边三角形都是全等三角形
C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
17．如图为某种可调节式露营椅的示意图.AE，AF分别与CD相交于点O，F，当各个角度调节至如图所示的位置时，适合半躺放松、观景或小憩，体感最佳，若∠A=35°，∠D=53°，∠E=49°，则∠AFC的度数是（　　）
A．110° B．111° C．112° D．113°
18．一副三角板如图所示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是（　　）
A．70° B．80° C．95° D．100°
二、填空题
19． 如图，在 中，AC=6，AD为 的平分线，E是AD的中点.若点D 到AB的距离为4，则 的面积是　 　.
20．若a，b，c是三角形的三边，化简：|a+b-c|-|b-a-c|-|a-b-c|=　 　.
21．如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O，若点O到BC的距离为3.5，AB=4，则△ABO的面积为　 　.
22．如图，点是内部的一点，点到三边，，的距离，若，则的度数为　 　．
23．从长为1、2、3、4、5的5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是　 　．
24．如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，将△ABC绕点C逆时针旋转α度（0<α<180），得到△DEC，点A和点B的对应点分别为点D和点E，当点D落在AB上时，恰有 DE⊥BC，则α=　 　.
25．如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子AC与水平地面CD的夹角∠ACD为35°，绳子与人体AB的夹角∠BAC=40°，则人体的倾斜角∠ABD=　 　°.
26．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F.其中结论正确的是　 　 .（填序号）
①∠AFC=120°；②若AB=2AE，则CE⊥AB；③CD+AE=AC；④S△AEF：S△FDC=AF：FC.
三、解答题
27．如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出BC的中点；
（2）在图2中作出的重心．
28．如图，在8×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
（1）画出△ABC的重心P.
（2）在已知网格中找出所有格点D，使点△BCD与△ABC的面积相等．
29． 如图， 在 中， BE是 的平分线，点D 在AB上(不与点A，B 重合)，连接CD交BE于点O.
（1）若CD是AB边上的中线， 的周长为25cm，求 的周长；
（2）若于点D， 求 的度数.
30．在△ABC 中， AC=5，D为直线BC上一点，连接AD.
（1）若AD为BC边上的中线， 　 　；△ABD 和△ACD的周长差为　 　；
（2）若AD为BC边上的高，且AD=3.
①BC 的长为　 　；
②当BD>BC时，点 C 到AB 的距离为　 　；
（3）若AD 为∠BAC 的平分线.
▲
②求证：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵是锐角三角形，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠B的取值范围即可解题．
2．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的概念
3．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：，
(x-2)(x-5)=0，
解得：或，
，
，
，，
，
三角形的周长为：
，
故答案为：D．
【分析】先利用因式分解法解一元二次方程求出方程的根，然后根据三角形三边之间的关系“ 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ”确定第三边BC的长，最后根据三角形周长计算公式求出三角形的周长即可．
4．【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解： 线段CD是△ABC的边AB上的高线，故A选项错误，不符合题意，B选项正确，符合题意；线段AD是△ACD的CD边上的高线，故C、D选项错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】从三角形的一个顶点向其对边所在的直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高线，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后再根据平行线的性质解答即可.
6．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件的只有选项B．
故答案为：B．
【分析】先观察图形，再根据是的角平分线，以及折叠求解即可.
7．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；绝对值的非负性；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵， ，
∴，，
∴，，即，
∴的形状是等边三角形，
故答案为：C．
【分析】本题考查三角形的形状、等腰三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、非负数的应用.根据绝对值和平方式的非负性求得：，，即，根据等边三角形的判定与性质可判定三角形的形状．
8．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
即： ，
∴c的长度可能为3．
故答案为：A
【分析】利用三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边列不等式，可得到c的取值范围，再观察各选项中的数据，可得c的长度.
9．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，
∴能围成三角形的三条线段长度分别为、、、、、、，组合共有7种，
故选：D．
【分析】根据三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，得出能围成三角形的三条线段长度分别为、、、、、、，即可得出答案．
10．【答案】B
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形的重心及应用；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵、为的中线，
∴点F为的重心，
∴，即，
∵的面积为24，、为的中线，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据三角形重心的性质得出，根据三角形中线分出的两个三角形的面积相等可得，即可得到，然后利用割补法解答即可．
11．【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解：∵是高，，，
∴，
∴，
∵，是中线，
∴，
故选：A．
【分析】 本题主要考查了直角三角形的性质， 根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，即可求得．
12．【答案】A
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，
∴S△ABD=S△ADC，S△BGD=S△CDG，S△AFG=S△BFG，S△AGE=S△CGE，
∴S△AGB=S△AGC，S△AFG=S△AGE
∴，
同理：，
∵
∴，
∴(cm2)
故选：A.
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，得到△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍，计算即可.
13．【答案】B
【知识点】三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接．
点是的重心，点是边的中点，
在上，，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为4，
，
，
的面积为6，
的面积是12．
故答案为：B.
【分析】连接，根据三角形重心的定义可得在上，即可根据高相等的两三角形的面积比等于对应底的比得到，然后根据平行线得到和，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
14．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵＝ AB OD，＝ BC OE＋ AC OF＝OD （BC＋AC），
而AB＜BC＋AC，
∴＜．
故答案为：C.
【分析】过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，再利用三角形面积公式得到＝ AB OD，＝OD （BC＋AC），然后根据三角形三边的关系得到＜．．
15．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由图①可知，，即：是的角平分线；
由图②可知：，∴，即：，
∴是的高线，
由图③可知：，即为的中点，
∴是的中线，
故选C．
【分析】根据图形的折叠，利用中线、角平分线和高线的定义逐一判断即可．
16．【答案】D
【知识点】轴对称图形；全等三角形的概念；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：A、∵三角形的三条高不一定都在三角形内，∴A错误；
B、∵所有的等边三角形不都是全等三角形，∴B错误．
C、∵等腰三角形是关于底边上的中线呈轴对称的图形，∴C错误；
D、∵如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，∴D正确；
故答案为：D．
【分析】利用三角形高线、中线、角平分线的定义；全等三角形的判定方法；轴对称图形的性质逐项分析判断即可.
17．【答案】D
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵AE，AF分别与CD相交于点O，F，
∴∠OFA＋∠A＝∠AOD＝∠D＋∠E，
∵∠A＝35°，∠D＝53°，∠E＝49°，
∴∠OFA＋35°＝53°＋49°，
∴∠OFA＝67°，
∴∠AFC＝180° ∠OFA＝113°，
故答案为：D．
【分析】由于三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以∠OFA＋∠A＝∠AOD＝∠D＋∠E，而∠A＝35°，∠D＝53°，∠E＝49°，则∠OFA＋35°＝53°＋49°，求得∠OFA＝67°，则∠AFC＝180° ∠OFA＝113°，于是得到问题的答案．
18．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质和对顶角相等解答即可．
19．【答案】6
【知识点】角平分线的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解： ∵ AD是∠BAC的平分线，D到AB的距离为4 ，
∴ D到AC的距离也为4，
∵AC=6，
∴S△ACD=×4×6=12，
∵ E是AD的中点 ，
∴S△CDE=S△ACD=6，
故答案为：6.
【分析】根据 角平分线性质知D到AC的距离为4，再计算出三角形ACD的面积，最后根据三角形中线平分面积的原理知的面积 .
20．【答案】a+b-3c
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵a、b、c是三角形的三边
∴a+b>c，a+c>b，b+c>a
∴原式=a+b-c-[-(b-a-c)]-[-(a-b-c)]
=a+b-c+b-a-c+a-b-c
=a+b-3c
故答案为：a+b-3c.
【分析】根据三角形的三边关系判断式子的符号，再根据绝对值的意义，进行化简即可.
21．【答案】7
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】
解： ∵△ABC的两个外角的平分线AD， CE相交于点O，
∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离，且点O到AC的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到BC的距离为3.5，
∴点O到AB的距离为3.5，
∵AB=4，
∴△ABO的面积为：x4x3.5= 7；
故答案为：7
【分析】根据角平分线的性质，得到点O到AB的距离等于点O到BC的距离，再利用面积公式进行计算即可解答.
22．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵点P到三边的距离，
∴是的角平分线，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】先证出是的角平分线，利用角平分线的定义可得再利用角的运算和等量代换可得，最后求出∠BAC的度数即可.
23．【答案】
【知识点】三角形三边关系；概率公式；用列举法求概率
24．【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：
AC=CD，∠A=∠CDE，∠ACD=α，
∴，
∴，
∵DE⊥BC，
∴
∵∠ACB=45°，
∴∠ACD+∠DCB=45°，
即，
解得α=30°；
故答案为：30°.
【分析】由旋转的性质可知，AC=CD，∠A=∠CDE，∠ACD=α，推出，再根据DE⊥BC，进而得出结论.
25．【答案】75
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是的外角，，
∴．
故答案为：75.
【分析】根据三角形外角等于与它不相邻的内角的和解答即可．
26．【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①在中，，
，
∵平分，平分，
，，
，故①正确；
②如图，延长至G，使，连接，
，
，
，
，
，，
为角平分线，
，
，
，
，
，故②正确；
③如图，作作的平分线交于点G，
由①得：，
，
，
，
，，
，，
，，
，故③正确；
④过G作，于点G，H，
由④知，为的角平分线，
，
，
，，
，故④正确．
综上所述：正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠AFC判断①；延长至G，使，连接，根据SAS得到，即可得到，利用三线合一判断②；作的平分线交于点G，可得，根据ASA得到，，即可得到，判断③；过G作，于点G，H，由③知，为的角平分线，即可得到，进而得到，根据，判断④解答即可．
27．【答案】（1）如图1
点D为所求
（2）方法一
如图2
答：点P为所求．
方法二
如图3
点P为所求
【知识点】三角形的重心及应用；尺规作图-中线
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质即可作出BC的中点；
(2) 根据 △ABC的重心就是三边中线的交点，即可作出图形.
28．【答案】（1）解：如图所示：根据格点的特点作出AB和AC边的中线，交点即为重心P.
（2）解：取AC中点D，点D即为所求作的点.
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中线
【解析】【分析】（1）三角形的重心即三角形各边中线的交点，据此画图即可.
（2）根据三角形的面积计算公式，(1)当点△BCD与△ABC的面积相等时，点D为AC的中点，连接AD即可.
29．【答案】（1）解：是的中线，
，
∵的周长为，
的周长，
∴，
∵，
∴，
∴的周长
；
（2）解：，
，
是的角平分线，，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】（1）根据三角形的中线可得，然后根据三角形的周长解答即可；
（2）根据垂直得到，利用角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质解答即可．
30．【答案】（1）1；3-5
（2）10或2；
（3）解：
②证明：设BC边上的高为h2，
∴根据题意可知
∵由①可得
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形的中线；三角形的高；等积变换
【解析】【解答】解：（1）∵AD为BC边上的中线
∴，即
△ABD 和△ACD的周长差为AB-AC=3-5
故答案为：1；3-5
（2）①∵AD为BC边上的高，且AD=3
∴，
如图：
∴BC=BD+CD=10
如图：
或BC=BD-CD=2
故答案为：10或2
②∵BD>BC
∴BC=2
设点C到AB的距离为h
∴
∴
故答案为：
（3）①如图，AD为∠BAC的平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∴
故答案为：
【分析】（1）根据三角形中线性质即可求出答案.
（2）①根据勾股定理可得BD，CD，再分类讨论，结合边之间的关系即可求出答案.
②设点C到AB的距离为h，根据三角形面积即可求出答案.
（3）①过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线定义可得DE=DF，再根据三角形面积即可求出答案.
②设BC边上的高为h2，根据三角形面积，结合边之间的关系节课求出答案.
1 / 1专题4.3三角形及其基本性质—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．若是锐角三角形，且，则可能的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵是锐角三角形，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】利用三角形内角和定理求出∠B的取值范围即可解题．
2．若一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程，则此三角形的周长是(　　)
A．11 B．19 C．20 D．11或19
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的概念
3．已知中，， ，第三边的长为一元二次方程的一个根，则三角形的周长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：，
(x-2)(x-5)=0，
解得：或，
，
，
，，
，
三角形的周长为：
，
故答案为：D．
【分析】先利用因式分解法解一元二次方程求出方程的根，然后根据三角形三边之间的关系“ 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ”确定第三边BC的长，最后根据三角形周长计算公式求出三角形的周长即可．
4．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　）
A．线段CD是ABC的AC边上的高线 B．线段CD是ABC的AB边上的高线
C．线段AD是ABC的BC边上的高线 D．线段AD是ABC的AC边上的高线
【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解： 线段CD是△ABC的边AB上的高线，故A选项错误，不符合题意，B选项正确，符合题意；线段AD是△ACD的CD边上的高线，故C、D选项错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】从三角形的一个顶点向其对边所在的直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高线，据此逐一判断得出答案.
5．如图，在中，，，平分，交于，，交于点，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后再根据平行线的性质解答即可.
6．如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件的只有选项B．
故答案为：B．
【分析】先观察图形，再根据是的角平分线，以及折叠求解即可.
7．在中，的对边分别为，若，则的形状是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值；偶次方的非负性；绝对值的非负性；三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵， ，
∴，，
∴，，即，
∴的形状是等边三角形，
故答案为：C．
【分析】本题考查三角形的形状、等腰三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、非负数的应用.根据绝对值和平方式的非负性求得：，，即，根据等边三角形的判定与性质可判定三角形的形状．
8．线段a、b、c首尾顺次相接组成三角形，若a=1，b=3，则c的长度可以是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
即： ，
∴c的长度可能为3．
故答案为：A
【分析】利用三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边列不等式，可得到c的取值范围，再观察各选项中的数据，可得c的长度.
9．从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（　　）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，，，，，，，
∴能围成三角形的三条线段长度分别为、、、、、、，组合共有7种，
故选：D．
【分析】根据三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，得出能围成三角形的三条线段长度分别为、、、、、、，即可得出答案．
10． 如图，在 中，点 ， 分别是 的中点， 和交于点 . 若 的面积为 24， 则四边形 的面积为(　　)
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】B
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形的重心及应用；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵、为的中线，
∴点F为的重心，
∴，即，
∵的面积为24，、为的中线，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据三角形重心的性质得出，根据三角形中线分出的两个三角形的面积相等可得，即可得到，然后利用割补法解答即可．
11．如图，在中，，，分别是边上的中线和高，若，，则的长为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；三角形的中线；三角形的高
【解析】【解答】解：∵是高，，，
∴，
∴，
∵，是中线，
∴，
故选：A．
【分析】 本题主要考查了直角三角形的性质， 根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，即可求得．
12．如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，则阴影部分的面积为（　　）
A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2
【答案】A
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，
∴S△ABD=S△ADC，S△BGD=S△CDG，S△AFG=S△BFG，S△AGE=S△CGE，
∴S△AGB=S△AGC，S△AFG=S△AGE
∴，
同理：，
∵
∴，
∴(cm2)
故选：A.
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，得到△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍，计算即可.
13．如图，P是△ABC的重心，D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【知识点】三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接．
点是的重心，点是边的中点，
在上，，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为4，
，
，
的面积为6，
的面积是12．
故答案为：B.
【分析】连接，根据三角形重心的定义可得在上，即可根据高相等的两三角形的面积比等于对应底的比得到，然后根据平行线得到和，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
14． 如图所示，O 是△ABC 的三条角平分线的交点，连结OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC 的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系中，正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵＝ AB OD，＝ BC OE＋ AC OF＝OD （BC＋AC），
而AB＜BC＋AC，
∴＜．
故答案为：C.
【分析】过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，再利用三角形面积公式得到＝ AB OD，＝OD （BC＋AC），然后根据三角形三边的关系得到＜．．
15．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（　　）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由图①可知，，即：是的角平分线；
由图②可知：，∴，即：，
∴是的高线，
由图③可知：，即为的中点，
∴是的中线，
故选C．
【分析】根据图形的折叠，利用中线、角平分线和高线的定义逐一判断即可．
16．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的高、中线、角平分线都在三角形的内部
B．所有的等边三角形都是全等三角形
C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
【答案】D
【知识点】轴对称图形；全等三角形的概念；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：A、∵三角形的三条高不一定都在三角形内，∴A错误；
B、∵所有的等边三角形不都是全等三角形，∴B错误．
C、∵等腰三角形是关于底边上的中线呈轴对称的图形，∴C错误；
D、∵如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，∴D正确；
故答案为：D．
【分析】利用三角形高线、中线、角平分线的定义；全等三角形的判定方法；轴对称图形的性质逐项分析判断即可.
17．如图为某种可调节式露营椅的示意图.AE，AF分别与CD相交于点O，F，当各个角度调节至如图所示的位置时，适合半躺放松、观景或小憩，体感最佳，若∠A=35°，∠D=53°，∠E=49°，则∠AFC的度数是（　　）
A．110° B．111° C．112° D．113°
【答案】D
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵AE，AF分别与CD相交于点O，F，
∴∠OFA＋∠A＝∠AOD＝∠D＋∠E，
∵∠A＝35°，∠D＝53°，∠E＝49°，
∴∠OFA＋35°＝53°＋49°，
∴∠OFA＝67°，
∴∠AFC＝180° ∠OFA＝113°，
故答案为：D．
【分析】由于三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以∠OFA＋∠A＝∠AOD＝∠D＋∠E，而∠A＝35°，∠D＝53°，∠E＝49°，则∠OFA＋35°＝53°＋49°，求得∠OFA＝67°，则∠AFC＝180° ∠OFA＝113°，于是得到问题的答案．
18．一副三角板如图所示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是（　　）
A．70° B．80° C．95° D．100°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质和对顶角相等解答即可．
二、填空题
19． 如图，在 中，AC=6，AD为 的平分线，E是AD的中点.若点D 到AB的距离为4，则 的面积是　 　.
【答案】6
【知识点】角平分线的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解： ∵ AD是∠BAC的平分线，D到AB的距离为4 ，
∴ D到AC的距离也为4，
∵AC=6，
∴S△ACD=×4×6=12，
∵ E是AD的中点 ，
∴S△CDE=S△ACD=6，
故答案为：6.
【分析】根据 角平分线性质知D到AC的距离为4，再计算出三角形ACD的面积，最后根据三角形中线平分面积的原理知的面积 .
20．若a，b，c是三角形的三边，化简：|a+b-c|-|b-a-c|-|a-b-c|=　 　.
【答案】a+b-3c
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵a、b、c是三角形的三边
∴a+b>c，a+c>b，b+c>a
∴原式=a+b-c-[-(b-a-c)]-[-(a-b-c)]
=a+b-c+b-a-c+a-b-c
=a+b-3c
故答案为：a+b-3c.
【分析】根据三角形的三边关系判断式子的符号，再根据绝对值的意义，进行化简即可.
21．如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O，若点O到BC的距离为3.5，AB=4，则△ABO的面积为　 　.
【答案】7
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】
解： ∵△ABC的两个外角的平分线AD， CE相交于点O，
∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离，且点O到AC的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到BC的距离为3.5，
∴点O到AB的距离为3.5，
∵AB=4，
∴△ABO的面积为：x4x3.5= 7；
故答案为：7
【分析】根据角平分线的性质，得到点O到AB的距离等于点O到BC的距离，再利用面积公式进行计算即可解答.
22．如图，点是内部的一点，点到三边，，的距离，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵点P到三边的距离，
∴是的角平分线，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】先证出是的角平分线，利用角平分线的定义可得再利用角的运算和等量代换可得，最后求出∠BAC的度数即可.
23．从长为1、2、3、4、5的5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；概率公式；用列举法求概率
24．如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，将△ABC绕点C逆时针旋转α度（0<α<180），得到△DEC，点A和点B的对应点分别为点D和点E，当点D落在AB上时，恰有 DE⊥BC，则α=　 　.
【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：
AC=CD，∠A=∠CDE，∠ACD=α，
∴，
∴，
∵DE⊥BC，
∴
∵∠ACB=45°，
∴∠ACD+∠DCB=45°，
即，
解得α=30°；
故答案为：30°.
【分析】由旋转的性质可知，AC=CD，∠A=∠CDE，∠ACD=α，推出，再根据DE⊥BC，进而得出结论.
25．如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子AC与水平地面CD的夹角∠ACD为35°，绳子与人体AB的夹角∠BAC=40°，则人体的倾斜角∠ABD=　 　°.
【答案】75
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵是的外角，，
∴．
故答案为：75.
【分析】根据三角形外角等于与它不相邻的内角的和解答即可．
26．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F.其中结论正确的是　 　 .（填序号）
①∠AFC=120°；②若AB=2AE，则CE⊥AB；③CD+AE=AC；④S△AEF：S△FDC=AF：FC.
【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①在中，，
，
∵平分，平分，
，，
，故①正确；
②如图，延长至G，使，连接，
，
，
，
，
，，
为角平分线，
，
，
，
，
，故②正确；
③如图，作作的平分线交于点G，
由①得：，
，
，
，
，，
，，
，，
，故③正确；
④过G作，于点G，H，
由④知，为的角平分线，
，
，
，，
，故④正确．
综上所述：正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠AFC判断①；延长至G，使，连接，根据SAS得到，即可得到，利用三线合一判断②；作的平分线交于点G，可得，根据ASA得到，，即可得到，判断③；过G作，于点G，H，由③知，为的角平分线，即可得到，进而得到，根据，判断④解答即可．
三、解答题
27．如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图.（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出BC的中点；
（2）在图2中作出的重心．
【答案】（1）如图1
点D为所求
（2）方法一
如图2
答：点P为所求．
方法二
如图3
点P为所求
【知识点】三角形的重心及应用；尺规作图-中线
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质即可作出BC的中点；
(2) 根据 △ABC的重心就是三边中线的交点，即可作出图形.
28．如图，在8×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
（1）画出△ABC的重心P.
（2）在已知网格中找出所有格点D，使点△BCD与△ABC的面积相等．
【答案】（1）解：如图所示：根据格点的特点作出AB和AC边的中线，交点即为重心P.
（2）解：取AC中点D，点D即为所求作的点.
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中线
【解析】【分析】（1）三角形的重心即三角形各边中线的交点，据此画图即可.
（2）根据三角形的面积计算公式，(1)当点△BCD与△ABC的面积相等时，点D为AC的中点，连接AD即可.
29． 如图， 在 中， BE是 的平分线，点D 在AB上(不与点A，B 重合)，连接CD交BE于点O.
（1）若CD是AB边上的中线， 的周长为25cm，求 的周长；
（2）若于点D， 求 的度数.
【答案】（1）解：是的中线，
，
∵的周长为，
的周长，
∴，
∵，
∴，
∴的周长
；
（2）解：，
，
是的角平分线，，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】（1）根据三角形的中线可得，然后根据三角形的周长解答即可；
（2）根据垂直得到，利用角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质解答即可．
30．在△ABC 中， AC=5，D为直线BC上一点，连接AD.
（1）若AD为BC边上的中线， 　 　；△ABD 和△ACD的周长差为　 　；
（2）若AD为BC边上的高，且AD=3.
①BC 的长为　 　；
②当BD>BC时，点 C 到AB 的距离为　 　；
（3）若AD 为∠BAC 的平分线.
▲
②求证：
【答案】（1）1；3-5
（2）10或2；
（3）解：
②证明：设BC边上的高为h2，
∴根据题意可知
∵由①可得
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形的中线；三角形的高；等积变换
【解析】【解答】解：（1）∵AD为BC边上的中线
∴，即
△ABD 和△ACD的周长差为AB-AC=3-5
故答案为：1；3-5
（2）①∵AD为BC边上的高，且AD=3
∴，
如图：
∴BC=BD+CD=10
如图：
或BC=BD-CD=2
故答案为：10或2
②∵BD>BC
∴BC=2
设点C到AB的距离为h
∴
∴
故答案为：
（3）①如图，AD为∠BAC的平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∴
故答案为：
【分析】（1）根据三角形中线性质即可求出答案.
（2）①根据勾股定理可得BD，CD，再分类讨论，结合边之间的关系即可求出答案.
②设点C到AB的距离为h，根据三角形面积即可求出答案.
（3）①过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线定义可得DE=DF，再根据三角形面积即可求出答案.
②设BC边上的高为h2，根据三角形面积，结合边之间的关系节课求出答案.
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